面试问题论文doc

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括

电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）

研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人

的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规

定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平

性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： E 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学院（请填写完整的全名）：自动化学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 祁冰露

2. 刘健滨

3. 李玉杰

日期：2009 年 8 月 21 日

评阅编号(教师评阅时填写)：

学生面试中的教师分组问题探讨

摘要

本文研究了在保证面试工作公平性的情况下，使用计算机搜索、逐步修正等方法，解决了在N 一定的条件下，所需教师数量的最小值M ，并建立0-1整数规划模型和多目标优化模型，应用贪婪法求解模型给出具体的分组情况，最后对模型进行了评价并提出改进方法。

问题一：要解决在给定条件下，求出应聘教师最小值问题。只要求出教师M 与面试学生N 的关系表达式即可。文中针对题目要求及目标建立了单目标规划模型。为了确定M 和N 的关系，我们将教师任意四人分成一组，共有M C 4种不同组合，各组排列按照第一个老师>第二个老师>第三个老师>第四个老师的优先顺序进行升序或降序排列，再利用计算机从这组排列中进行搜索比较，如果两组中相同的老师数超过我们规定的最大值，则将后面的一组删除，如此循环下去，直到搜索结束。另外，不断改变M （最小取

4）的值，即可求出对应的最大面试学生数N 。但是，教师编码排序规则的不同，会直接影响输出值N ，所以，文中设计四种教师编码排序规则，分别编程求解出四组不同的数据，根据四组数据对不满足条件的点进行修正，得到最优数据组。最后，分别对最优数据组进行高斯函数和多项式拟和，选择一种误差较小的拟和方案。最后得到满足“没有两个教师相同”和“没有三个教师相同”要求下M 与N 的关系表达式分别为：

222)28.1155.15()186.4897.4()5

.2047.38(876.8701.563.23------?+?+?=M M M e e e N 222)38

.4649.45()7.125155()6.2328.417(91.595.1069.23------?+?+?=M M M e e e N 。

问题二：要求在满足一定条件下，建立学生与面试老师直接合理的分配模型，给出具体分配方案，并对方案进行合理性分析。文中建立了教师与学生组合分配的多目标规划模型。求解模型时，通过设置约束（面试组）的优先级别，确定优化目标，并利用贪婪算法对模型求解，最后给出M 与N 的“面试组”方案（详见附表1）。

问题三：要做的是在新加条件（面试老师文理各半；每位学生接受两位文科和两位理科教师的面试）下，解决问题一和问题二。本问在问题一模型的基础上，对约束条件稍加修改，得到新的0-1整数规划模型。解决问题二，也是在问题二的结论上进行修改。将问题进一步简化，即从已分配好的“面试组”中挑选出满足新条件的组合（两奇两偶），对余下组合，重新分配，这样就大大减少了计算量。

最后，本文在面试公平性的条件下给出题目以外的合理建议，并对模型进行了客观评价。

[关键字] 计算机搜索；数值拟合；0-1整数规划；贪婪法.

一. 问题的重述

自国家教育局实施高校自主招生以来，各地高校陆续采用自主招生的模式进行录取新生。自主招生还处于探索阶段，很多方面还不够完善，正在进一步发展。考生通过考试等综合素质的考核后，还要经过教师面试，决定是否录取，这样就会出现考生与面试老师之间分配的均匀性和面试公平性问题。

某高校采用通过专家面试的方式进行自主招生, 经过初选合格进入面试的考生有N 人，拟聘请老师M 人进行面试。每位学生要分别接收“面试组”每位老师的单独面试，每个面试组由4名老师组成，各位老师独立对考生进行提问并根据学生回答问题的情况给予评分。为了保证面试工作的公平性，组织者提出如下要求：

Y1：每位老师面试的学生数量应尽量均衡；

Y2：面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同；

Y3: 两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量的少；

Y4：任意两位老师面试的两个学生集合出现相同学生的人数尽量的少。 本文要解决下面四个问题：

问题一：设考生数N 已知，要求在满足条件二的情况下，说明聘请老师数M 至少分别应为多大，才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形。

问题二：根据条件一至条件四的要求建立学生与面试老师直接合理的分配模型，并就N=379，M=24的情形给出每位老师面试学生名单的具体分配方案，并分析该方案满足条件一至条件四的情况

问题三：假设面试老师中理科与文科的老师各占一般，并且要求每位学生接收两位文科与两位理科老师的面试，在此假设下分别回答问题一与问题二。

问题四：讨论考生与面试老师之间分配的均匀性和面试公平性的关系。为了保证面试的公平性，除了组织者提出的要求外，还有哪些因素需要考虑进来，并给出新的分配方案或建议。

二. 模型的假设

1.

假设每位学生分别单独接受四位老师的面试； 2.

假设面试时老师之间是独立进行互不影响； 3.

假设每位考生只有一次面试的机会； 4. 假设假设考生的人数为N ，老师的人数为M ，4M N C ；

5. 假设所有老师和学生都严格遵守分配方案；

6. 假设假设每个老师对待每个学生都是公正的。

三. 符号说明

四.问题分析

4.1问题题干的分析

面试在自主招生中扮演着越来越重要的角色，考生面试的成绩不容忽视。因此如何确定面试专家的分配方案，使录取工作真正公平合理的进行，是各大高校积极考虑的问题。

本文要解决的是在公平、均衡的情况下对面试老师进行合理分配。这是一个优化问题，所以我们考虑到用目标规划模型来解决问题一和问题二，问题三可以根据问题一二稍加修改即可以解决。规划模型中的目标函数和约束条件，我们可以根据将题目中的约束条件、变量和求解目标转化为数学表达式，这样就构成了目标规划模型。最后要做的是求解模型，可以考虑用遗传算法、极大极小法、理想点法等进行模型求解。

4.2问题一的分析

问题一要求的是在学生数N已知，且满足面试不同考生的“面试组”

成员不能完全相同的情况下，计算聘请老师数M至少分别应为多大，才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形。问题一相对较简单，是一个单目标规划问题。只要把题目要求的决策变量和约束条件转化成数学表达式，就可以得到目标规划模型的约束条件和目标函数。由于教师数M、学生数N均未知，因此无法求出最少教师数目或最多学生数目。因此考虑应用枚举法（取部分数据），列出M值求出对应的最优学生数N，此步应用计算机编程实现。最后对所得数据进行函数拟合，即可得到面试学生数N与所需最少教师M的函数表达式。

4.3问题二的分析

问题二与问题一类似，只是多出了条件Y1和Y4，是一个多目标最优化问题。条件Y1（每位老师面试的学生数量应尽量均衡）作为模型二的约束条件；条件Y4（任意两位老师面试的两个学生集合出现相同学生的人数尽量的少）让求的是尽量最优问题，因此可以作为目标函数。我们可以在模型一的基础上，增加一个约束条件，增加一个目标，这样就建立一个新的多目标优化模型。

我们把“面试组”分为四类，分别为：没有一个教师相同的情形；有一个教师相同；有两个教师相同；有三个教师相同，且优先级逐次降低。求解模型时，我们采用贪婪法思想编程，按照四种“面试组”的优先级顺序，分别从M

C4中教师组合中，搜索出面试学生数目的“面试组”。至此，对M=24，N=379进行合理公平的分配基本完成。

4.4问题三的分析

问题三和问题二相比，增加了新的约束条件“文理科教师各占一半”和“每位学生分别接受两位文科两位理科教师的面试”。我们假设1、3 (1)

M的编码代表文科教师，2、4、6……M的编码代表理科教师（M

为偶数的前提下）。

新的条件下解决问题一：只是在模型中加入“文理科教师各占一半”和“每位学生分别接受两位文科两位理科教师的面试”的约束条件，其余做法和模型一完全相同。

新条件下解决问题二：将问题转化成数学语言，就是我们所求出的所有378的教师组合中，必须含有两个奇数和两个偶数。本问可以直接在模型二结果的基础上求解。第一步，挑选出不符合“两奇、两偶”的组合；第二步，将不符合条件的组合相互之间重新安排分配组合，这样就组成378组“最多有两个教师相同”的分配方案；第三步，第379位同学的“面试组”可以从24位教师中任选4位，这样就会出现5为同学的“面试组”有“三个教师相同”的情形。最后对新的分配方案进行条件Y1~Y4的合理性分析。

4.5问题四的分析

借鉴问题1~3的求解过程及结果，针对面试面试均匀性与公平性的关系，给出几点可行建议，以避免出现面试过程不公平现象的产生。

五.模型的建立和求解

5.1 问题1模型的建立及其求解

本问题解决的是满足一定约束条件要求，计算在给出一定的学生人数下，所需要教师的最少人数。我们把这个实际问题抽象为目标规划模型的数学问题来求解。

根据实际情况分析，一般面试学生的个数要远大于教师的个数。因为教师人数较少，容易进行分组（即按照约束条件将教师每四人分成一组），满足约束条件的情况下，所能组合的最大组数目即可面试学生的最大人数。因此，我们改变优化变量，当教师数目M 一定的情况下最多可面试的学生个数，即求max N 。

5.1.2没有两位老师相同的情形

5.1.2.1模型1.1的建立

（1）设j i x 代表第j 个老师面试第i 学生，0=j i x 表示第j 个老师不面

试第i 个学生，1=j i x 表示第j 个老师面试第i 个学生，用数学语言表达即：

1,0,ij x ?=??

第j 个老师面试第i 个学生第j 个老师不面试第i 个学生（j i x 为0—1变量）。 （2）每个学生只能接受四名老师面试，转化成数学表达式为：14

(1,2,,)M ik k x

i N ===∑。 （3）任意两位学生的“面试组”不能有两个老师相同的情形，转化为

如下数学表达式：11

(;,1,2,,)M ik jk k x x i j i j N =≤≠=∑，其中k 表示第k 个老

师，k i x 、k j x 是0—1变量。

通过以上3步的模型准备，针对“没有两个老师相同的情形”可建立如下单目标规划模型1.1：

11max (1)

1(;,1,2,,)

(2).4(1,2,,)(3)

,01-M ik jk k M ik k ik jk N x x i j i j N st x i N x x ==?≤≠=???==???=??

∑∑或（是01变量）(4) 5.1.2.2模型1.1的求解

由于M 是未知数，所以没有办法使用优化算法求出具体的N 值，这里我们采用数值模拟的方法，通过列举一定的M 值，求出相应的最优的N 值，然后通过曲线拟合的方法求出M 和N 的近似表达式，从而求出考生数为N 时，至少需要聘请的老师数M 。

列举M 值，求相应的最优的N 值，针对此模型我们设计了寻优算法，此步可以通过Matlab 编程实现，程序的算法由以下步骤实现：

Step1：首先对M 位教师每四人一组进行组合，求出所有组合项为4M C ，

把所有项按递增方式排列成序列0S ；

Stsp2：从

S第一项开始，逐次扫描后面所有项，如果后面项同第一项

有两个或超过数字相同的就将其删除，这样形成了一个新的序列

S；

1 Step3：从

S的第二项开始，逐次扫描后面所有项，如果后面项同第二

1

项有两个或超过两个数字相同的就将其删除，这样形成了一个新的序列

S，

2

然后从

S的第三项开始，逐次扫描后面所有项，如果后面项同第三项有超

2

过两个数字相同的就将其删除，这样形成了一个新的序列

S，依次类推，

3

直到搜索完成。

注：考虑到问题二有让求解24位教师的面试分配情况，在此，我们只列举出4——24位教师，所能面试的最大学生数。将24位教师分别编号为1、2、3………24；学生分别编号为1、2、3………N。

通过Matlab软件编程实现（见附录程序1），所得数据如表1：

的最大人数不增加，反而变小了（本文将这种数称为“特殊数”）。这说明算法陷入局部最优，即不能按照表1数据进行教师数M与学生数N的数值拟和，局部最优拟和出的结果会产生很大的残差，致使拟和结果误差较大。因此我们将表1数据进行修正，即将14个教师所能面试的最大学生数改为13个教师所能面试的学生数13。

我们知道，当教师编号按照不同规则排序，列举出的M值对应的最大N会不同。所以，本文为得到最优结果或使计算结果逼近最优值，利用Matlab 编程分别求出教师编号按照不同规则排序情况下，一定数量教师M对应能面试的最多学生数N值。然后对每组数据都按照上述方法进行修正，最后可以得到一组最优值，即每一个M值，对应能得到真实的最大N值。

四种教师编码排序规则如下：

C1：第一个老师编号递增,第二个老师编号递增 ,第三个老师编号递增,第四个老师编号递增；

C2：第一个老师编号递增,第二个老师编号递增 ,第三个老师编号递增,第四个老师编号递减；

C3：第一个老师编号递增,第二个老师编号递增 ,第三个老师编号递减,第四个老师编号递减；

C4：第一个老师编号递增,第二个老师编号递减 ,第三个老师编号递减,第四个老师编号递减；

通过Matlab软件编程（见附录程序1），得到四组数据分别如下：

表1显示24位教师能面试学生的最大人数为35人。由此可见，修正后的数据更逼近最优解或者即为最优解。

针对表2数据，为了用Matlab编程，进行曲线拟合，为了拟合结果更加准确，我们采用两种方式拟合。

1) 高斯函数拟和

用Matlab编程，采用高斯函数逼近，拟合所得图形如下图1所示：