高中数学解题思想方法技巧全集36思想开门人数灵通

数学破题36计

第36计思想开门人数灵通

●计名释义

为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？

所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动.

中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.

●典例示范

【例1】有一个任意的三角形

ABC（材料），计划拿它制造一个

直三棱柱形的盒子（有盒盖）

，怎样设计尺寸（用虚线表示），

才能不浪费材料（图右上）？例1图

【思考】“任意”三角形属一般情况，

它的对立面是“特殊”的三角形.

我们先从正三角形考虑起.

假设这个尺寸如图（1）所示.

（1）三棱柱的底面A1B1C1的

中心G为原三角形的中心.

（2）柱体的三侧面是三个矩形，

矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等.

（3）柱体的上底面（盒盖）由

三个四边形拼合，拼成后的三角形与A1B1C1全等.例1题解图（1）

经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C1，它应满足两个条件：其一，C1是GC的中点；其二，C1到∠C两边的距离相等，

因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心.

【解答】作△ABC的∠A和∠B的

平分线相交于内心G，如图（2）所示.

分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1.

△A1B1C1为直三棱柱的一个底面.

过A1，B1，C1三点分别作对应边

的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面.

经过以上截取后，原△ABC三个顶点

处所余下的三个四边形拼在一起，

作为柱体的另一个底面（盒盖）.例1题解图（2）

【点评】 本题的设问，只要求讲出“设计操作”，形式上“不讲道理”.实质上，人的操作是受思想支配的，因此，本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心，运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.

【例2】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B 级，若投中4次以上则可确定为A 级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是21. (1)求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率； （2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率. 【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P =C 23·（21）2·21·21=16

3. (2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类： ①5次投中3次，有C 24种可能投球方式，其概率为：P （3）=C 24·（

21）5=163； ②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P （2）=（21）4+3·（21）5=32

5； ③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式，

其概率为：P （1）=（21）3+（21）4=16

3； ④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P （1）=（

21）2=41， ∴P =P (3)+P (2)+P (1)+P (0)=163+325+163+ 41=32

25. 【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.

●对应训练

1.函数y =lg ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-x 11的定义域是： ( ) A .{x |x <0} B .{x |x >1} C.{x |01}

2.下面的数表

1=1

3+5=8

7+9+11=27

13+15+17+19=64

21+23+25+27+29=125

所暗示的一般规律是 .

●参考答案

1.D 利用特殊值.x = -1，2时，函数有意义，排除A 、B ，x =2

1时，函数无意义，排除C .

2.（n 2-n +1)+(n 2-n +3)+…+［n 2-n +(2n -1)］= n 3

设第n 行左边第一个数为a n ，则a 1=1，a 2=3，a n +1=a n +2n . 叠加得a n =n 2-n +1，而第n 行等式左边是n 个奇数的和，故第n 行所暗示的一般规律是

（n 2-n +1)+(n 2-n +3)+…+［n 2-n +(2n -1)］=n 3.

【点评】 数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.