灰色系统预测GM(1-1)模型及其Matlab实现

灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab 实现

预备知识

(1)灰色系统

白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。

(2)灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。

1 灰色系统的模型GM(1,1)

1.1 GM(1,1)的一般形式

设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：

X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}

其中

X (1)(k )＝

∑

=k

i 1

X (0)(i)

＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：

dt

dX )1(十)

1(aX ＝u (2)

即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧

X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－

a u )ak e -＋a

u

(3)

或

∧

X (1)(k )＝(X (0)(1)－

a u ))1(--k a e ＋a

u (4)

式中：k 为时间序列，可取年、季或月。 1.2 辩识算法

记参数序列为∧a , ∧a ＝[a,u]T

,∧

a 可用下式求解:

∧

a ＝(B T B)-1B T Y n (5)

式中:B —数据阵；Y n —数据列

B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))X (1)X (21(1)1(1)

(1)(1)(1)）（－－ (6) Y n ＝(X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(ｎ))T （7）

1.3 预测值的还原

由于GM 模型得到的是一次累加量，k ∈{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM 模型所得数据∧

X

(1)(k +1)(或

∧

X

(1)(k ))经过逆生成,即累减生成(I —AGO)还原为∧

X (0)(k +1)(或

∧

X (0)(k ))才能用。

∧

X

(1)(k )＝

∑

=k

i 1

∧

X (0)(i)

＝

∑

-=1

1

k i ∧

X (0)(i)＋∧

X (0)(ｋ)

∧

X

(0)(ｋ)＝∧

X

(1)(k )－

∑

-=1

1

k i ∧

X (0)(i)

因为∧

X

(1)(k -1)＝

∑

-=1

1

k i ∧

X

(0)(i)，所以∧

X (0)(ｋ)＝∧

X (1)(k )－∧

X (1)(k -1)。

2 应用举例

取某高校1998年～2003年的某专业招生数据建模,见表1。

以表1中的数据构造原始数据列X (0),即

X (0)＝{X (0)(1),X (0)(2),X (0)(3),X (0)(4),X (0)(5),X (0)(6)} ＝{132,92,118,130,187,207}

对X (0)进行一次累加(1—AGO)，生成数列：

X (1)

(k)＝

∑

=k

i 1

X (0)(i)即

X (1)＝{X (1)(1),X (1)(2),X (1)(3),X (1)(4),X (1)(5),X (1)(6)}

＝{132,224,342,472,659,866} 和数据阵B 、数据列Y n

B ＝⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----- 1 5.762 1

5.5651 4071 2831

178，Y n ＝(92,118,130,187,207)T 由式(5)得

∧

a ＝[a,u]T

＝⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-7878184.56205

.0 由式(4)得灰色预测模型GM(1,1)为 ∧

X (1)(k )＝(X (0)(1)－

a u ))1(--k a e ＋a

u

＝(132＋277.0137483))

1(205.0-k e －277.0137483

＝409.0137483)

1(205.0-k e －277.0137483

预测值及预测精度见表2。

表2 某高校专业招生预测值及预测精度表

由表2知预测精度较高。2006年某专业招生人数预测值为259人。由于人数为整数，所以结果取整数部分。

GM(1,1)是一种长期预测模型，在没有大的市场波动及政策性变化的前提下，该预