专题13.3 双曲线(精讲精析篇)(原卷版)

专题13.3 双曲线（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 双曲线的定义

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

2．双曲线的标准方程

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(a>0，b>0)

图形

【典例1】（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|P A|–|PB|=2，且P为函数y=2

34x

|OP|=（）

A B C D

【典例2】（2020·全国高二课时练习）已知F 为双曲线22

:149

x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支

上的两点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________． 【总结提升】

1.双曲线定义的主要应用

(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．

2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．

4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．

热门考点02 双曲线的标准方程

【典例3】（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的

渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）

A.22

1412

x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2

2

13

y x -=

【总结提升】

1．求双曲线方程的思路

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为2

2

1(0)mx ny mn -=>，

②与22221x y a b

-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22

(0)

x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.

2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：

(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．

(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；

(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；

(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：

(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2

C B ＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2

＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 2

1B ＝1.因此，

当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．

(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2

b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2

b 2－λ＝1(a >0，b >0)．

热门考点03 双曲线的实际应用

【典例4】（2020·自贡市田家炳中学高二期中）已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【规律总结】

解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．

热门考点04 焦点三角形问题

【典例5】（2020·全国高考真题（理））设双曲线C ：22221x y a b

-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，

P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1

B ．2

C ．4

D ．8