时间复杂度的计算
c++计算时间复杂度的技巧
c++计算时间复杂度的技巧（原创实用版4篇）目录（篇1）一、引言二、C++中计算时间复杂度的方法1.循环次数的计算2.递归调用的计算3.函数调用的计算三、计算时间复杂度的技巧和注意事项1.忽略常数项和次要项2.关注最高次项的阶数3.考虑最坏情况四、总结正文（篇1）一、引言在 C++编程中，时间复杂度是用来衡量算法效率的重要指标，它能帮助我们了解程序在运行时所需的时间资源。
掌握计算时间复杂度的技巧，能更好地优化程序性能，提高代码质量。
本文将介绍 C++计算时间复杂度的方法及一些技巧和注意事项。
二、C++中计算时间复杂度的方法1.循环次数的计算在 C++中，循环是造成时间复杂度的主要因素。
通过分析循环语句的执行次数，可以计算出时间复杂度。
例如，以下代码：```cppfor (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 操作}}```在这个例子中，有两个嵌套循环，外层循环执行 n 次，内层循环也执行 n 次，因此总执行次数为 n^2，时间复杂度为 O(n^2)。
2.递归调用的计算递归调用也会对时间复杂度产生影响。
通过分析递归调用的次数，可以计算出时间复杂度。
例如，以下代码：```cppvoid recursiveFunction(int n) {if (n == 1) {return;} else {recursiveFunction(n / 2);// 操作}}```在这个例子中，递归函数 recursiveFunction(n) 会调用自身 n-1次，因此时间复杂度为 O(n)。
3.函数调用的计算在 C++中，函数调用也是影响时间复杂度的一个因素。
通过分析函数调用的次数，可以计算出时间复杂度。
例如，以下代码：```cppvoid function1(int n) {function2(n);}void function2(int n) {// 操作}int main() {function1(n);}```在这个例子中，函数 function1(n) 调用函数 function2(n) 一次，函数 function2(n) 执行 n 次操作，因此总执行次数为 n，时间复杂度为 O(n)。
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法 今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些 常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度 接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种基于递归的算法，它通过不断地用两个数中较大的数除以较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷28=1 (21)-28÷21=1 (7)-21÷7=3 0所以最大公约数为7辗转相除法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b，a mod b 的结果为r。
- 最好情况：当b能够整除a时，时间复杂度为O(loga)，因为每次递归时a和b的值都会减少至原来的一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a/b)。
例如，当a=2n 时，每次递归的b的值都会减少至1- 平均情况：时间复杂度是O(logab)的。
2.更相减损术更相减损术是一种基于减法的算法，它通过不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-28-21=7-21-7=14-14-7=7所以最大公约数为7更相减损术的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
- 最好情况：当a和b的差值为1时，时间复杂度为O(logb)，因为每次减法操作后的差值都会减少一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a-b)。
例如，当a=2n 时，每次减法操作的差值都会减少至1-平均情况：时间复杂度为O(a-b)的。
3. Stein算法（二进制法）Stein算法是一种基于位运算的算法，它通过在两个数中同时除去2的因子，直到两个数都变为奇数。
然后，继续用较小的数减去较大的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数的2的因子。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷2=24-28÷2=14-24÷2=12现在两个数都是奇数，继续减法操作：-7-12=-5-12-7=5所以最大公约数为5Stein算法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
二叉树的复杂度计算公式
二叉树的复杂度计算公式二叉树是一种常见的数据结构，它在计算机科学中扮演着非常重要的角色。
在实际应用中，我们经常需要对二叉树的复杂度进行计算。
二叉树的复杂度计算涉及到许多方面，如平均时间复杂度、最坏时间复杂度、空间复杂度等。
在接下来的内容中，我们将介绍二叉树的复杂度计算公式，详细说明各种复杂度的计算方法。
二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
在二叉树中，每个节点都有一个值，用来存储数据。
节点之间通过边相连，形成一个层次结构。
二叉树的一个特点是，每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，另一个称为右子节点。
1.平均时间复杂度平均时间复杂度是指对于具有相同大小输入的所有可能输入实例，算法的期望运行时间。
在计算平均时间复杂度时，我们通常采用平均情况分析的方法。
平均时间复杂度的计算公式如下所示：T(n)=Σ(Ti)/N其中，T(n)表示算法的平均运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，N表示所有可能输入实例的个数。
2.最坏时间复杂度最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的运行时间。
在计算最坏时间复杂度时，我们通常采用最坏情况分析的方法。
最坏时间复杂度的计算公式如下所示：T(n) = max{Ti}其中，T(n)表示算法的最坏运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，max{}表示所有输入实例中的最大值。
3.空间复杂度空间复杂度是指在运行算法时所需的内存空间大小。
空间复杂度的计算公式如下所示：S(n)=Σ(Si)/N其中，S(n)表示算法的空间复杂度，Si表示第i个输入实例的内存空间大小，N表示所有可能输入实例的个数。
总结二叉树作为一种常见的数据结构，在计算机科学中应用广泛。
对于二叉树的复杂度计算，我们可以通过平均时间复杂度、最坏时间复杂度和空间复杂度等指标来评估算法的性能。
掌握二叉树复杂度计算的方法，有助于我们更好地分析和优化算法，在实际应用中取得更好的性能表现。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
递归时间复杂度例题
以下是递归时间复杂度的例子：
1.计算整数x的n次方
暴力算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。
而使用递归算法，每次递归可以将问题规模减半，因此时间复杂度可以降低到O(logn)，但空间复杂度会增加到O(logn)。
2.斐波那契数列
斐波那契数列是一个经典的递归问题，其定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n >= 2）。
如果直接使用递归算法来计算斐波那契数列的第n项，时间复杂度会达到O(2^n)，因为会有很多重复的计算。
可以使用动态规划或记忆化搜索来优化算法，将时间复杂度降低到O(n)。
3.归并排序
归并排序是一种使用递归的排序算法，其基本思想是将待排序的数组分成两半，分别递归地对它们进行排序，然后将排好序的两个子数组合并成一个有序的数组。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
4.汉诺塔问题
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，其目标是将一堆大小不同的盘子从一个柱子移动到另一个柱子上，并满足以下条件：每次只能移动一个盘子；大盘子不能放在小盘子上面。
可以使用递归算法来解决汉诺塔问题，其基本思想是将问题分解成两个子问题：将上面的n-1个盘子从起始柱子移动到辅助柱子上，再将最大的盘子从起始柱子移动到目标柱子上，最后将n-1个盘子从辅助柱子移动到目标柱子上。
汉诺塔问题的时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)。
这些例子表明，递归算法的时间复杂度和空间复杂度取决于问题的性质和递归的实现方式。
因此，在设计递归算法时，需要仔细分析问题，选择合适的递归策略，并进行适当的优化。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
logn阶乘的时间复杂度
logn阶乘的时间复杂度logn阶乘的时间复杂度是指计算logn的阶乘所需的时间。
在计算机科学中，阶乘是一个常见的数学运算，表示从1到n的所有正整数的乘积。
logn阶乘的时间复杂度是一种特殊的阶乘计算方法，它可以在较短的时间内完成计算。
为了理解logn阶乘的时间复杂度，我们首先需要了解阶乘的基本概念。
阶乘是一种递归定义的数学运算，表示从1到n的所有正整数的乘积。
例如，5的阶乘表示为5!，计算公式为5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
阶乘在数学和计算机科学中都有广泛的应用，特别是在组合数学和概率论中。
在传统的阶乘计算方法中，我们需要对从1到n的所有正整数进行逐个相乘。
这种计算方法的时间复杂度为O(n)，即需要执行n次乘法运算。
然而，在一些特定的情况下，我们可以利用数学性质和计算技巧来优化阶乘的计算过程，从而降低时间复杂度。
logn阶乘的计算方法是一种基于二分法的优化算法。
它的基本思想是将n的阶乘分解为两个较小数的阶乘的乘积。
具体地说，我们可以将n的阶乘表示为n! = (n/2)! × ((n/2)+1)! × … × (n-1)! × n!。
然后，我们可以继续将每个较小数的阶乘分解为更小数的阶乘的乘积，直到每个数的阶乘都变为1。
最后，我们将所有的乘积相乘，即可得到n的阶乘。
通过使用二分法进行阶乘计算，我们可以将计算时间缩短到logn的复杂度。
具体地说，每次将问题规模缩小一半，直到达到基本情况，即阶乘为1。
这样，我们只需要进行logn次乘法运算，就可以完成整个阶乘的计算过程。
需要注意的是，logn阶乘的时间复杂度只是一种近似估计。
实际上，计算logn阶乘的时间取决于具体的实现方式和计算环境。
例如，在使用递归算法计算阶乘时，可能会受到递归深度的限制，从而影响计算时间。
此外，计算机硬件的性能和算法的优化程度也会对计算时间产生影响。
哥德巴赫猜想时间复杂度
哥德巴赫猜想时间复杂度
哥德巴赫猜想的时间复杂度是指求解该猜想所需的时间与输入规模之间的比例关系。
根据不同的算法和计算资源，时间复杂度可能会有所不同。
一种常用的方法是使用筛法来求解哥德巴赫猜想。
这种方法的基本思路是通过对小于等于n的所有奇数进行筛选，找出那些既是奇数又是素数的数对。
然后，将每对素数分别加到大于n的某个偶数上，得到所有可能的偶数，再判断这些偶数是否等于2n。
如果是，则说明2n是一个偶数且不是质数，否则说明2n是一个质数。
对于使用筛法求解哥德巴赫猜想的时间复杂度，有以下几种不同的说法：
1. 线性筛法的时间复杂度是O(n)，即随着输入规模n的增大，所需时间也逐渐增大，但增大的速度较慢。
2. 对于某个要分解的数x，从a=3这个质数开始遍历所有的质数，得到另一个数x-a，判断数x-a是否在线性筛法中被筛掉。
这一步的时间复杂度是O(n/lnn)，其中lnn表示以e为底的对数。
3. 总的时间复杂度是O(n+T×n/lnn)，其中T表示测试数据的组数。
这是因为对于每组测试数据，都需要进行一次线性筛法和一次奇数筛选。
需要注意的是，以上时间复杂度的计算是基于当前的计算机技术和算法水平，随着计算机性能和算法优化的发展，时间复杂度可能会发生变化。
迪克斯特拉算法时间复杂度
迪克斯特拉算法时间复杂度
迪克斯特拉算法是一种用于图形中的最短路径搜索的算法。
它能够找到两个节点之间的最短路径，并且该路径的长度最小。
迪克斯特拉算法的时间复杂度是O（E + V log V），其中E是边的数量，V 是节点的数量。
这个时间复杂度的计算基于使用堆排序的优先队列来维护未访问的节点。
在每次循环中，堆排序需要将未访问的节点按照它们到源节点的距离进行排序。
因此，这个算法的时间复杂度完全取决于堆排序的复杂度。
在最坏情况下，堆排序的复杂度为O（V log V），其中V是节点的数量。
因此，迪克斯特拉算法的时间复杂度为O （E + V log V）。
总而言之，迪克斯特拉算法是一种非常有效的寻找最短路径的算法，并且已被广泛应用于许多实际问题中。
虽然它的时间复杂度较高，但在实践中，它通常表现出非常良好的性能。
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数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算
数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。
2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。
可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。
2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。
建堆是O（n）的时间复杂度证明。
建堆是O（n）的时间复杂度证明。
建堆的复杂度先考虑满⼆叉树，和计算完全⼆叉树的建堆复杂度⼀样。
对满⼆叉树⽽⾔，第i层(根为第 0 层)有 2i个节点。
由于建堆过程⾃底向上，以交换作为主要操作，因此第i层任意节点在最不利情况下，需要经过 (n−i) 次交换操作才能完成以该节点为堆根节点的建堆过程。
因此，时间复杂度计算如下：
T(n)=20∗(n−0)+21∗(n−1)+...+2n∗(n−n)=∑n i=0(2i∗(n−i))
将上式乘以 2得：
2∗T(n)=21∗(n−0)+22∗(n−1)+...+2n+1∗(n−n)=∑n+1
i=1
(2i∗(n−i))
原式减去上式得：
2T(n)−T(n)=−n+21+22+...+2n=2∗1−2n
1−2−n=2n+1−2−n.
上⾯推导中，n为层数编号（⾃ 0 层根节点开始）。
故总节点数为 (1+2+4+...+2n)=2n+1−1。
渐进时，忽略减 1 取N＝2n+1。
所以，T(N)=2n+1−n−2=N∗(1−logN
N−
2
N)≈N.
所以，建堆的时间复杂度为O(N) ，得证。
N为总节点数。
Processing math: 100%。
弗洛伊德算法时间复杂度
弗洛伊德算法时间复杂度
弗洛伊德算法，也称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决
所有点对最短路径问题的动态规划算法。
该算法的时间复杂度为
O(n^3)，其中n代表顶点数。
具体来说，该算法使用一个n×n的二维数组来存储每对顶点之
间的最短路径长度。
初始化时，数组的每个元素都初始化为两个顶点之间的直接距离（如果两个顶点之间有边相连），或者设为无穷大（如果两个顶点之间没有边相连）。
接下来，算法使用动态规划的思想，逐步更新数组中的元素，以获得更准确的最短路径长度。
具体来说，算法使用一个三重循环来遍历所有可能的中间顶点，对于每对起始顶点和终止顶点，计算通过该中间顶点的路径是否比直接连接起始顶点和终止顶点的路径更短，如果是，则更新数组中的元素为更小的值。
由于该算法需要遍历所有可能的中间顶点，时间复杂度为O(n^3)。
然而，该算法可以处理具有负权边的图，并且可以同时计算所有点对之间的最短距离，因此在实际应用中非常有用。
- 1 -。
算法复杂度的计算方法
算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。
它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。
时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。
例如，查找数组中某个元素的索引。
•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。
例如，二分查找算法。
•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。
例如，遍历数组求和。
•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。
例如，多次嵌套循环遍历二维数组。
•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。
例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。
如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。
以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。
•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。
•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。
•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。
空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。
•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。
•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。
•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。
如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。
算法的时间复杂度是指
算法的时间复杂度是指
常见的时间复杂度包括：
1.常数时间复杂度：表示算法的执行时间恒定不变，即与输入数据量
无关。
常数时间复杂度的算法用O(1)表示。
2.线性时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据量成正比。
线性
时间复杂度的算法用O(n)表示，其中n表示输入数据的规模。
3. 对数时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据量的对数关系。
对数时间复杂度的算法用O(log n)表示。
4.平方时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据量的平方关系。
平方时间复杂度的算法用O(n^2)表示。
5.指数时间复杂度：表示算法的执行时间与指数函数相关，通常为
O(2^n)。
指数时间复杂度的算法通常非常低效，不适用于处理大规模数据。
当算法的时间复杂度越高，表示算法的执行时间越长。
在设计算法时，我们通常希望选择时间复杂度较低的算法来提高效率。
奇异值分解时间复杂度计算
奇异值分解时间复杂度计算奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种常用的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、图像压缩、推荐系统等领域。
SVD能够将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而提取出矩阵的主要特征和结构。
本文将从奇异值分解的原理、计算方法和时间复杂度等方面进行介绍。
我们来了解一下奇异值分解的原理。
给定一个m×n的矩阵A，其奇异值分解可以表示为A=UΣVᵀ，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量，Σ的对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的计算方法有多种，其中最常用的是基于Jacobi迭代的方法。
该方法首先将矩阵A转化为对称矩阵AᵀA，然后通过迭代的方式逐步求解出AᵀA的特征值和对应的特征向量，再根据特征值和特征向量计算出奇异值和奇异向量。
接下来，我们来分析奇异值分解的时间复杂度。
假设矩阵A的大小为m×n，其中m>n（即A是一个长方形矩阵）。
那么奇异值分解的计算过程可以分为三个步骤：计算AᵀA的特征值和特征向量、计算奇异值和奇异向量、计算U和V。
计算AᵀA的特征值和特征向量。
由于AᵀA是一个n×n的对称矩阵，其计算特征值和特征向量的时间复杂度为O(n³)。
这个步骤的计算量主要取决于矩阵A的列数n。
然后，计算奇异值和奇异向量。
根据特征值和特征向量的关系，我们可以通过AᵀA的特征值和特征向量来计算出A的奇异值和奇异向量。
由于AᵀA是一个n×n的对称矩阵，所以计算奇异值和奇异向量的时间复杂度同样为O(n³)。
计算U和V。
计算U的时间复杂度为O(mn²)，计算V的时间复杂度为O(n²)。
这两个步骤的计算量主要取决于矩阵A的行数m和列数n。
奇异值分解的时间复杂度主要取决于矩阵A的大小。
当矩阵A的行数m和列数n都较大时，奇异值分解的计算时间将会非常耗时。
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时间复杂度计算学习数据结构时，觉得时间复杂度计算很复杂，怎么也看不懂，差不多三年之后，还是不懂，马上就要找工作了，赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念。
一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。
前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。
当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。
但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。
以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch( int a[], const int n, const int x){int i = 0;for (; a[i] != x && i < n ; i++ );if ( i == n) return -1;else return i;}这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。
在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。
对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n)这就是传说中的大O函数的原始定义。
用大O来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。
对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法（注意，这里用的是“一般提法”）是：当且仅当存在正整数c和n0,使得T(n) <= c*f(n)对于所有的n >= n0 都成立。
则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n))。
这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。
这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。
就是在图象上看就是如果这个函数在c*f(n)的下面，就是复杂度为T(n) = O(f(n))。
对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。
规则1）加法规则T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) )2) 乘法规则T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))3)一个特例在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝O©，c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ).也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。
4)一个经验规则有如下复杂度关系c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、log2N 、n 、n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高，如果是2^n , 3^n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意.1）基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)? （我用^2表示平方，同理^3表示立方）；2）二维矩阵的标准差，残差，信息熵，fft2,dwt2,dct2的时间复杂度: 标准差和残差可能O(n)，FFT2是O(nlog(n))，DWT2可能也是O(nlog(n))；信息熵要求概率，而dct的过程和jpeg一样。
因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=T*X*T'，Z=Y.*Mask，这样子,还有分成8*8子图像了;3)example：1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 ,h(n)=n^1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（1）f(n)=O(g(n))（2）g(n)=O(f(n))（3）h(n)=O(n^1.5)（4）h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。
"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。
这么一来，就好计算了吧。
◆(1)成立。
题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。
◆（2）成立。
与上同理。
◆（3）成立。
与上同理。
◆（4）不成立。
由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。
2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0while(i<n){ k=k+10*i;i++;}解答：T(n)=n-1，T(n)=O(n)，这个函数是按线性阶递增的。
(2) x=n; // n>1while (x>=(y+1)*(y+1))y++;解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。
(3) x=91; y=100;while(y>0)if(x>100){x=x-10;y--;}else x++;解答：T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。
这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。
同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。
算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。
一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作:S(n)=O(f(n))我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。
（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。
【例3．7】有两个算法A1和A2求解同一问题，时间复杂度分别是T1(n)=100n2，T2(n)=5n3。
（1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。
（2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。
即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。
它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。
在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
【例3．8】算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为T(n)=O(n3)，f(n)=n3是该算法中语句(5)的频度。
下面再举例说明如何求算法的时间复杂度。
【例3．9】交换i和j的内容。
Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
【例3．10】变量计数之一。
(1) x=0;y=0;(2) for(k-1;k<=n;k++)(3)x++;(4) for(i=1;i<=n;i++)(5)for(j=1;j<=n;j++)(6)y++;一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分。
因此，以上程序段中频度最大的语句是(6)，其频度为f(n)=n2，所以该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n2)。