雅可比行列式

§ .函数行列式

教学目的 掌握函数行列式． 教学要求

(1)．掌握函数行列式

(2) 能用函数行列式解决一些简单的问题

一、函数行列式

由n A R ⊂到R 的映射（或变换）就是n 元函数，即 12(,,,,)n n x x x y f A R R R ∈⊂⨯⊂⨯L ，或 1212(,,,),(,,,).n n y f x x x x x x A =∈L L

由n A R ⊂到n R 的映射（或变换）就是n 个n 元函数构成的函数组，即 1212(,,,,,,,)n n n n n x x x y y y f A R R R ∈⊂⨯⊂⨯L L ，或

1112221212,12(,,),(,,),(,).(1)(,,).

n n

n n n n y f x x x y f x x x x x x A y f x x x =⎧⎪=⎪∈⎨

⎪⎪=⎩L L L L L L L

表为12(,,)n f f f L ，设它们对每个自变量都存在偏导数

,1,2,1,2i

j

f i n j n x ∂==∂L L ，行列式1

1112222

121

2

n

n n n n n

f f f x x x f f f x x x f f f x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂L L

M M M M

L

（2） 称为函数组12(,,)n f f f L 在点12,(,)n x x x L 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为

121212,12,(,,)(,,)

(,)

(,)

n n n n f f f D f f f x x x D x x x ∂∂L L L L 或

.

例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换

cos ,

sin .x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩

cos sin (,)sin cos (,)x

x

r r

x y y

y r r r ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

∂∂-∂∂∂=

=∂∂∂∂∂22cos sin .r r r ϕϕ=+=

2.柱面坐标变换

cos ,sin ,.x r y r z z ϕϕ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

22cos sin 0

(,,)sin cos 0cos sin (,,)0

01

x x x r

z

r x y z y

y y

r r r r r z r

z

z z z r z

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=

==+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 3.球面坐标变换

sin cos ,

sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

2sin cos cos cos sin sin (,,)sin sin cos sin sin cos sin .(,,)cos sin 0

x x x r

r r x y z y

y y

r r r r r

r z z z r

ϕθ

ϕθϕθϕθ

ϕθϕθϕθϕϕθϕθ

ϕ

ϕϕθ

∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=

==∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂

二、函数行列式的性质

为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n 都是正确的. 已知一元函数()y f x =与()x t ϕ=的复合函数[()]y f t ϕ=的导数是dy dy dx

dt dx dt

=

，与它类似的有：

定理 1.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数，而(,),(,)x x s t y y s t ==也有连续偏导数，则

(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=∂∂∂. 证明：由复合函数的微分法则，有

,u u x u y u u x u y s x s y s t x t y t

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

由行列式的乘法，有

(,)(,)u x u y u x u y

u

u x s y s x t y t u v s

t v

v v x v y

v x v y

s t s

t x s y s

x t y t ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+

+

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

(,)(,)

(,)(,)u u x x

x y u v x y s t v v y y x y s t x y

s t

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 若一元函数()y f x =在点0x 某邻域具有连续的导数()f x '，且0()0f x '≠.由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,()()f x f x ''∆与保持同一符号，因而在∆函数()y f x =严格单调，它存在反函数()x y ϕ=，且

1.dx dy

dy dx

= 和它类似的有：

定理2.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数，且(,)

0(,)

u v x y ∂≠∂，则存在有连续偏导数的反函数组(,),(,)x x u v y y u v ==，且

(,)1

.(3)(,)

(,)(,)

x y u v u v x y ∂=∂∂∂

证明：§.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理1中，令,s u t v ==，有

(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

u v x y u v x y u v u v ∂∂∂=∂∂∂

10101u u

u v v v u v

∂∂∂∂===∂∂∂∂，