激光原理与应用讲-第三章

外
H 2(X)4X22
的 光 场 分
Hm (X)(1)meXddm X meX2
布
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第 3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
三 2. 镜面上自再现模场的特征
章 激
(1)振幅分布:令 F m ( X ) H m ( X ) e X 2 2 ,F n ( Y ) H n ( Y ) e Y 2 2 ,则有
式中 为源点 P'与观察点 P之间的距离； 为源点P' 处的波面法线 n与P'P
的夹角；k2/为光波矢的大小，为光波长； ds' 为源点 P'处的面元。
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第 三 章
激
光 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
器
的
1. 自再现模概念
输
出
➢实验和数值模拟都可证明，当光波在光学谐振腔内多次传播后，光场分布在
u q 1 与 u q之间应满足如下的迭代关系：
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
u q 1 (x,y)4 ik M 'u q(x',y')e i k(1 co)d s' s
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
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第
三 3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1. 谐振条件、驻波和激光纵模
(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的
光才能满足谐振条件
2 2 q q 1, 2,3,
(2) 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。
学
谐 振
菲涅耳引入了干涉的概念，补充了惠更斯原理，认为子波源所发出的波
腔 应该是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。
的
衍
射
理
论
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第 三
章 3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
激
光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
2. 菲涅尔－基尔霍夫衍射公式
➢ 激光谐振腔的谐振频率公式：νmnq2q Lc2cL m n2q Lc
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第 3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
三 1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解
章
激 光 器 的 输
(1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点 选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有 本征函数近似解析解：
uq(x,
y) ik
4
M'
uq(x',
eik y')
(1cos)ds'
u(x,y) ik u(x',y')eik (1cos)ds'
4 M'
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
➢对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射
特
腔内往返传播一次后能够“再现”出来，只是强度发生变化。
性3
§.
1
光
学
谐
振
腔
的 衍
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
射
理
论
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第 三
章 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
2. 自再现模积分方程
出
特
§.
性3
2
➢基横模TEM00场分布为高斯 线型：
对 称
x2y2
u00 C00e L
共
焦
腔 内 外
➢基横模TEM00光斑有效截面 半径：
的 光
ωs xs2ys2 L
场
分
布
图(3-5) F m (X ) X 及 F n(Y ) Y的变化曲线及相应的光强分布
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第 3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
镜的线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满
足的积分方程：
m u m ( x n , y n ) K ( x , y , x ', y ') u q ( x ', y ') d ' s
其中 K ( x ,y ,x ',y ') ik e i( k x ,y ,x ',y ') ie i( k x ,y ,x ',y ')，称为积分方程的核。
光 场 分
其中 arctg1 1 arctgL L 2 2zz。
图3-7 计算腔内外光场分布的示意图
u q 1u q au r q 1 g ar a gu r qg
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为：
au rq 1 g au rq g arg
自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何 相移，它们的关系为：
a k r L g m nk L a rm gn
§.
u q 1 (x,y)4 ik M 'u q(x',y')e i k(1 co)d s' s
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，
除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子
以外，u q 1 应能够将u q 再现出来，两者之间应有
关系：
uq1 uq
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
➢综合上两式可得：
衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示：
光
学 谐 振 腔 的 衍
uq
2
uq1
2
uq
2
mn1mn2
uq1 uq
射
理
论
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
➢本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
学
谐
振
腔
的
衍
射
理 论
图3-3 横模光斑示意图
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第 三 章
激
光 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
器
的
3. 积分方程解的物理意义
输
出
(2)本征值mn 和单程衍射损耗、单程相移
特
§.
性3
➢本征值 mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，包括
1
基尔霍夫进一步用格林函数的方法求解了 波动方程，于是得到了惠更斯－菲涅耳原理的 数学表达式。
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
设波阵面上任一源点 P'的光场复振幅为 u'(P')，则空间任一观察点P的 光场复振幅 u(P) 由下列积分式计算：
u(P )4 iku '(P )ei k(1co )d s's
2 L
L
umn 和σmn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解， 这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。
umn代表了自再现模的光场分布，σmn代表了光场分布的强度变化和相位移动 情况。
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第
三
章 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
§.
激光谐振腔的谐振频率公式： νmnq2q Lc2cL m n2q Lc
纵模频率间隔公式： νqνq1νq2cL
➢应用举例： He-Ne激光器荧光谱的中心频率ν0＝4.74l014Hz，荧光线宽 ΔνF＝1.5l09 Hz ，设μ=1，求：
10cm腔长的He-Ne激光器可能 出现的纵模数量？
30cm腔长的He-Ne激光器可能 出现的纵模数量？
称
共 焦 腔
νq
c 2L
内 外
νm νn νq 2
的
光
场
分
布Hale Waihona Puke Baidu
图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱
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第 3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布
三 章
1.腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的
行波求得。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行
§.
1
光 学
(3)
谐
振
腔
的
kL
2 2q
k 2 ν c
衍 射 理
νmn q 2 q Lc 2cL m n2 q Lc
论
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
激光原理与应用
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性
内 容 概 要
本章主要内容：
1. 光学谐振腔的衍射理论 2. 对称共焦腔内外的光场分布 3. 高斯光束传播特性 4. 稳定球面腔的光束传播特性 5. 激光器的输出功率 6. 激光器的线宽极限 7. 激光光束质量的品质因子M2
u m C n m H m n ( X ) H n ( Y ) e X 2 2 Y 2 ;其 X x 中 2 L ,Y y2 L
出
特 性3
i[k L(mn1)]
本征值近似解： mne
2
§.
2
对 称
Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：
共 焦
H0(X)1
腔 内
H 1(X)2X
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第 三 章
激
光 3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
器
的
1.惠更斯－菲涅耳原理
输
出 特 性3
1
§.
为描述波的传播过程惠更斯提出了关于子波 的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的 波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络
光 面所决定。
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
2. 纵模频率间隔 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模
的频率间隔：
νmn q 2qLc2cL mn νqνq1νq2cL
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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第
三 章
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
光 器
u m C m n F m ( X n ) F n ( Y ) I m u m 2 n F m 2 n ( X ) F n 2 ( Y )
的
图(3-5)画出了m = 0，1，2和n = 0，1的 F m (X ) X 及 F n(Y ) Y 的变化曲线，同
输
时还画出了相应的光振动的镜面光强分布：
激
光 器 的 输 出 特 性3
§.
3. 积分方程解的物理意义
(1)本征函数 u mn 和激光横模
➢本征函数 u mn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜 面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布， 就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。
1
光
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
小结：
➢ 本征函数 u mn 和本征值mn 所代表的含义： （1）本征函数 u mn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅 角则代表镜面上光场的相位分布。 （2）本征值mn的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率 损耗，幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
三 章
(2)位相分布：本征函数 umnx,y为实函数，镜面本身构成光场的一个等相位面。
激
光
(3)单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑
器
单程衍射损耗 （4.1节） 。
的
输
(4)单程相移与谐振频率：
出
特 性3
2 对
§.
m m n e n k i[k ( L L m a n 1 ) r 2 m ] g nν m m n 2 n ( q m q L n c 2 c 1 ) L 2 m nν m n 2 c q L [ q 1 2 ( m n 1 ) ]
激 光
波函数乘以镜面的透射率t。
器 的
2.如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：
输 出 特
umn x,y,zCmH n m
2
12
w2s xHn
2
12
w2s y
§.
性3
2 对
exp122x2w s2y2ex pix,y,z
称 共
其中 2z L为无量纲参量。
焦
腔
内 外
的
( x ,y ,z ) k L 2 ( 1 ) 1 2x 2 L y 2 ( m n 1 ) (2 )
➢图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 M和 M上' 分别建立了坐标轴 两两相互平行的坐标 xy和 x'y' 。利用上式由镜面 M上' 的光场分布可以计算 出镜 M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。
假设 uq(x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上 所形成的场分布，uq1(x, y) 表示光波经过q+1次 渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则