椭圆离心率问题
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一、椭圆离心率的
1、运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜
｜BA ｜
⑤e=｜FO ｜｜AO ｜
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2
c
∴有③。
题目1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形
的两边，则椭圆的离心率e ？
思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c
a
= 3-1
变形1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离
心率？
解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1
变形2: 椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，
PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF 1｜= b 2
a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=
b ｜OA ｜=a
PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2
∴a 2
=5c 2
e=
55
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
题目2：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=
a 2
+b 2
a 2+
b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+
c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2
e 2
+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52
(舍去)
变形：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5
2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=
5-1
2
的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜
BF 1｜,求e?
解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m
在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩⎨⎧a 2
–c 2
=m(2a-c)
2(a 2-c 2
)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23 题目4：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的
一个交点，且
∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P = ｜PF 2｜
sin PF 1F 2
根据和比性质：
｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜
sinF 1F 2P+sin PF 1F 2
变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2
sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =
=
2c
2a
=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2
变形1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，
求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α