自适应信号处理作业

1.自适应滤波如何运用到系统辨识？

自适应滤波理论和技术是统计信号处理和非平稳随机信号处理的主要内容, 它具有维纳滤波和卡尔曼滤波的最佳滤波性能, 但不需要先验知识的初始条件, 它是通过自学习来适应外部自然环境, 因而具有广泛的应用。自适应滤波器( Adaptive filter) 是自设计的,由于其依靠递归算法进行运算, 因此可在有关信号特征的完整知识不能得到的环境下, 圆满的完成滤波运算。由于稳定性问题和IIR 局部最优,所以, 自适应滤波器大多用FIR 来实现。在自适应滤波器应用中一个重要问题是使可调节滤波器参数最优的标准, 以及利用这种标准形成实际上可行的算法。最小均方( LMS, leastmean-square) 算法是现今应用最为广泛的一种线性自适应算法, 它不需要有关的相关函数和矩阵求逆运算, 是一种极为简单的算法.

最小均方误差(LMS，least mean square) 算法于1960年提出后, 因其具有计算量小、易于实现等优点而获得大量应用。典型的应用领域有系统辨识、信号处理和自适应控制等。LMS 算法的基本原理是基于估计梯度的最速下降法, 即沿着权值的梯度估值的负方向进行搜索,以期达到权值最优, 实现均方误差最小意义下的自适应滤波。

系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。

2.在系统辨识中，LMS，RLS算法的形式？

2.1 LMS

原理：

设通信系统输出信号为：

y(k)=W T X(k) (1) 其中，该系统权向量为：

W=[w1, w2,…, w n]T(2) 输入信号为

X(k)=[x(k), x(k-1), …,x(k-m+1)]T(3) 误差信号定义为

e(k)=d(k)-y(k)=d(k)-W T(k)X(k) (4) LMS算法的原理是用e2(k)来估计E(e2(k))，此时有

▽(k)=-2e*(k)X(k) (5) 这样梯度法的叠代公式变为

W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X (k) (6) 其中，*为共扼。

算法步骤：

基本的LMS算法如下：

步骤1 初始化：W(0)=0, 0<μ<1/λmax

步骤2 W(k+1)=W(k)+2μe(k)X*(k)

步骤3 判断是否收敛，如果不收敛，令k=k+1，回步骤2。

2.2 RLS

原理

SISO 系统动态过程的数学模型：

1

1

()()()()()A z z k B z u k n k --=+

（1）

其中()u k ，()z k 为输入输出量，()n k 为噪声。式中

1

1

2

12()1...a

a n n A z

a z a z

a z

----=++++11

2

12()...b

b n n B z

b z

b z

b z

----=+++展开后得到：

1212()(1)(2)...(1)(2)...()a b n n b z k a z k a z k a b u k b u k b u k n =------+-+-++-模型（1）可化为最小二乘格式：

()()()z k h k n k τ

θ=+

（2）

记1212[,,...,,,...,]a

b

n n a a a b b b τθ=

为待估计的参数。()[(1),...,(),(1),...,()]a b h k z k z k n u k u k n τ=------，对于1,2,...k L =（L 为数据长度）

。方程（2）构成一个线性方程组，写成()()()L L L z k H k n k θ=+； (1)(2)()L z z Z z L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(2)()L

h h H h L τ

ττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，(1)(2)()L n n n n L ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 根据最小二乘法一次完成算法，其参数估计为：1ˆ()L L L L

LS H H H Z ττθ-=。

参数递推估计，每取得一次新的观测数据后，就在前次估计结果的基础上，

利用新引入的观测数据对前次估计的结果，根据递推算法进行修正，减少估计误差，从而递推地得出新的参数估计值。这样，随着新观测数据的逐次引入，一次接一次地进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。 算法步骤：

步骤一：初始化(0)0W =；1(0)P I σ-=，其中I 为单位矩阵； 步骤二：更新1,2,...n =计算

更新增益矢量：()(1)()/[()(1)()]T g n P n X n X n P n X n λ=-+-； 滤波：()(1)()T y n W n X n =-； 误差估计：()()()e n d n y n =-；

更新权向量：()(1)()()W n W n g n e n =-+；

更新逆矩阵：1()[(1)()()(1)]T P n P n g n X n P n λ-=---；

其中，()P n 为自相关矩阵()xx P n 的逆矩阵，常数λ是遗忘因子，且01λ<<。

3.最优意义下的权向量是什么？

LMS ：W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X (k) RLS ：()(1)()()W n W n g n e n =-+

4.采用LMS ，RLS 算法后，仿真结果，分析步长选择对整体性能的影响？ LMS ：4.1输入信号采用在区间（0，1）为均匀分布的随机信号。

图1给出的是采用LMS 算法，当μ＝0.01，叠代1000次后，得到系统滤波器参数的收敛曲线图。从图中我们可以看到，三个系数基本在叠代到第200次收敛到真实值，可见算法在这种情况下是有效的。