无限冲激响应数字滤波器的设计一

第六章 无限冲激响应数字滤波器的设计无限冲激响应（IIR ）数字滤波器可以实现用较少的阶数达到要求的幅度特性，因此，所需的运算次数及存储单元都较少，所以，在要求相位特性不严格的场合使用IIR 数字滤波器是适宜的。

IIR 滤波器的系统函数可以用极、零点表示如下：∏∏∑∑=-=-=-=---=-=Nk kMk kN k k k Mk kk z dzc Az a zb z H 11111)1()1(1)(一般满足M ≤N ，这类系统称为N 阶系统，当M >N 时，H (z )可看成是一个N 阶IIR 子系统与一个(M-N)阶的FIR 子系统的级联。

以下讨论都假定M ≤N 。

IIR 滤波器的系统函数的设计就是确定各系数a k , b k 或零极点c k ，d k 和A ，以使滤波器满足给定的性能要求。

设计IIR 数字滤波器一般有以下三种方法：(1) 模拟-数字转换法 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。

这种方法很方便， 因为模拟波滤波器已很成熟，它有很多现成的设计公式，并且设计参数已经表格化， 使用起来既方便又准确。

(2) 直接法滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度和相位响应。

所以，通过合理设置数字滤波器系统函数的零、极点，即可得到符合要求的滤波特性。

这种方法往往需要多次调整零、极点位置，称为直接法，也称为零、极点累试法。

(3) 计算机辅助设计法。

这是一种最优化设计方法。

它先确定一种最优化准则， 例如设计出的实际频率响应的幅度与理想频率响应的幅度的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等， 然后确定满足该最佳准则的滤波器系数a k 、b i 。

这种设计一般不易得到滤波器系数的显式表达式， 而是需要进行大量的迭代运算，需用计算机辅助设计完成。

本章主要讨论IIR 滤波器的特点及主要设计方法。

§6-1 IIR 数字滤波器的特点及结构一、IIR 滤波器的主要特点IIR 滤波器的差分方程及系统函数分别为：1()(1)()M Ni i i i y n b x n a y n i ===-+-∑∑ （6-1）01()()()1Mii i N ii i b zY z H z X z a z -=-===-∑∑ （6-2）这种系统结构中存在反馈环节，因此称为递归系统；又因为该系统的冲激响应h(n)是无限长序列，所以又称为无限冲激响应（Infinite Impulse Response----IIR ）系统。

这种类型的滤波器有如下特点：（1）单位冲激响应h(n)是无限长序列可将IIR 滤波器的系统函数展开成部分分式：0111()()()11Mii Ni kN ik k i i b zA Y z H z X z a za z -=--=====--∑∑∑ 单位冲激响应为1()()kNn k k h n A a u n ==∑；显然，其是无限长的。

（2）系统函数H(z)在有限Z 平面存在极点因此，存在稳定性问题。

为了使系统是因果稳定的，需要使极点在单位园内。

即，应采取措施使||1,1,2,,k a k N<=（3）结构上存在输出到输入的反馈可改进滤波器幅频特性，因此，阶数少，需要的存储单元数目及乘法运算次数少，系统的速度快，结构简单，适合对实时性高的场合。

由于IIR 滤波器具有上述特点，导致IIR 滤波器在设计上具有如下特点：1、阶数少、运算次数及存储单元都较少，适合应用于要求相位特性不严格的场合。

2、有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。

3、是递归系统，存在稳定性问题。

因此，设计时需要研究其稳定性。

4、在相同阶数下，由有限字长效应引起的量化误差较大，并且其误差与其实现结构有关。

二、无限冲激响应（IIR ）数字滤波器的结构根据IIR 的表示，IIR 有4种基本结构：直接型（直接I 型）结构、规范型结构（直接II 型）、级联型结构和并联型结构。

1 直接型结构也叫直接I 型结构（Direct form I structure ）。

这种结构是直接通过差分方程得到的。

一个N 阶的IIR 滤波器的输入输出关系可以用如式（6-1）所示的N 阶的差分方程来描述。

把式（6-1）重写如下：1()()()M Ni i i i y n b x n i a y n i ===-+-∑∑从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y (n )由两部分构成：第一部分()Mi i b x n i =-∑是一个对输入x (n )的M 阶延时网络结构，把每节延时抽头后加权（加权系数是i b ）相加，构成一个横向结构网络。

第二部分1()Ni i a y n i =-∑是一个对输出y (n )的N 阶延时的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。

这两部分相加构成输出y (n )，如图6-3所示。

从图上可以看出，直接Ⅰ型结构由上述两部分网络级联而成，前一个实现零点，后一个实现极点，该结构需要M+N 个延时单元和M+N +1个乘法器，M+N 个加法器。

图 6-1 直接I 型结构（Direct form I structure ）2 规范型结构-- Canonic form structure （直接Ⅱ型, Direct form I structure ）规范型结构又称直接Ⅱ型结构。

由图6-2，直接Ⅰ型结构的系统函数H (z )也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。

输入信号x (n )先通过系统H 1(z )，得到中间输出变量y 1(n )，然后再把y 1(n )通过系统H 2(z )得到输出信号y (n )。

即y (n )0121()()()1Mii i N ii i b zH z H z H z a z -=-===-∑∑ （6-3）式中,10()Mii i H z b z -==∑，对应的差分方程为:10()()Mi i y n b x n i ==-∑211()1Nii i H z a z -==-∑，对应的差分方程为：11()()()Nii y n a y n i y n ==-+∑假设所讨论的IIR 数字滤波器是线性移不变系统，显然交换H 1(z )和H 2(z )的顺序不会影响系统的输入输出关系，即1221()()()()()H z H z H z H z H z ==若系统函数H (z )的分子阶数和分母阶数相等，即M=N 时，其结构如图6-3所示。

由图可见，输入信号x (n )先经过反馈网络H 2(z )，得到中间输出变量221()()()Ni i y n a y n i x n ==-+∑然后，将y 2(n )通过系统H 1(z )，得到系统的输出y (n )20()()Mi i y n b y n i ==-∑由图可见，图的中间的两条串行延时支路都是对中间变量y 2(n )进行延迟的延时支路，是完全相同的，可以合并这两条延时支路，合并后得到如图6-4所示的直接Ⅱ型结构（图中取M=N ），或称规范型结构。

图 6-2 直接Ⅰ型的变形结构 图 6-3 接Ⅱ型结构（规范型结构）（Direct form II structure ）y (n )x (n )y (n )b比较图6-1和图6-3可知：这种结构需要M+N 个延时单元和M+N +1个乘法器，M+N 个加法器。

对N 阶差分方程，直接Ⅱ型仅需N 个延时单元（一般N ≥M ），比直接Ⅰ型结构的延时单元少，是实现N 阶IIR 滤波器所需的最少延时单元，因此，又称规范型（Canonic form structure ）。

由于参加参与反馈的噪声源减少一半，这种结构的误差或输出噪声要比直接I 型的要小。

这种结构用硬件实现可以节省寄存器数目，比直接Ⅰ型经济；用软件实现则可节省存储单元，因此比直接型好。

但是，对于高阶系统，这两种直接型结构表示的滤波器的系数i a ，i b 对滤波器的性能控制作用不明显，因为，滤波器的每一个极点（或零点）是由所有系数,1,2,,i a i N =（或,1,...,i b i M =）共同决定的，因而调整零、极点困难，每调整一个极点（或零点）需要调整所有系数i a （或i b ）；由于这样的特点，滤波器性能对系数的量化效应敏感度也很高（因为某一系数的一个微小变化可能导致极点或零点的较大变化），从而导致滤波器性能发生较大变化，甚至导致系统的不稳定或产生较大误差，因此，在实际系统实现中不建议采用这两种结构。

3 级联型（Cascade Form Structures ）若把式(6-2)描述的N 阶IIR 滤波器的系统函数H (z )的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘的形式11111(1)()1(1)MMiii i i N Ni i ii i c zb zH z Aa z d z--==--==-==--∑∏∑∏ (6-4)式中：A 为常数，ci 和di 分别表示H (z )的零点和极点。

由于H (z )的分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和共轭复根两种情况。

1211*1111211*111(1)(1)(1)()(1)(1)(1)M M iii i i N N iii i i g z h zh z H z Ae zf zf z ---==---==---=---∏∏∏∏将每一对共轭零点（或极点）合并起来可构成一个实系数的二阶因子，并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把H (z )表示成多个实系数的二阶数字网络Hj (z )的连乘积形式， 如式(6-5)所示:1()()Kj j H z A H z ==∏ (6-5)式中： 121212121()1j j j j j z z H z z zββαα----++=--，12N K +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]表示取整运算。

若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结构均采用前面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如图6-4所示。

图6-4 级联型结构Cascade Form Structure在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点。

调整系数β0j、β1j和β2j只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数α1j和α2j也只单独调整了第j对极点。

因此，与直接型结构相比，级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。

此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算误差也比直接型小。

因为式（6-5）中分子、分母的二阶因式可以任意组合，因此可以得到不同的结构形式，这将导致系统的误差性能不同（即量化误差导致的输出误差不同），因此，存在一个优化组合问题，适当地选择组合形式会显著地降低误差。