第五课时 三角函数图像与性质

第五课时 三角函数的图像与性质

【学习目标】

1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像。

2. 了解0),sin(>+=ϕϕωx A y 的实际意义。

3. 了解函数的周期性

4. 以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】

三角函数的图象变换

【学习难点】

三角函数的图象变换

[自主学习]

1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．

“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．

注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．

⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．

3．“五点法”作y ＝Asin(ωx＋ϕ)(ω>0)的图象．

令x'＝ωx＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．

４．函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．

振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0

周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ．

相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．

由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：

或

说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．

[典型例析]例1. 已知函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)(A>0，ω>0)

⑴ 若A ＝3，ω＝21，ϕ＝－3

π，作出函数在一个周期内的简图． ⑵ 若y 表示一个振动量，其振动频率是

π2，当x ＝24π时，相位是3

π，求ω和ϕ．

例2.已知函数y=3sin )421

(π-x （1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的；

（3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

例3．已知函数23cos sin 3)(2

+-=x x xcox x f ϖϖϖ ),(R x R ∈∈ϖ的最小正周期为π且图象关于6π=x 对称；

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若函数y ＝1－f(x)的图象与直线y ＝a 在]2

,0[π上中有一个交点，求实数a 的范围．

例4 设关于x 的方程cos2x ＋

3sin2x ＝k ＋1在[0，2π]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k 的取值范围．

[当堂检测] ⒈把函数x x y sin cos 3-=的图象向右平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________________________

⒉把函数x y cos =的图象上的所有点的坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4

π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为___________ 3函数)2

52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴为___________________

4. 把函数)3sin 3(cos 2

2x x y -=的图象适当变换就可以得到)3sin(x y -=的图象，这种变换可以是______________________

[学后反思]____________________________________________________ _______

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