(word完整版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型教案

中点模型

授课日期时间

主题中点模型

教学内容

学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？

直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？1. 直角三角形斜边中线定理：

如图，在Rt ABC

∆中，90

ACB

∠=︒，D为AB中点，则有：

1

2

CD AD BD AB

===。

C

B A

D

2. 三线合一：

在ABC

∆中:（1）AC BC

=；（2）CD平分ACB

∠；（3）AD BD

=，（4）CD AB

⊥.

“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。

D

A B

C

3. 中位线定理：如图，在ABC

∆中，若AD BD

=，AE CE

=，则//

DE BC且

1

2

DE BC

=。

E

D

A

B C

4. 中线倍长(倍长中线)：

如图（左图），在ABC

∆中，D为BC中点，延长AD到E使DE AD

=，联结BE，则有：ADC

∆≌EDB

∆。

作用：转移线段和角。

A

B C

E

D

D

M

C

B

A

例1：如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且CE

AB=，求证：CED

BAD∠

=

∠.

A

D

B C

E

提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明

试一试：如图，已知在ABC

∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AC

BE=，延长BE 交AC于F，求证：EF

AF=。

F

E

D

B C

A

证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG

类比倍长中线易得：△BDE≌△CDG

所以∠BED=∠DGC，BE=CG

因为BE=AC，所以AC=GC

所以∠EAC=∠DGC，

因为∠BED=AEF G

F

E

D

B C

A

1. 在梯形ABCD 中，BC AD //，BC AD AB +=，E 为CD 的中点，求证：BE AE ⊥

A E

B

C

D

提示：延长AE 、BC 交于点F ，

易证△ADE ≌△FCE ，得AD =CF ，AE =EF 。 因为BC AD AB +=，所以AB =BF ， 所以AE ⊥BE

2. 如图，已知：ABC ∆中，D A ,90ο

=∠是BC 的中点，DF DE ⊥。求证：2

22EF CF BE =+

F

D C

B

A

E

证明：延长ED 至点G ，使得ED =DG ，联结CG 、FG

因为BD DC EDB CDG ED DG =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，所以△BDE ≌△CDG

所以∠B =∠DCG ，BE =CG

因为90A ∠=o

，所以∠B +∠ACB =∠DCG +∠ACB =90°

所以2

2

2

2

2

CG CF BE CF FG +=+= 因为DF DE ⊥，ED =DG ，所以EF =FG

G

F

D

C

B

A

E

∴ME∥CD，EM=

1

2

CD，MF∥BA，MF=

1

2

BA．

∵AB=CD，∴EM=MF，∴∠MEF=∠MFE．

∵EM∥CH，∴∠MEF=∠CHE

∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGE

∴∠CHF=∠BGE；

【巩固练习】

1. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD

BD2

=，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。求证：（1）AC

BE⊥（2）EF

EG=.

G

F

E

O

B C

A D

提示：（1）等腰三角形三线合一可得

（2）中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得