高数a2
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
高数A2(A卷)
……………………………… 密 ……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（一）2007 ~ 2008学年第二学期期末考试《 高等数学A2》试卷(A 卷)一、选择题(共4分×6)(将结果填入下表中: ) 1、函数),(y x f z =在),(y x 点有偏导数是它在该点连续的( ).(A)充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；(C)充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.2、设),2ln(),(xy x y x f += 则=)0,1(y f ( ）.(A) 21-； (B)21； (C) 0； (D) 1.3、函数3121x cx y -=(c 为任意常数)是微分方程222x dxy d -=的（ ).(A)解,但既非通解又非特解； (B)通解;(C)特解; (D)不是解.4、函数y x xy y x z 84222-+++-=的驻点是（ ）. （A ）(-1,3); （B ）(3,-1); （C ）(3, 1); （D ）(-1,-3).5、二阶线性非齐次方程xe x y y y )1(2-=+'-''的特解形式是（ ）.(A)x e b ax )(+; （B ）xe bx ax )(2+; (C)xe bx ax )(23+; （D ）xe bx ax )(3+.6、设级数∑∞=1)1(!3n nn nn 与级数∑∞=1)2(!2n nnnn , 则成立（ ）.(A)级数(1)、(2)均收敛; (B)级数(1)、(2)均发散.; (C)级数(1)收敛, 级数(2)发散; (D)级数(1)发散, 级数(2)收敛二、填空题(共4分×6)1、设),(v u f 有连续偏导数,且),(yxe ef z =, 则=dz __________________.2、级数∑∞=+1623n nnn 的和是__________.3、)(x f 在某区域内有连续导数, 若积分⎰+Ly dy x f xdx e ])([2与路径无关, 则.____________________)(=x f4、设一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个特征根,为-2和3,则此微分方程是________________________, 其通解为___________________________.5、设Ω是由光滑闭曲面∑围成的空间区域,其体积是V , 则沿∑内侧的曲面积分⎰⎰∑=-+-+-.______________)2()3()(dxdy y z dzdx x y dydz z x6、设平面上力j xy i y F 32+-=, 在力F 的作用下, 质点沿曲线L 运动, 则力F 所做的功用曲线积分表示为__________________________.三、解答题(共47分) 1、[5分]求曲面1232=+z xy 在点(1,-2,2)处的切平面与法线方程.2、[5分]计算积分: ⎰⎰ππydx xx dy sin 0.3、[5分]求微分方程满足初始条件的特解: ⎪⎩⎪⎨⎧==+1)0(y ey dx dy x .高数试卷A2(A 卷)（第1页）……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（二）4、[5分]用重积分算出半球体0,2222≥≤++z a z y x 的体积V .(用其它方法不给分)5、[5分]),(v u f 可微, 且32),(x x x f =, 422),(x x x x f u -=,求 ),(2x x f v .6、 [5分]设L 是圆周x y x 222=+的正向曲线,计算第二类曲线积分dy y xydx y x x I L⎰-+-=)()(3223. (注:163cossin204204πππ⎰⎰==xdx xdx )7、[6分]求幂级数∑∞=-1)3(n nnx 的收敛域(含端点讨论).8、[6分]求幂级数∑∞=-11n n nx 在(-1,1)上的和函数.9、[5分]设222),,(z y x z y x f ++= ，求函数在点M （1，1，0）沿方向)1,2,1(=l的方向导数lf ∂∂.四、[5分]计算二重积分：,)1ln(2dxdy y y x I D⎰⎰++=其中D 由x y 3-=，24x y -=，x = 1 所围成的闭区域.五、附加题 [6分]设微分分方程0)4(32='++''y ey y(1)若把x 看成未知函数，y 看成自变量，则方程化成什么形式； (2)求此方程的通解.高数试卷A2(A 卷)（第2页）。
高数A2习题集
（4） xyʹ′ − y − y2 − x2 = 0
（5）
(1 +
x
2e y
)dx
+
x
2e y
(1 −
x
)dy
=
0
y
（6） yʹ′ + y = 1 x ln x dy
（7） tan x − y = 5 dx
（8） ( y2 − 6x)dy + 2ydx = 0
C.αβ
= 1
D.α
=
β
=
1
2
2
2. 设 λ 为常实数，方程 yʹʹ′′ + 2λ yʹ′ + λ2 y = 0的通解是
A.c1e−λx + c2 B.c1 cos λx + c2 sin λx C.e−λx (c1 cos λ x + c2 sin λ x) D.(c1 + c2 x)e−λx 3. 方程 yʹʹ′′ − 2 yʹ′ + 2 y = ex cos x的特解 y∗ 形式为
第六章 常微分方程习题
一． 选择题
1. 若 y1, y2是方程 yʹ′ + p(x) y = q(x)(q(x) ≠ 0) 的两个特解，要使 α y1 + β y2 也是解，
则α 与 β 应满足的关系是
A.α
+β
=
1
B.α
+β
= 1
解， c1, c2为任意常数， 则该非齐次方程的通解是
A.c1y1 + c2 y2 + y3
B.c1y1 + c2 y2 − (c1 + c2 ) y3
C.c1y1 + c2 y2 − (1− c1 + c2 ) y3
2016高数A2复习题
1. 已知(3)(75),(4)(72)a b a b a b a b a b +⊥--⊥- ，求向量与的夹角。
(3π)2在直线4226x y z m n p--==+方程中，m,n,p 取怎样的值，直线与坐标面xoy,yoz 都平行。
（0,0,6m n p =≠=-）3. 直线321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩与平面 4220x y z -+-=的位置关系是（ ）. A.直线在平面内； B.平行但不在平面内； C.垂直； D.相交但不垂直.4.求曲线21,1t t x y z t t t+===+，在2t =处的切线方程。
5.求曲线22221010x z y z ⎧+=⎨+=⎩在(1,1,3)处的切线方程。
（113331x y z ---==-） 6. 求曲面2222321x y z ++=平行于平面460x y z ++=切平面方程。
7.设函数222222221()sin ,0()(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，在点(0,0)处的连续性与可导性。
8.求旋转抛物面22z x y =+与平面22x y z +-=之间的最短距离。
)()22(61),,(222y x z z y x z y x F --+--+=λ构造拉格朗日函数： 8．设22(,)()x z f xy g x y y =+-，其中函数,f g 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂. 9.设,z x y z e dz ++=求。
10.对20020(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰交换积分次序后是（ ）.A220(,)dy f x y dx ⎰；B 200(,)dy f x y dx ⎰；C 2220(,)y dy f x y dx ⎰⎰；D 20(,)y dy f x y dx ⎰.11. 计算二重积分（1）2y D xedxdy -⎰⎰，其中D 是以(0,0)(1,1)(0,1)，，为顶点的三角形区域。
大一高数a2知识点总结
大一高数a2知识点总结大一的高等数学A2课程是大家所共有的一门基础课程，是建立在A1课程的基础之上。
本文将对大一高数A2课程的一些重要知识点进行总结，希望对大家的学习有所帮助。
函数及其图像在A2课程中，我们首先学习了函数的概念及其图像。
函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的集合映射到一个因变量的集合。
函数的图像是函数在坐标系中的表示，通过描绘函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质。
常见的函数类型包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
我们需要了解它们的定义、性质以及它们的图像特征。
通过观察和分析函数的图像，我们可以获得函数的增减性、极值点、曲线的对称性等重要信息。
导数与微分在函数的研究中，导数是一个非常重要的概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，是函数曲线切线的斜率。
导数的概念可以帮助我们研究函数的变化趋势、求解极值问题等。
通过定义和性质的学习，我们学会了求取函数的导数。
常见函数的导数公式及其推导也是我们学习的重点。
在应用导数的过程中，我们可以通过导数求解函数的增减区间、求取函数的最值、研究曲线的弧微分等问题。
微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
微分的概念和计算上往往与导数密切相关，因此我们需要学会将导数与微分相互转化，并掌握微分的一些基本计算方法。
不定积分与定积分在函数的积分研究中，我们学习了不定积分和定积分。
不定积分是指对函数进行积分操作，得到的结果是一个不确定的函数（即原函数）。
定积分则是对函数在一定区间上的积分操作，得到的结果是一个确定的数值。
通过学习不定积分的计算方法，我们可以对常见函数进行求积表达。
需要掌握的内容包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
在求解定积分的过程中，我们需要了解积分的几何意义，研究函数在一定区间上的面积、弧长以及平均值等问题。
微分方程微分方程是大一A2课程的另一个重要内容。
它描述的是一个函数与它自身的导数之间的关系。
微分方程在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
燕山大学高等数学 A2 考试题汇编
4 2 33
3. 极限 lim
x 0
。
1 x
ln 5 0
ex
ex 1 ex 3
ln 5 0 2 0
dx
ex
x 2 0
ex 1 e 3
x
0
(1 sin 2t ) dt =
2x
1 t
dx
e2
ex 1 e 3
x
d ( e )
x
u e x
2
5 1
u 1 u3
燕山大学高等数学 A2 考试题汇编
说明：2012 年之前，秋季学期高数只考一次，本文试题从 2007 年至 2011 年统考试卷中抽取而得。电子版版权所有，未经许可，请勿传播。
一．选择题（每小题 4 分）
1. 设 f ( x) 连续， F ( x)
x2 0
f (t ) dt ，则 F ( x) 【 C 】
（A） f ( x 2 ) ； （B） x 2 f ( x 2 ) ； （C） 2 x f ( x 2 ) ； （D） 2 x f ( x) . 2. 若 f ( x) 为连续函数，则 f (3x ) dx 【 B 】 （A）f (3x) C ； （B） 3. 曲线 y x2 1
1 f (3x) C ； （C） 3 f (3x) C ； （D）f ( x) C . 3
1 2 ( x 1) , x0 1 2 2 ( x 1) , x 0 ； （B） 2 ； （ A） 1 (1 2 cos x ) , x 0 , x0 cos x 2 1 2 1 2 , x0 , x0 x x C （ C） 2 ； （D） 2 . x x x C x 1 cos , 0 1 cos , 0 5．有一椭圆形薄板，长半轴为 a ，短半轴为 b ，薄板垂直立于液体中， 而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为（ B ） 4 2 4 2 （A） a 2 b ； （B） a 2 b ； （C） a b 2 ； （D） a b 2 . 3 3 3 3
高数A2总复习资料
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
高等数学a2 共轴
高等数学a2 共轴
高等数学A2共轴是一个涉及到高等数学和线性代数的概念。
它主要涉及到向量空间和线性变换，特别是矩阵和向量之间的关联。
在高等数学中，共轴的概念通常用于描述两个或多个向量之间的相对位置。
如果两个向量在同一条直线上，并且方向相同或相反，则它们被认为是共轴的。
这种概念在向量运算和线性变换中非常重要，因为它们涉及到向量的加法、数乘和向量的模长等运算。
在矩阵和线性变换中，共轴的概念也具有重要意义。
矩阵可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，而这种变换会影响到向量的方向和长度。
如果两个向量在变换前后是共轴的，那么它们的方向和长度将保持不变。
高等数学A2中的共轴概念在向量空间中有广泛的应用。
以下是几个例子：
1.共轴在解决线性代数问题中非常重要。
例如，在解决线性方程组时，如果系数矩阵的行向量是共轴的，那么可以通过行变换将其转化为上三角矩阵，从而简化方程组的解法。
2.在向量分析中，共轴的概念可以用于确定向量的方向和长度。
例如，如果两个向量共轴，则它们的模长相等。
3.在解析几何中，共轴的概念可以用于描述平面或空间中的直线和曲线的位置关系。
例如，如果两条直线共轴，则它们是平行的。
4.在物理学中，共轴的概念可以用于描述物体的运动和力的作用。
例如，在力学中，如果两个力共轴，则它们的方向相同或相反，它们的合力可以通过向量的加法或减法得到。
综上所述，高等数学A2中的共轴概念在向量空间中有广泛的应用，涉及到线性代数、解析几何、物理学等多个领域。
东北林业大学17-18高数A2阶段2考试
2017－2018 学年第二学期阶段考试试题考试科目： 高等数学A2 （2） 试卷总分：100分一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、已知()()3,1,2,1,2,1a b =-=-，则32a b -+= ，(2)3a b -⋅= ，a b ⨯= ，b 在a 上的投影 .2、设sin 2(,)cos ln(1)x yf x y x y ex y +=++，则(0,0)(0,0)x y f f ''+= .3、曲线2,2,s i n x t y t t z t ==+=在00=t 处的切线方程为.4、曲面arctan14y xz π=+在点(2,1,0)-处的切平面方程为 . 5、函数23u xy z xyz =+-在点(1,1,2)M 处沿方向角为3πα=，4πβ=，3πγ=的方向的方向导数为 . 1、(7,1,4)-，42-，()3,1,52 2、1 3、121x y z== 4、210y z +-= 5、5 二、单选题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、直线1121x y z +==--和平面1x y z --=之间的位置关系为（ ）。
A 、平行； B 、垂直； C 、斜交； D 、直线在平面内。
2、空间直角坐标系中222254x y z x ⎧++=⎨=⎩表示的几何图形是（ ）.A 、圆;B 、球面;C 、柱面;D 、椭圆. 3、已知(,)f x y =，则（ ）.A 、()0,0x f '，()0,0y f '都存在；B 、()0,0x f '存在，()0,0y f '不存在；C 、()0,0x f '不存在，()0,0y f '存在；D 、()0,0x f '，()0,0y f '都不存在.4、二元函数220(,)00xy xy x yf x y xy ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ ）.A 、连续，偏导数存在；B 、连续，偏导数不存在；C 、不连续，偏导数存在；D 、不连续，偏导数不存在.5、设函数(,)u x y 在有界闭区域上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足20u x y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）. A 、(),u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得； B 、(),u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得；C 、(),u x y 的最大值在D 的内部取得，(),u x y 的最小值在D 的边界上取得； D 、(),u x y 的最小值在D 的内部取得，(),u x y 的最大值在D 的边界上取得. 1、 D 2、 A 3、C 4、 C 5、A三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.()2,1,0-2、求极限()00x y xy →→. 12=-2017－2018 学年第二学期阶段考试试题3、设,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数， 求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.1211z f y f g x y y∂'=++∂ 2111222232311z x xf xy f f fg g x y y y y y∂'''=+⋅----∂∂4、设(,)z z x y =由方程3yz zx xy ++=确定，求z x ∂∂和z y∂∂.z z y x x y ∂+=-∂+ z z x y x y∂+=-∂+5、已知连续函数(,)z f x y =满足01,220x y f x y x y →→-+-=，证明(,)z f x y =在()0,1处可微，并计算()0,1dz .(0,1)2dz dx dy =-6、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数()22,812C x y x xy y =-+（元）， 商品的限额为42x y +=，求最小成本.(25,17)8043C =。
高等数学a2 门限
高等数学a2 门限高等数学A2门限是指学生在学习高等数学A2课程时所需达到的最低要求或标准。
在高等数学A2课程中，学生需要掌握的知识和技能相对较多，门限的设定旨在帮助学生明确自己的学习目标，促使他们努力学习和提高。
首先，在高等数学A2门限中，学生需要掌握基本的数学概念和基本的运算技巧。
这包括对微积分、线性代数、概率论等数学分支的基本理解和掌握。
学生需要能够熟练运用微积分中的导数和积分，理解线性代数中的向量、矩阵和线性方程组的基本概念，掌握概率论中的概率计算和统计分析等知识。
其次，在高等数学A2门限中，学生需要具备一定的数学建模能力和问题解决能力。
数学建模是将数学方法应用于实际问题的过程，学生需要能够将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，解决现实生活中的复杂问题。
学生需要能够分析和理解问题的本质，运用数学方法和技巧进行建模和求解，提出有效的解决方案。
另外，在高等数学A2门限中，学生需要具备良好的数学推理和逻辑思维能力。
数学是一门逻辑严谨的学科，学生需要能够理清问题的逻辑关系，进行严密的数学推导和证明。
学生需要能够准确地分析和推理问题，发现问题的规律和特点，运用数学方法进行证明和推理，得出正确的结论。
最后，在高等数学A2门限中，学生需要具备良好的数学学习能力和自主学习能力。
高等数学A2课程的学习需要学生具备良好的学习态度和学习方法，学生需要能够主动学习，积极思考，独立解决问题，不断学习和提高自己的数学水平。
学生需要能够合理安排学习时间，有效利用学习资源，不断探索和学习新的数学知识和技能。
总的来说，高等数学A2门限是学生在学习高等数学A2课程中所需达到的最低要求或标准，学生需要掌握的数学知识和技能，具备数学建模能力和问题解决能力，具备数学推理和逻辑思维能力，具备数学学习和自主学习能力。
学生只有在达到高等数学A2门限的基础上，才能够更好地学习和应用数学，提高数学水平，为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
南华大学高数a2期末试题及答案
南华大学高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. -42. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)（）A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+33. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程是（）A. y=3x-2B. y=3xC. y=x-2D. y=x4. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=3a_{n-1}(n≥2)，则a_5的值为（）A. 243B. 81C. 27D. 95. 计算定积分∫(0,1)x^2dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(2)的值（）A. 0B. 4C. 8D. 107. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1，求f'(x)（）A. 3x^2+6x-9B. x^2+3x-9C. 3x^2+6x+9D. x^2+3x+98. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(1,4)处的切线斜率是（）A. -2B. 0C. 2D. 49. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n=2a_{n-1}(n≥2)，则a_4的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 计算定积分∫(-1,1)(x^2-1)dx的值是（）A. 0B. 2C. -2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+4的极值点是______。
2. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f''(x)=______。
3. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(2,0)处的切线方程是y=______。
4. 已知数列{a_n}满足a_1=3，a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，则a_3的值为______。
5. 计算定积分∫(0,2)(x^2-2x+1)dx的值是______。
浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)
浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题（A ）卷班级 学号 姓名 一、 选择题（每小题4分，满分28分）1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为 （ ）(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 ２、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝ （ ）(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为 （ ）(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数，点A )2,1(，B )8,2(在曲线22x y =上。
L为由A 到B 的任一曲线，则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223（ ）。
(A) 20， (B) 30， (C) 35， (D) 40。
5、 设b 为大于1的自然数，对幂级数∑∞=1n bnnx a，有a a a nn n =+∞→1l i m，（1,0≠>a a ），则其收敛半径=R （ ）。
(A) a ， (B) a1， (C)ba ， (D)ba1。
6、下列级数收敛的是 （ ）(A) ∑∞=1sin n n π； （B ）∑∞=1100!n n n ； （C ）∑∞=+12)11ln(n n ； （D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn ． 7、已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （ ）（A ）x xe e--2 （B ）x x e e 2-- （C ）x x e e 2-- （D ）x x e e --2二、填空题（每小题4分，满分20分）1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。
南林高数a2期末试题及答案
南林高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 + 3x + 2，则f'(x)等于（）。
A. 2x + 3B. 2x + 6C. x^2 + 3D. x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f(g(x))等于（）。
A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. e^x * ln(x)答案：A4. 曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 3C. -2D. 1答案：B5. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。
A. 5B. 9C. 17D. 33答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，则f'(x) = ________。
答案：3x^2 - 12x + 117. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = ________。
答案：cos(x) - sin(x)8. 若数列{an}是等比数列，且a1 = 2，q = 3，则a5 = ________。
答案：4869. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x10. 曲线y = x^2 + 4x + 4在x = 2处的切线方程为y = ________。
答案：8x三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x =1/3 或 x = 2。
检查二阶导数f''(x) = 6x - 6，当x = 1/3时，f''(x) < 0，此时为极大值点；当x = 2时，f''(x) > 0，此时为极小值点。
高数A(2)综合测试1
高等数学（A2）综合测试（一）(时间：120分钟)一、填空题（24分）1 21. 设442u x y x y =+−，则22________.u x ∂=∂ 2. 设函数在点(1,1,1)沿的方向导数u xyz =(2,1,1)l =G (1,1,1)u l ∂=∂【 】.323. 曲面上点（1,-2,1）处的切平面方程为222321x y z ++=222___________________.u x∂=∂ 4. 若级数收敛，则.1(21)n n u ∞=−∑lim ____________n n u →∞=5. 设曲线L 是沿逆时针方向的圆周 则224,x y +=Lxdy ydx −∫v = 。
6. 下列级数收敛的是【 】.A. n ∞=B. 21(1)5n n n n∞=−+∑ C. n n ∞= D. 111nn n ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑ 7. 已知平面区域D ：,01,a x b y ≤≤≤≤又()1,D yf x d σ=∫∫ 则()b af x dx =∫【 】.A. 1B. 2C. 0D. 0.58. 设L 为圆周则223,x y +=∫v = . 二、解答下列各题（56分）1. 设 求2222,sin ,x y z u e z x y ++==,u u x y ∂∂∂∂. 2. 设函数2ln sin 2yz y u x y e =++，求全微分. du 3. 求由方程33z x 1yz −=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（2,1,1）处的全微分.4. 设,,xy x z f e y −⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ 且f 具有二阶连续偏导数，求22,z z xx ∂∂∂∂. 5. 计算(D,x σ+∫∫其中D: 221x y +≤.6. 计算，其中由zdv Ω∫∫∫Ω2z x 2y =+及平面1z =所围成的闭区域.7. 计算222(1)(2),Lx y dx x x y dy −+++∫L ：从沿上半圆(4,0)A y =的一段圆弧.(0,0)O 8. 计算其中Σ是曲面,zdxdy Σ∫∫22z x 2y =+介于0z =及1z =之间的部分的外侧.三、解答下列各题（20分）1. 判定级数21(1)3nn n n ∞=−∑的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 2. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()s x ，并计算和11(3)n n n ∞=−∑. 3. 将函数21()2f x x x =−−展开为x 的幂级数. 4. 设(),0f x x x π=≤≤，将()f x 展开为正弦级数，（1）求的值；（2）记1sin n n b n ∞=∑x 2b 1()sin n n s x b ∞==∑nx ，则()s π= .。
alevel数学a2知识点有哪些
alevel数学a2知识点有哪些A-Level数学A2是高中数学的进阶阶段，主要涉及更复杂的数学概念和应用。
以下是A-Level数学A2中的一些核心知识点：
1.微积分
-函数的导数和导数规则
-导数的应用，包括曲线求斜率，最大/最小问题和速度、加速度-常微分方程，特别是一阶线性方程和二阶方程
2.三角学
-三角函数和三角恒等式
-解三角方程和三角函数的应用
-添加和减去角，以及倍角、半角和多角公式的应用
-向量和向量的运算，包括点积和叉积
3.统计学
-概率和抽样理论
-离散和连续随机变量
-二项式和正态分布的应用
-统计推断，如置信区间和假设检验4.核心数学
-数学证明的技巧和方法
-贝叶斯定理和条件概率
-倍增数学
-对数和指数函数
-幂函数和指数律
5.矩阵代数
-矩阵的定义和运算
-矩阵的特征值和特征向量
-线性和非线性方程组的矩阵表示-矩阵的逆和行列式
6.数学模型
-使用数学模型解决实际问题的技巧和策略-数据分析和解释
-优化问题和约束条件
7.第二法则和统计熵
-熵的定义和性质
-应用于信息论和通信系统
-统计熵和概率分布
8.三角函数的扩展
-弧度和弧长
-复数和复指数函数
-幅角和复数的三角表示
-调和分析和傅立叶级数
9.数学的历史和哲学
-数学的发展和重要人物
-数学与哲学的关系和相互影响
10.数值方法
-数值积分和微分
-与差值、拟合和回归相关的数值方法
-迭代和近似求解
这只是A-Level数学A2的一些核心知识点，还有其他更具体的内容。
希望这些信息能够帮助到你。
高数A2试卷A
《高等数学》考试试卷A一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．幂级数1(1)3nnn x ∞=-∑的收敛域为（ ）； A (2,4]- B [2,4)- C (2,4)- D [2,4]-2．极限2(,)(0,2)1cos()limx y xy x y →-=（ ）；A 0 B12C 1D 2 3．设322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，则(0,0)y f '=（ ）；A 3B 1C 0D 不存在 4．直线321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 与平面4220x y z -+-=的位置关系是（ ）；A 与平面斜交B 平行C 在平面上D 垂直5．设L 是曲线31y x =+上点(0,1)A 到点(1,4)B 的一段弧，则Lxyds =⎰（ ）.B 92二、填空题（每小题3分，共15分)1．动点(,,)M x y z 到平面yOz 的距离与到(1,2,1)-的距离相等，则该动点(,,)M x y z 的轨迹方程为 ；2. 设2sin()z x y =，则2zx y∂=∂∂ ； 3. 改变二次积分的积分次序2220(,)y y dy f x y dx =⎰⎰；4. 已知级数1nn aa ∞==∑，则级数11()n n n a a ∞+=+=∑ ；5. 设∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰ .三、计算与解答题(每小题8分，共64分)1、计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由2y x =，0y =，2x =所围成的闭区域.2、设(,)xz f x y y=+，且f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.3、求过点(1,1,1)且平行于向量(1,1,2)a =-和(1,2,3)β=-的平面的方程.4、求过点(0,1,2)且与平面3410x y z -+=垂直相交的直线方程．5、计算22Lxydx x dy +⎰，其中L 是22y x =+上从点(0,2)A 到点(2,6)B 的一段弧.6、将给定的正数a 分为三个正数之和，问这三个数各为多少时，它们的乘积最大？7、计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z xy =+及平面4z =所围成的闭区域．8、求幂级数211n n nx∞-=∑的和函数.四、证明题（6分）已知lim 1n n u →∞=，证明级数 1111n n+n ()u u ∞=-∑收敛．。
高数A(Ⅱ)总复习一 (微分方程、级数)
1 x
x ( x 1) e dx c
1 x x c ( xe c) e x x
f (1) = e 代入，得 c = 0
∴ f (x) = ex
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高等数学（A）I
2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y"- 4y' + 3y= 4xe3x 的
高等数学（A）I
1. 解微分方程 xf ( x) f ( x) （x 1)e x , f (1) e.
解:
1 x 1 x P( x) , Q( x) e x x
∴ 通解为
f ( x)
1 dx e x
1 dx x 1 x x e e d x c x
高等数学（A）I
6. 任意项级数的比值判别法 和根值判别法
un 1 ∑un为任意项级数， lim ( 或 lim n | un | ) n un n
① ρ< 1 ， 级数绝对收敛 ② ρ> 1 或为+∞， 级数发散 ③ ρ= 1 ，另行判定
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n 1
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*例. 级数 A. 收敛;
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n2
(1) n n (1)
n
的收敛性为 【 A 】 C． 不确定 ； D. A, B, C 都不对
( n 2, 3,...)
B. 发散 ;
1 1 1 解： S2n-1 = 1 3 4 56 (2n 1) (2n)
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《高等数学教程》第五章 定积分 习题参考答案习题5-1 (A)1.(1) )(2122a b -(2) 1-e2.343.(1) 23 (2)22Rπ(3) dxx dx x ⎰⎰=-2022cos 2cosπππ(4) ⎰⎰--=020sin 2sin ππxdxxdx4. dte I Q T T ⎰=21)(5. KN 2.886.⎰=ldxx M 0)(ρ8.(1) ⎰⎰<213212dxx dx x (2) ⎰⎰>22sin ππxdxxdx(3) ⎰⎰>21221)(ln ln dxx xdx (4) ⎰⎰>43243)(ln lndxx xdx(5) ⎰⎰+>110)1ln(dxx xdx9.(1) e dx e x<<⎰1021 (2)ee dx xe e ee-<<-⎰222ln 1)(21(3) ππ32arctan 9331<<⎰xdx x (4)41022222---<<-⎰edx eexx习题5-1 (B)1.(1) ⎰10xdx (2) ⎰+1211dxx(3)dxx ab ba⎰-)(1ϕ3. dxx RVRR⎰--=)(22π4. 约6.7升/分习题5-2 (A)1.xsin -,22-2. (1) 412xx + (2)81221213xx xx+-+ (3))sincos()cos (sin 2x x x π-(4) 2'222')](sin[)()](sin[)(2x x x x x ϕϕϕϕ-3. t t cot4.2cos yex -5. 极小值0)0(=I6. )41,0(7.338a8. -1；2 9.(1)821 (2)a3π(3)14+π(4) -1(5) 41π- (6) 4)(arctan 2π-e (7))1(211--e(8)24 (9))221(158+ (10)2cos 4cos 12+-+e 10.(1) 0; 0 (2)π(3) 0 (4))(),(0l k l k =≠π11.(1) 1 (2) 2 (3) 32 (4)31习题5-2 (B)1.(1) 2ln (2)11+k (3)π22. )(x f 在0=x 处连续，可导，且0)0('=f3.123)(--=x ex x f ，e14.2π，π21-5.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤=Φ时当时当216112211031)(22x x x x x x8. 2；5 9. -1习题5-3 (A)1.(1)51251 (2)34-π (3) 211--e (4) 0(5) 2ln 21- (6) )32ln(23+- 或)32(ln 23-+(7) 41π- (8)3322-2.(1) 32 (2)π(3)3243π(4)24 3.(1) )12(913+e(2)22ωπ-(3)23ln21)9341(+-π(4) )1(21--e(5))1(51-πe(6)3588. e习题5-3 (B)1.(1) 424-(2) )2(2+π (3))11cos 1sin (21+-e e(4)2ln 418-π(5)8π(6)12-e(7) 0 (8)4π(9) 4π(10) 当m 为奇数，2!!)1(!!π⋅+m m 当m 为偶数，!)!1(!!+m m(11)π=1J ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=的奇数为大于为偶数1!!!)!1(2!!!)!1(2m m m m m m J mππ2. )()(a x f b x f +-+3. 414.x2ln219. 0, 2!!48!!474π⋅⨯习题5-41. 145.6(平方米)2.(1) 0.7188 (2) 0.6938 (3) 0.69313.(1) 1.3890 (2) 1.3506 (3) 1.3506习题5-5(A)1.(1) 收敛，2ln 1- (2)0≤b 时发散，0>b 时收敛于1)(-abbe(3) 收敛于2π(4) 收敛于2 (5) 收敛于2ln 214+π2.(1) 收敛，3 (2) 收敛，1 (3) 发散(4) 收敛，2π (5) 收敛，38 (6) 收敛，3π3. 2e4. !n习题5-5(B)1.(1)2ln 31 (2) 发散 (3) 发散 (4) 0(5) 发散 (6) π22 (7) 2 (8))23ln(2++π2. 1≤λ时发散，1>λ时收敛于λλ--1)ln (ln 11a3. 1≤k 时发散，1>k 时收敛于1)2)(ln 1(1--k k ，2ln ln 11-=k 时取最小值4.2π习题5-61.(1) 发散 (2) 收敛 (3) 收敛 (4) 收敛 (5) 收敛 (6) 发散 (7) 发散 (8) 收敛 (9) 发散 (10)绝对收敛2.(1),)1(1>Γααα(2)1,)1(->+Γp p《高等数学教程》第五章 定积分应用 习题参考答案习题 6-2 (A)1．38)2(6)1(2．332)4(332)3(1)2(61)1(3．21)1(-+ee a b -)2( 67)3( 694)4( 32)5( 67)6( 4)7( 346,342)8(-+ππ4．)1(21--e 5．496．2316p7．62a8．23a π9．2e10．2)1(a π 218)2(aπ2)3(11．202x a π 12．ππ564,712813．)](22[4)1(222--+e e a a aπ 6)2(2ππ)3( )232ln 4()4(-π π25)5( 2160)6(π 14．;35π 15．)325316(-π16．33100017．34 18．23ln 211+19．3432-20．)1(12-+ϕa eaa21．12523ln+ 22．)21(ln +23． 8习题 6-2 (B)1．2)2367()1(a -π π45)2( 2316)3(-+π2．3=a.331)(21,132,)1,11(211121=⇒=+=+=++a S S S aS aa al l 且的交点坐标与提示：3．)(741g π4．15224)4(;38)3(;532)2(;8)1(ππππ 5．b a 222π 6．π3077．327a π.72)2(.7)(.20;)cos 1()cos 1(),sin (.,23220223220212221a dx y a a V a dx y y V a y y t a y t a y t t a x x x a y y y a a ππππππππ⎰⎰=-⋅==-=∴-=⇒=+-=⇒-=-=∴=-=法二：而曲线方程为轴作平移：法一：对提示：8．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a 23],2332[π分点坐标： 9．)32ln(6++10．]1)25([9823-12．a aa6)3(10532)2(83)1(32ππ习题 6-3 (A)1．)(18.0J k 2．)(2ln 800J π3．)(7273732为比例系数k ac k4．)(12cm - 5．)(104134J g R ⨯π 6．)(1023753kJ g ⨯7．)(1061322J g h R ⨯π 8．)(65.1N 9．)(11)2()(1047.6)1(6m N ⨯习题 6-3 (B)1．)(104)(10343434J g R J g R ⨯⨯ππ2．)(1075.26J ⨯3．压力增加一倍)2(;61)1(2ah4．)2()(ln2a l a a l k F ++=μν的引力。
对，求处取微元固定一点杆的，在处取微元杆的提示：在ξξξd dx d B dx x A习题 6-41．103000 2．)(3660工时 3．19850)2(5.9987)1(4．7585，毛利－固定成本提示：净利=5．（万元）（万元）（万元）台时总利润最大当产量为万元总成本的增量万元，总收入的增量08.15)2.3(,48.20)2.3(,4.5)2.3()4(1854)()3(320)2(1920)1(2===--=C R L x x x L 6．亿元年；1687．pp Q ⎪⎭⎫⎝⎛=311000)(《高等数学教程》第七章 微分方程与差分方程习题参考答案习题7－1（A ）1．一阶)1(二阶)2(一阶)3(2． (1) 不是 (2) 是 (3) 是 3．25)1(22=-xyxxey 2)2(=x y c o s )3(-=4．02=+'x y y习题7－1（B ）1．1)1()1(22=+'y y02)2(=-'+''xy y y x2．)()1(2为比例系数k TP k dTdP =)()2(21为比例系数k vk t k dtdv m-=习题7－2（A ）1．xC ey =)1(Cxxy ++=325121)2()1(ln 1)3(x a a C y --+=Cxy=+-1010)4(Cx y +=a r c s i n a r c s i n )5(Cx y+--=2212)6(34121)21()7(xy C -=- Cy x =t a n t a n )8(3)1(t a n )9(-=xeC yCe eyx=-+)1()1()10(2．)1(21)1(2+=xyeec o s 2c o s )2(=-y x2tan)3(x ey =)1(ln 21)1(ln 2)4(2e e yx+-++=6.3=xy231.4xy =习题7－2（B ）)(10,64.90305.0.123s h t 水流完所需时间约为+-=)/(3.26972500.2s cm v ≈=teR R 000433.00.3-=tet v 52ln 6)(.4-=tk m tkm ev eg km v --+-=0)1(.51)1(.6--=m ax b y31.7xe C y x-=习题7－3（A ）1．1)1(+=x C ex y222)2(Cxxyy =-+)(ln )3(222Cx x y=2)ln()4(xC x y =)0()5(>=x e x y xCxy shC x 32)6(=2．xx y ln sin)1(=2)2(22=++yxy3． Cyxy =++22习题7－3（B ）1．331)1(yC yx =- Cyex xy=+2)2(223)3(xy y-=1)4(22=++yxyx2*．Cy x y x Cx y x y Cx y x yC x y x y =--++=-++-=-+-+=-+--)2(ln 23)4()1()1()3(12arctan])1(4ln[)2()32()34()1(52222习题7－4（A ）1．)()1(C x ey x+=-)()2(s i n C x ey x+=-)(1)3(2xxe Ce xy +=xx C y 2c o s 2c o s )4(-= 1sin )5(2-+=xC x y)2()2()6(3-+-=x C x y2．xxy cos 1)1(--=πxxy cos )2(=15sin )3(cos =+xex y)4(32)4(3θρ--=e)1(2)5(1132--=xex y3．)1(2--=x e yx4．,)1()()2(,)()1(kte a a t y a y k dtdy --+=--=量的相对忘记速率。