2013 第4章 图像的几何变换

2 图像的位置变换—图像镜像
水平镜像
逆运算表达式 逆矩阵表达式
x0 width x1 y0 y1
x0 1 0 width y 0 1 0 0 1 0 0 1
x1 y 1 1
1 几何变换基础—齐次坐标
若已知一个其次坐标形式为[hX,hY,h]，则位置矢量 x=hX/h, y=hY/h 规范齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)落在3D空间H＝1的 平面上。 如果将XOY 平面内的三角形abc的各顶点表示成 齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成Байду номын сангаас＝1平面
其中，θ角度由正负之分，即点P在XY平面的内绕原 点逆时针旋转所形成的角度为正，反之为负。
2 图像的位置变换—旋转
图像旋转处理的隐含问题
q 30
x' 0.866 x 0.5 y y ' 0.5 x 0.866 y
x'min 0.866 0.5 * 3 0.634
2 2
1
1 1 3 33
4 4
2 图像的位置变换—旋转
图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0) 旋转 a 角后的对应点为P(x, y)。
y
r
P0（x0,y0）
P (x,y)
旋转前：
x0=rCosθ y0=rSinθ
q a
O
r
旋转后：
x
x=rCos( θ–a )=rCos θCos a +rSin θSin a =x0Cos a +y0Sin a y=rSin( θ–a )=rSin θCos a –rCos θSin a =-x0Sin a +y0Cos a
x' x ' y T y z' z

但是平移变换不能写成矩阵形式，也就不能合并到上式中，因为在 直角坐标系中，它不是线性变换。因此引入齐次坐标。
齐次坐标表示图像的几何变换十分方便。
1 几何变换基础—齐次坐标
齐次坐标表示 所谓齐次坐标表示法就是用N+1维向量表示N维向量。线性代
2 图像的位置变换—旋转
直角坐标系的图像旋转
旋转公式： 将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋 转 q 角度，则变换后图像的坐标为：
q
x' x cos q y sin q y' x sin q y cos q
•
•
这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。
这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。
2 图像的位置变换—图像平移
平移原理：在图像平移是将一幅图像中所有的点都按照 指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图 像相同。
Tx ＝2 ,Ty ＝1
在x方向平移2个单位，在y方向平移1个单位
2 图像的位置变换—图像平移
平移的直角坐标公式：图像的平移非常简单，所用到 的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：
•因此需要前期处理 ：扩大画布，取整处理（解决小数问题），平移处理 （解决负数问题） 注意
q
是逆时针转角
2 图像的位置变换—旋转
上式写成齐次坐标为：
sin q 0 x0 x cosq y sin q cosq 0 y 0 1 1 0 1 0
图像旋转的后处理
临近插值法和均值插值法： 临近插值法，就是将判断为空穴位置上 的像素值用其相邻行（或列）的像素 值来填充。 均值插值法：是将空穴像素周围像素值 的均值填充。
2 图像的位置变换—旋转
图像旋转示例
2 图像的位置变换—旋转 极坐标旋转和反变换旋转
主要了解反变换旋转
反变换方法，就是从新图像的像素点坐标反过来 求所对应的原图像像素点的坐标。
x 1, y 2
下移1行， 右移2列
2 图像的位置变换—图像平移
移动前的图
移动后的图
移动后图象被放大
2 图像的位置变换—图像平移
流程设计： (1) 取得原图的数据区指针。 (2) 设定偏移量tx,ty。 (3) 开辟一个同样大小的缓冲区。 (4) 对原图依次循环每个像素，每读入一个像素点 (x0,y0)，根据它的坐标,找到目标图像的位置 （x1=x0-tx,y1=y0-ty），将像素（x0,y0）处的颜 色值赋给新图中的（x1,y1）。
平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。
2 图像的位置变换—图像平移
图像的平移示意图
2 图像的位置变换—图像平移
•平移的两种处理： 其一，平移后，图像被丢失一部分。 其二，平移后，图像不丢失，就必须扩大存放已被处理后的图 像的矩阵。这种处理称为画布扩大。这种处理，文件大小要改 变。设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx| 和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx、ty有可能为负(即向左， 向上移动)。
x x0 x y y0 y
平移的齐次坐标公式：变换前后图像上的点P0(x0, y0)和P(x1, y1) 之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为：
2 图像的位置变换—图像平移
平移的逆变换：对变换矩阵求逆，可以得到逆变换
齐次坐标公式：
直角坐标公式：
x0 x x y0 y y
由虚线分成四个部分，各部分的功能如下： （1 ） a b c d 实现图形的比例变换、对称变换、 旋转变换和错切变换； （ 2 ） [l , m] 实现平移变换， l和 m分别为 x、y 方向的平移 量，有正、负值之分； （ 3 ） [s] 使图形产生等比例的变换。 s>1，图形缩小； s=1， 图形不变；0<s<1，图形放大 （4 ） p q 作用在透视变换
数字图像处理基础
山东大学威海分校信息工程学院
张亚涛 讲师
第四章 图像几何变换
1 2 3 4 5 几何变换基础 图像的位置变换 图像的形状变换 图像错切
三维图像的投影变换
1 几何变换基础—一些概念
一些概念 1 图像的几何变换：是指用数学建模的方法来描述图像 的位置，大小，形状等变换的方法，是通过数学建模 实现对数字图像进行几何变换处理。 2 几何变换内容：图像的空间平移、比例缩放、旋转、 仿射变换和图像插值。
2 图像的位置变换—图像平移
2 图像的位置变换—图像镜像
2.2 图像的镜像
镜像分为水平镜像和垂直镜像。 镜像原理： 水平镜像：以图像的垂直中轴线为中心交换图像的左右 两部分。 垂直镜像：以图像的水平中轴线为中心交换图像的上下 两部分。
2 图像的位置变换—图像镜像
水平镜像 垂直镜像
2 图像的位置变换—图像镜像
2 图像的位置变换—旋转
图像旋转的后处理
图像旋转之后，出现了两个问题： 1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这 是因为相邻像素之间只能有8个方向，如下图所示。 2）会出现许多的空洞点。 下面，我们通过一个实际例子，来看这两 个问题带来的图像画面效果上的问题。
图像旋转的后处理
图像旋转出现的两个问题的 本质 都是因为像素值的 填充是不连续的。 因此可以采用插值填充的方法来解决。
z
内的三角形a1b1c1的各顶点。
b1 O
a1
H＝1 c1
a
y c
b
x
1 几何变换基础—齐次坐标
几何变换矩阵：
实现恒等、 比例、 反射、 T 错切、 旋转变换。
a b p c d q 实现透视变换 l m s 实现全比例变换
实现平移变换
1 几何变换基础—齐次坐标
3 几何变换实质：改变像素的空间位置或估算新空间位 置上的像素值。
1 几何变换基础—一些概念
4 图像几何变换的一般表达式：
说明： [u,v]为变换后图像像素的笛卡尔坐标，[x,y]为 原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与 变换后图像的像素的对应关系。
如果 ,则有 换后图像仅是原图像简单拷贝。
水平镜像 设图像高度为Height，宽度为Width，原图中的(x0,y0) 经过水平镜像后，坐标将变成（Width-x0,y0）。
数学表达式
x1=Width-x0 y1=y0
矩阵表达式
x1 1 0 width y 0 1 0 1 1 0 0 1 x0 y 0 1
亮度和色彩并不变化，仅仅是像素位置发生改变。
，即变
注意，几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。这说明像素的
1 几何变换基础—齐次坐标
为什么引入齐次坐标？
在对图像进行操作时候，经常要对图像连续做几次变换。例如做了 平移后再做旋转，做放缩等等。因为旋转，放缩等都是线性变换，都可 用矩阵表示，这样旋转和放缩就可合并成：
数
如把平面上的点P=[x,y］放到空间去表示为[X Y H]，使 得x＝ X/H， y＝Y/H 则称［X Y H」是点P的齐次坐标。如规 定齐次坐标的第三个分量H必须是1，则称为规范齐次坐标。 P=[X,Y」的规范齐次坐标是[x y 1]。。
1 几何变换基础—齐次坐标
齐次坐标的性质
二维齐次坐标的一般表示形式为[hx,hy,h]。
当h=1时，二维坐标点的齐次坐标为[x,y,1]； 当h=2时，二维坐标点的齐次坐标为[2x,2y,2]。例如， [2，3，1]、[2，6，2]、[6，9，3]都表示二维空间的点 [2，3]。
所以，只有当h=1时，二维点的齐次坐标中的x、y数
值才与二维坐标中点的位置矢量的x、y值相等。 显然，二维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是一 对多的关系
2 图像的位置变换—图像镜像
垂直镜象的逆运算：
数学表达式 矩阵表达式
x0 x y0 h y
0 0 x x0 1 y 0 1 h y 0 1 1 0 0 1
' ' x x cos q y sin q ' ' y x sin q y cos q
步骤：先确定画布大小确定新图像坐标计算 出对应的原图像坐标。
这样就把原图像坐标对应到新图像中了。
2 图像的位置变换—旋转
反坐标变换示例 原图 3×3图像 f11 f12 f13 f21 f22 f23 f31 f32 f33 。 第一步，确定原图旋转 30 后的画布大小，这点我们可从坐标旋 转公式计算得到。X[-1,2],y[1,4].因此，变换后的画布大小是 4×4 第二步，新图像的坐标为： x’=-1 -1 -1 -1 y’=1 2 3 4 0 0 0 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4
2 图像的位置变换—图像镜像
流程设计： (1) 取得原图的数据区指针。 (2) 开辟一个同样大小的缓冲区。放新图数据 (3) 每个像素依次循环。 在水平镜像中，将原图中的像素点的水平坐标变 成镜像后的坐标(用图像的宽度减去坐标值)再显 示到图像上。 垂直镜像中，则对垂直坐标做相应的处理。
2 图像的位置变换—图像镜像
x'max 0.866 * 3 0.5 2.098
x :[1,3]; y :[1,3] x ' :[1, 2]; y ' :[1, 4]
y'min 0.866 0.5 1.366 y'max 0.866 * 3 0.5 * 3 4.098
结论：按照图像旋转计算公式获 得的结果与想象中的差异很大。
2 图像的位置变换—图像镜像
垂直镜像 点（x0,y0）经过垂直镜像后，坐标将变成为 （x0,Height-y0）
数学表达式 矩阵表达式
x1=x0 y1=Height-y0
x0 0 0 x1 1 y 0 1 height y 0 1 1 1 0 0 1
水平镜像源码
2 图像的位置变换—图像镜像
垂直镜像源码
2 图像的位置变换—图像镜像
水平镜像
垂直镜像
2 图像的位置变换—旋转
2.3.1 图像的旋转理论基础 图像的旋转是指以图像中的某一点为原点以逆时针或 顺时针的方向旋转一定的角度。 注意 图像的旋转必须指明图像绕着什么 旋转。 一般以图像的中心为原点，旋转一 定的角度。 旋转后，图像的大小一般会改变。