黑体辐射定律

基尔霍夫热辐射定律

基尔霍夫热辐射定律（Kirchhoff热辐射定律），德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出的传热学定律，它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。

简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1（α=1），而实际物体的吸收比则小于1（1>α>0）。基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。

•M为实际物体的辐射出射度，M b为相同温度下黑体的辐射出射度。

而发射率ε的定义即为

所以有ε=α。

所以，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。

而对于漫灰体，无论是否处在热平衡下，物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。

不同层次的表达式

对于定向的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为

对于半球空间的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为

对于全波段的半球空间，其基尔霍夫热辐射定律表达式为

•θ为纬度角，φ为经度角，λ为光谱的波长，T为温度。

参考文献

•杨世铭，陶文铨。《传热学》。北京：高等教育出版社，2006年：356-379。

•王以铭。《量和单位规范用法辞典》。上海：上海辞书出版社

普朗克黑体辐射定律

普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱

物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率

的函数[1]：

这个函数在hv=2.82kT时达到峰值[2]。

如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为[3]

注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而和并不等价。它们之间存在有如下关系：

通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：

电磁波波长和频率的关系为[4]

普朗克定律有时写做能量密度频谱的形式[5]：

这是指单位频率在单位体积内的能量，单位是焦耳／（立方米·赫兹）。对全频域积分可得到与频率无关的能量密度。一个黑体的辐射场可以被看作是光子气体，此时的能量密度可由气体的热力学参数决定。

能量密度频谱也可写成波长的函数

普朗克定律（绿）、维恩近似（蓝）和瑞利-金斯定律（红）在频域下的比较，可见维恩近似在高频区域和普朗克定律相符，瑞利-金斯定律在低频区域和普朗克定律相符。

马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表[6]。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机，参见后文叙述）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的

实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。

推导

下面的推导并非普朗克的原始推导（来源[5]），需要用到电动力学、量子力学和统计力学的有关概念。

考虑一个充满了电磁辐射的边长为L的立方体：根据经典电动力学，在立方体壁表面的边界条件为电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。类似于处于束缚态的粒子的波函数，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期性本征函数的线性叠加，在垂直于立方体壁表面的三个方向上各个本征函数的波长分别为λ1，λ2和λ3

这里是非负整数。对于每一组值都有两个线性无关的解（两种不同的模）。根据量子力学中的谐振子理论，任意模式下的系统能级为

这里量子数可看作是立方体中的光子数，而两种不同模式对应的是光子的两种偏振态。注意到当光子数为零时能级不为零，这种电磁场的真空能量是一种量子效应，是产生卡西米尔效应的原因。下面我们计算在温度下光子数为零时系统处于真空状态下的内能。

根据统计力学，在特定模式下不同能级的概率分布由下式给出

这里

分母是系统在特定模式下的配分函数，它能够使概率分布归一化。对正则系综有

这里我们定义单个光子的能量为

系统的平均能量和配分函数的关系为

这个公式是玻色-爱因斯坦统计的一个特例。由于光子是玻色子，任一能级对光子的数量没有限制，系统的化学势为零。

系统的总能量是平均能量对所有可能的单光子态求和。考虑在热力学极限下，立方体边长L趋于无穷大，这时单光子能量近似成为连续值，我们将平均能量对单光子的连续能量积分就可以得到系统的总能量，这就需要我们首先确定在任意给定的能量范围内具有多少个光子态。假设处于能级和的单光子态总数为（这里是所谓光子的能态密度，其具体表达式还需另行计算），则系统的总能量为

为计算光子能态密度的表达式，我们将（1）式重写成

这里是矢量的模

每一个矢量都对应有两个光子态，换句话说，在给定的一个由矢量

构成的希尔伯特空间中的光子态总数是这个空间体积的2倍。一个微小的能量区间对应着这个希尔伯特空间中一个薄球壳的厚度

。由于矢量的分量不能为负值，能量区间实际上只能对应整个薄球壳总体积的1/8（这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为1/8）。因而在能量区间上光子态总数为