2013四川高考数学文科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学（文史类）
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第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （ ）
（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
（A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台
3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）
（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D
4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉
5．抛物线2
8y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）
（A ） （B ）2 （C （D ）1
6．函数()2sin()(0,)22
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）
（A ）2,3
π
-
（B ）2,6
π
-
（C ）4,6
π
-
（D ）4,
3
π
7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所
示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
(B)(A)(C)(D)
8
．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,
x y y x x y +≤⎧⎪-
≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b
-的值是（ ）
（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）16
9．从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆
与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A ）
4 （B ）1
2
（C ）2 （D ）2
10．设函数()f x =
（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在[0,1]b ∈使
(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[1,]e （B ）[1,1]e + （C ）[,1]e e + （D ）[0,1]
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．
11．的值是____ _．
12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=
，则λ=___ __ _．
13．已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值，则a =___ ___． 14．设sin 2sin αα=-，(
,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是________．
15．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点
的坐标是
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，
求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和．
17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-．
（Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC
方向上的投影．
18．(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，
120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积．（锥体体积公式：
1
3
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）
20．(本小题满分13分)
已知圆C 的方程为22
(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于
,M N 两点．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||
OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．
21．(本小题满分14分)
已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为
该函数图象上的两点，且12x x <． （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B 解析：考查集合的交集运算，容易题．选B ．
2．D 解析：考查新教材新增内容，三视图还原．容易题．选D ． 3．B 解析：考查复数的几何意义，共轭复数概念．中等题．选B ． 4．C 解析：考查全称量词和存在量词，属新增内容，容易题．选C ．
5．D 解析：考查抛物线性质，点到直线的距离公式．容易题．抛物线的焦点为（2,0），它到直
线的距离12
2
==
d
，所以选D ． 6．A 解析：考查三角函数解析式的确定，中档题．由题知
2221251211=⇒==⇒=-ωω
π
πππT T , 又2
1252π
ϕπ=+⨯
（
“五点”中的第二点），所以3πϕ-=，选A ． 7．A 解析：考查新增内容，茎叶图给出数据，频率分布直方图的识别．中档题．分别算出各组
的频率为
,20
2
203,203,204,202,204,201,201 所以选A ． 8．C 解析：考查线性规划，基础题，求出各交点坐标（4,4），（8,0），（0,0）, (0,2), 代入目标函数即可得a =16, b = -8，所以 a b -=24，所以选C ．
9．C 解析：考查椭圆的相关概念，中档题．由c
a b k a
b
k OP AB
2
-==-
=得b =c ，a 2=2c 2，故选C ．
10．A 解析：考查函数的概念，导数的运用，综合度较高．难题．
因为(())f f b b =，令t b f =)(，则b t f =)(，所以点),(b t 、),(t b 均在)(x f 的图象上)10(≤≤b ，而)(x f 的图象不关于直线x y =对称，所以b t =，即f (b )=b ，所以
[]1,0,22∈+-=⇒=-+b b b e a b a b e b b ，令b b e b g b +-=2)(，当10<<b 时012)(>+-='b e b g b ，所以)(b g 在[0,1]上递增，所以()()[]1,0g g a ∈，即[]e a ,1∈，故
选A ．
11．1 解析：考查对数基本运算，简单题．原式=110lg 100lg ==
12．2 解析：考查平面向量的加法法则，简单题.AB AD AO λ+=
，2=λ
13．36 解析：考查函数的单调性，简单题. 12244444==+=+a x x
a
x x a x 在时取
得最小值，所以a =36.答案36
14．3 解析：考查三角函数二倍角公式、同角公式、中档题.
由题知3tan 1tan 22tan ,3tan ,32,21cos 2=-=-==-
=α
α
ααπαα. 15．（2,4） 解析：考查平几知识、灵活运用所学知识分析解决问题的能力，中档题．根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个点的距离之和最小，
就要使它在AC 与BD 的交点处。

由⇒⎩⎨
⎧+-==6
:2:x y BD x
y AC 交点（2,4）即为所求．
16．解：设{}n a 的公比为q ．由已知可得
211=-a q a ，211134q a a q a +=，
所以2)1(1=-q a ，0342=+-q q ，解得 3=q 或 1=q ， 由于2)1(1=-q a 。

因此1=q 不合题意，应舍去， 故公比3=q ，首项11=a ．
所以，数列的前n 项和2
1
3-=n n S ． ……………………………………… 12分
17．解：（Ⅰ）由3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=- 得
5
3
sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ，
则 53)cos(-=+-B B A ，即 53
cos -=A
又π<<A 0，则 5
4
sin =A ． ……………………………………… 5分
（Ⅱ）由正弦定理，有 B
b
A a sin sin =
，所以22sin sin ==a A b B ， 由题知b a >，则 B A >，故4
π
=
B ．
根据余弦定理，有 )5
3(525)24(222-⨯⨯-+=c c ， 解得 1=c 或 7-=c （负值舍去），
向量BA 在BC =B 2
2
． …………………………… 12分
18．解：（Ⅰ）变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．
当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时，输出y 的值为1，故2
1
1=P ； 当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时，输出y 的值为2，故3
12=P ； 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时，输出y 的值为3，故6
13=P ． 所以输出
y 的值为1的概率为21，输出y 的值为2的概率为3
1，输出y 的值为3的概率为6
1．
……………………………………… 6分
（Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出
y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下，
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大． ……………………………………… 12分
19．解：（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线BC l //，因为l 在平面BC A 1外，BC 在平面BC A 1内，由直线与平面平行的判定定理可知，//l 平面1A BC ． 由已知，AC AB =，D 是BC 中点，所以BC ⊥AD ，则直线AD l ⊥， 又因为1AA ⊥底面ABC ，所以l AA ⊥1，
又因为AD ，1AA 在平面11A ADD 内，且AD 与1AA 相交，
所以直线⊥l 平面11A ADD ． ……………………………………… 7分 （Ⅱ）过D 作AC DE ⊥于E ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以DE AA ⊥1，
又因为AC ，1AA 在平面C C AA 11内，且AC 与1AA 相交，所以⊥DE 平面C C AA 11，
由2==AC AB ，∠BAC ︒=120，有1=AD ，∠DAC ︒=60，
所以在△ACD 中，2323=
=AD DE ， 又1
21
1111=⋅=∆AA C A S AQC ，所以
6
3
1233131111111=
⋅⋅=⋅=
=--QC A QC A D D QC A S DE V V 因此三棱锥11A QC D -的体积为
6
3
．……………………………………… 12分 20．解：（Ⅰ）将x k y =代入2
2
(4)4x y +-=得 则 0128)1(22=+-+x k x k ，（*） 由012)1(4)8(22>⨯+--=∆k k 得 32>k ．
所以k 的取值范围是),3()3,(+∞--∞ ． …………………………… 4分 （Ⅱ）因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为),(11kx x ，),(22kx x ，则
2122
)1(x k OM
+=，2222)1(x k ON +=，又22222
)1(m k n m OQ +=+=，
由
2
2
2
112ON
OM
OQ
+
=
得，
22
2
21222)1(1
)1(1)1(2x k x k m k +++=+， 所以2
2
2121221222122)(1
12x x x x x x x x m -+=+= 由（*）知 22118k k x x +=+，2
2
1112
k x x +=，
C 1
1
B
C
B 1
所以 3
536
2
2-=
k m ， 因为点Q 在直线l 上，所以m n
k =，代入3
53622-=k m 可得363522=-m n ， 由3
53622-=
k m 及32>k 得 302
<<m ，即 )3,0()0,3( -∈m ．
依题意，点Q 在圆C 内，则0>n ，所以 5
180
15533622+=
+=m m n ， 于是，n 与m 的函数关系为 5
180
152+=m n （)3,0()0,3( -∈m ）
…………………………… 13分
21．解：（Ⅰ）函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞，单调增区间为)0,1(-，
),0(+∞． …………………………… 3分
（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线斜率为)(1x f '，点B 处的切线斜率为)(2x f '， 故当点,A B 处的切线互相垂直时，有)(1x f '1)(2-='⋅x f ， 当x <0时，22)(+=x x f
因为021<<x x ，所以 1)22()22(21-=+⋅+x x ，所以0221<+x ，0222>+x ，
因此1)22()22()]22()22([2
1
212112=+⋅+-≥+++-=
-x x x x x x ， （当且仅当122)22(21=+=+-x x ，即231-=x 且2
1
2-=x 时等号成立）
所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -≥． …………………………… 7分
（Ⅲ）当021<<x x 或012>>x x 时，)(1x f ')(2x f '≠，故210x x <<． 当01<x 时，()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为
)()22()2(1112
1x x x a x x y -⋅+=++- 即 a x x x y +-+=2
11)22(．
当02>x 时，
()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为
)(1ln 222x x x x y -⋅=
- 即 1ln 1
22
-+⋅=x x x y ． 两切线重合的充要条件是⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-+=②
①a x x x x 212121ln 2
21
，
由①及210x x <<知，21
02
<<x ， 由①、②得 1)21(411ln 1)121(ln 22
2222--+-=--+=x x x x a ， 令21
x t =
，则20<<t ，且t t t a ln 4
12--= 设)20(ln 4
1)(2
<<--=t t t t t h ，则023)1(1121)(2<--=
--='t t t t t h
所以)20()(<<t t h 为减函数，则2ln 1)2()(--=>h t h ， 所以2ln 1-->a ，
而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时，)(t h 无限增大， 所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--．
故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时，a 的取值范围是),2ln 1(+∞--．
…………………………… 14分。