概率与统计的综合问题答题模板

概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．

“大题规范解答——得全分”系列之(十)

概率与统计的综合问题答题模板

[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷体育迷合计

男

女

合计

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

附K2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

，

P (K 2≥k )

0.05 0.01 k

3.841

6.635

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息 观察

条件

―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名 −−−−−−→

借助直方可确定图非体育迷及

体育迷人数

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 −−−→

需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值

3．建联系，找解题突破口

由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→

计算K 2可判断结论

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” −−−−−−→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 −−−−→

分分析类1名女性观众或两名女性观众

3．建联系，找解题突破口

由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数−−−−−→列法列出

举举

所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m m

P n

−−−−→代入＝

求概率

[教你准确规范解题]

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：

非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计

75

25

100

(3分)

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

K 2＝

100×(30×10－45×15)275×25×45×55

＝100

33≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)

(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

(9分)

用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，(11分)

事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝7

10

.

(12分)

[常见失分探因]

忽视直方图纵轴表示为频率

组距导致每组人数计算失误.

K 2的计算不准确、导致结果判断出错.

1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误.

2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.

————————————[

教

你

一

个

万

能模

板]—————————————————

第一步

理清题意，理解问题中的条件和结论．尤其是直方图中给定的信息，找关键量 第二步

由直方图确定所需的数据，列出2×2列联表

―→

第三步

利用独立性检验的步骤进行判断

―→

第四步

确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数

―→

第五步

利用概率公式求事件的概率

―→

第六步

反思回顾、检查关键点易错点及答题规范

1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^

＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )

A ．6.5 h

B ．5.5 h

C ．3.5 h

D ．0.3 h

解析：选A 将600代入线性回归方程y ^

＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 2．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：