正方形判定课程案例
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H
A
D
Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
B
KC
E
例2已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH， DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交 于G。 求证：四边形EFGH是正方形
H
A
D
G
E
B
C
F
练习：矩形ABCD中，四个内角的平分线 组成四边形EMFN， 判断四边形EMFN的形状,并说明原因
A
D
N
E B
F
M
C
证题思路分析
从 条
①.由已知正方形证 A
三角形全等；
A/
件 ②.证得菱形；
D/ D C/
分 析
③.再证直角；
B B/
C
④.是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA
又∵A`A=B`B=C`C=D`D
过 程 欣 赏
∴D`A=A`B=B`C=C`D ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`
已知： AC为正方形ABCD的对角线，E
为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证：EC=EF=FB
A
D 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形
∴∠B=900 ∠ACB=450
∵∠AEF=900 AB=AE
∴△ABF≌△AFE（HL）
∴BF=EF
E
又∵∠FEC=900
∴∠EFC=450
B
C
A`D`=A`B`=B`C`=C`D` ∴四边形A`B`C`D`是菱形 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°
∴菱形A`B`C`D`是正方形
第十九章 四边形
（11）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。
(√)
看一看，选一选
下列说法正确的是（B）
A.四条边相等的四边形是正方形 B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形 C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正 方形
3.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂 足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形． 证明： ∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°， 图 2 0 . 4 . 1 ∴ 四边形CFDE是矩形（②）. ∵ CD平分∠ACB，
3、在正方形ABCD中，E在BC 上，BE=2，CE=1，P在BD上， 则PE和PC的长度之和最小可 达到_____________
A
D
P
F
G
B
EC
19.3.2 正方形的判定
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 叫做正方形。
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
F
∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC
6.正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点O， 点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在AC、BD上， 且ＡＡ`＝ＢＢ`=ＣＣ`＝ＤＤ`. 判断四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`的形状
Ａ Ａ`
Ｄ D`
O
Ｂ B`
C` Ｃ
填空
?
的四边形是正方形。
2 、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H， 且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形
E
F
同理：DG=DF ∴ED=DF
D
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC= ∠DFC=90 ° A
B
又∵ ∠C=90 °
G
∴四边形ADFC是矩形
∴四边形ADFC是正方形
5.已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分
别是正方形ABCD四条边上的点，并
且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
①、对角线相等的菱形是正方形
（ 真）
②、对角线互相垂直的矩形是正方形 ③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
（ 真） （ 假）
④ 四条边都相等的四边形是正方形 （ 假）
⑤、四个角都相等的四边形是正方形 （ 假 ）
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形.
（真 ）
（7）正方形一定是矩形。（ √ ） （8）正方形一定是菱形。（ √ ） （9）菱形一定是正方形。（ × ） （10）矩形一定是正方形。（× ）
DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF（①）． ∴ 矩形CFDE是正方形（③）．
4.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的
平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。求证:四
边形CEDF为正方形
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB
C
∴ DE=DG
A
D
Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
B
KC
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例2已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH， DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交 于G。 求证：四边形EFGH是正方形
H
A
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G
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练习：矩形ABCD中，四个内角的平分线 组成四边形EMFN， 判断四边形EMFN的形状,并说明原因
A
D
N
E B
F
M
C
证题思路分析
从 条
①.由已知正方形证 A
三角形全等；
A/
件 ②.证得菱形；
D/ D C/
分 析
③.再证直角；
B B/
C
④.是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA
又∵A`A=B`B=C`C=D`D
过 程 欣 赏
∴D`A=A`B=B`C=C`D ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`
已知： AC为正方形ABCD的对角线，E
为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证：EC=EF=FB
A
D 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形
∴∠B=900 ∠ACB=450
∵∠AEF=900 AB=AE
∴△ABF≌△AFE（HL）
∴BF=EF
E
又∵∠FEC=900
∴∠EFC=450
B
C
A`D`=A`B`=B`C`=C`D` ∴四边形A`B`C`D`是菱形 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°
∴菱形A`B`C`D`是正方形
第十九章 四边形
（11）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。
(√)
看一看，选一选
下列说法正确的是（B）
A.四条边相等的四边形是正方形 B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形 C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正 方形
3.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂 足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形． 证明： ∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°， 图 2 0 . 4 . 1 ∴ 四边形CFDE是矩形（②）. ∵ CD平分∠ACB，
3、在正方形ABCD中，E在BC 上，BE=2，CE=1，P在BD上， 则PE和PC的长度之和最小可 达到_____________
A
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F
G
B
EC
19.3.2 正方形的判定
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 叫做正方形。
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
F
∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC
6.正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点O， 点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在AC、BD上， 且ＡＡ`＝ＢＢ`=ＣＣ`＝ＤＤ`. 判断四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`的形状
Ａ Ａ`
Ｄ D`
O
Ｂ B`
C` Ｃ
填空
?
的四边形是正方形。
2 、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H， 且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形
E
F
同理：DG=DF ∴ED=DF
D
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC= ∠DFC=90 ° A
B
又∵ ∠C=90 °
G
∴四边形ADFC是矩形
∴四边形ADFC是正方形
5.已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分
别是正方形ABCD四条边上的点，并
且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
①、对角线相等的菱形是正方形
（ 真）
②、对角线互相垂直的矩形是正方形 ③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
（ 真） （ 假）
④ 四条边都相等的四边形是正方形 （ 假）
⑤、四个角都相等的四边形是正方形 （ 假 ）
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形.
（真 ）
（7）正方形一定是矩形。（ √ ） （8）正方形一定是菱形。（ √ ） （9）菱形一定是正方形。（ × ） （10）矩形一定是正方形。（× ）
DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF（①）． ∴ 矩形CFDE是正方形（③）．
4.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的
平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。求证:四
边形CEDF为正方形
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB
C
∴ DE=DG