高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值、最小值问题(一)优质课件 北师大版选修1-1

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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值( × ) (2)函数的最大值大于最小值，函数的极大值大于极小值 (× ) (3)单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值( √ ) (4)若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一( √ )
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2．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为( A )
解
析
：
f′(x)
＝
－
（x＋1 1）2＋
1
＝
x2＋2x （x＋1）2
，
所
以
在
[1，
3]上
f′(x)>0 恒成立，即 f(x)在[1，3]上单调递增，所以 f(x)的最大值
是 f(3)＝143，最小值是 f(1)＝32.故函数 f(x)的值域为[32，143].
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求函数在闭区间上的最值 求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]的最值． [解] 法一：f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
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4．函数的最值与极值的区别和联系 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上 对 函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数 在 整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或 最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可 能 多于一个，也可能没有，例如：常数函数既没有极大值也 没 有极小值． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极 值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有 可能 成 为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值．
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x
－3
(－3, －1)
f′(x)
＋
f(x) －60 ↗
－1
(－1, 0)
0
(0,1) 1
(1,2) 2
0－ 0 ＋ 0 －
极 大 值4
↘
极小 值3
↗
极大 值4
↘
源自文库
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. 法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3， ∴f′(x)＝－4x3＋4x，
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3.函数的最大值与最小值 函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不间断的曲线, 则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在端点处或极值点处取得． 注意：在开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值有如下几 种情况： 图①中的函数y＝f(x)在开区间 (a，b)上有最大值无最小值; 图②中的函数y＝f(x)在开区间 (a，b)上有最小值无最大值; 图③中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最 小值; 图④中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最 小值.
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令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0. 解得：x＝－1或x＝0或x＝1. 又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3， f(1)＝4，f(2)＝－5. 所以当x＝－3时，f(x)有最小值－60. 当x＝±1时，f(x)有最大值4. 方法归纳 求一个函数在闭区间[a，b]上的最值,一般是先求出f(x)在(a,b) 内所有极值和两个端点值f(a),f(b)，再比较各极值与端点值即 可得到函数在[a，b]上的最值．
第四章 导数应用
2．2 最大值、最小值问题(一)
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第四章 导数应用
学习导航 1.了解函数最大值、最小值的概念．
学习 2．理解函数最值与极值的联系与区别．(重点)
目标 3．掌握利用导数求函数最值．(难点) 1.借助函数的图像直观认识函数的最值．
学法 2．借助函数的图像认识极值与最值的区别，认识极
指导 值的相对性和最值的整体性.
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1.最大值点与最小值点 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这 个区间上所有点的函数值都___不__超__过____f(x0)． 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这 个区间上所有点的函数值都____不__低__于___f(x0)．
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2.最大值与最小值 最大(小)值或者在极大(小)值点取得,或者在区间的端点取 得. 因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小) 值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进 行 比 较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值 和最小值统称为____最__值_____．
f(0)＝0，f(23π)＝π3＋ 23，f(43π)＝23π－ 23，f(2π)＝π，所以函数 f(x)在[0，2π]上的最大值是 π，最小值是 0.
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(2)当 a＝12时，f(x)＝2（1－ x x）＋ln x，f′(x)＝x－x2 2，令 f′(x) ＝0，得 x＝2.当 x∈[1，2)时，f′(x)<0，故 f(x)在[1，2)上单 调递减；当 x∈(2，e]时，f′(x)>0，故 f(x)在(2，e]上单调递 增，∴f(x)在区间[1，e]上有唯一的极小值点，故 f(x)min＝f(x) 极小值＝f(2)＝ln 2－1. ∵f(1)＝0，f(e)＝2－e e<0，∴f(x)在区间[1，e]上的最大值为 f(1)＝0. 综上可知，函数 f(x)在[1，e]上的最大值是 0，最小值是 ln 2 －1.
A.29 3
B．2 9 2
C.39 2
D.38
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令 f′(x)＝0，得 x＝± 33.
∵f
3 3
＝2
9
3，f－
33＝－2
9
3，f(0)＝0，f(1)＝0，
∴函数 f(x)在[0，1]上的最大值为 f 33＝2 9 3.
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3．(2014·潍坊高二检测)函数 f(x)＝x·2x，则下列结论正确 的是( ) A．当 x＝ln1 2时，f(x)取最大值 B．当 x＝ln1 2时，f(x)取最小值 C．当 x＝－ln1 2时，f(x)取最大值 D．当 x＝－ln1 2时，f(x)取最小值
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解析：选 D.f′(x)＝2x＋x·(2x)′ ＝2x＋x·2x·ln 2. 令 f′(x)＝0，得 x＝－ln12.
当 x∈－∞，－ln12时，f′(x)<0； 当 x∈－ln12，＋∞时，f′(x)>0，
故函数在 x＝－ln12处取极小值，也是最小值．
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4．函数 f(x)＝x＋1 1＋x(x∈[1，3])的值域为_[3_2，__1_4_3]__．
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1.(1)求函数 f(x)＝12x＋sin x 在区间[0，2π]上的最大值与最小值. (2)已知函数 f(x)＝1a－xx＋ln x，当 a＝12时，求 f(x)在[1，e]上的最 大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0，解得 x1＝23π，x2＝43π.因为