ODE稳定性

例6.5 判定系统
零解的稳定性.
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
* 定义6.1 若存在 x D 使 f ( x ) 0 , 则点 x
*
*
称为系统(6.2)
的一个平衡位置, 也称为此系统的一个奇点.
下面通过一个例子来说
明轨线与积分曲线的关
系
dx y dt dy x dt
很明显方程 它在三维空间
( 6 . 4 ) 有一个特解
x cos t , y sin t ,
( t , x , y )的积分曲线是一条螺旋
线如图 ( a ), 它经过 ( 0 ,1, 0 ), 当 t 增大时 , 螺旋线向 上盘旋 . 上述积分曲线在 一个圆 x y
.于是方程组的轨线就
6.2 稳定性的基本概念
定义6.2 设 x ( t ; t 0 , x 0 ) 是系统(5.2)适合初值条件 x ( t 0 ) x 0 的解 (1) 若 0 , ( ) 0 , 使得只要 x 0 , 对一切
t t 0 恒有
x (t ; t0 , x0 ) ,
dx y, dt dy x ay (1 y ) 2 , dt
(6.5)
a 0
的零解 x y 0
的稳定性.
6.4 由线性近似系统判定稳定性
dx dt f ( x ), f :D R
n
R ,
n
(6.10)
设 x 0 为(6.10)的解, 利用TayLor公式 可将(6.10)化为
dx dt Ax ( x ),
称系统(6.11)的线性近似系统为
dx dt
Ax ,
(6.12)
定理 6.2 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.10)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.10)的零解是不稳定的. 定理 6.3 (Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
则称
函数 V 在 D 上是常正(常负)的;若 V ( 0 ) 0 且当 x D / 0 时, V ( x ) 0 ( 0 ), 则称 函数 V 在 D 上是常正(常负)的;常 常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为
定号函数. 若 V ( 0 ) 0 且在 x 0 的任意领域内均既有使 V ( x ) 0 的点, 也有使 V ( x ) 0 的点, 则称函数 V 在 D
满足初值条件 x ( t 0 ) x 0 ,
a ( t t0 )
的解为
x x0e
.
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x
x H R ,V C
n (1 )
( D ).
若 V ( 0 ) 0 且当 x D / 0 时, V ( x ) 0 ( 0 ),
容 易 看 出 , 解 x x ( t ), y y ( t ) 在 相 平 面 中 的 轨 线 正 是 这 个 解 在 (t , x , y )三 维 空 间 中 的 积 分 曲 线 在 相 平 面 上 的 投 影 .由 相 轨 线 来 研 究 方 程 ( 6 .3)的 通 解 比 用 积 分 曲 线 要 方 便 得 多.
轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点, 否则与解的 唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人 们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这 也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨 论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的 的稳定性.
( 6 .2 )
V (x)
0
定正(定负), 内除 x 0
dV dt
( 6 .2 )
常负(常正), 但集合
外不含有系统(6.2)的整条轨线,
则
x 0 是渐近稳定的.
附注2 若
V (x)
在 x0
的邻域内是变号函数,而
dV dt
( 6 .2 )
定号,则 x 0 是不稳定的. 例5.2 讨论系统
3 a0 0
a 4 0, , n a3
a0 0
其中当 k n 时, a 0 . k
dx dt dy dt dz dt x y z 1 z , x 2 y (sin y z ) e ,
2 x
y z 2 sin x ,
6.1.2 相平面、相轨线与相图
dx P ( x, y ) dt dy Q ( x, y ) dt
( 6 .3)
我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面 上的轨迹称为(6.3)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上 的图像称为(6.3)的相图.
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的;
在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
(3) 若
在 D 上是定正(定负)的,则 x 0 是不稳定的;
V
用来判定稳定性的这种函数 V ( x , y ) 称为Liapunov函数,也称为 函数.
附注1 若
x dV dt
2 2
xoy 平面上的投影是 xoy
1, 这个圆正是上述特解在
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上的相轨线
.
(a)
(b)
又 知 , 对 任 意 常 数 , 函 数 x c o s ( t ), y s in ( t ), 也 是 方 程 组 的 解 , 它 的 积 分 曲 线 是 经 过 ( ,1, 0 )的 螺 旋 线 , 但 是 它 们 与 解 x c o s t , y s in t 有 同 一 条 轨 线 x y 1.
a 0 a1
n
n 1
a n 1 a n 0
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
def def
1 a1 0 , 2
a1 a0
a3 a2
0,
def
a1
a3 a2 a1
a5
a1
def
a3 a2 0

a 2 n 1 a2n2 an 0,
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0
稳定的.
是全局渐近
(3) 若 0 0 , 0 , 都 x 0 与 t1 t 0 , 使 x 0 ,
但
x (t ; t 0 , x 0 ,
则称 x 0 是不稳定的;
dx dt ax
例如, 微分方程
上是变号的.
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 上的定正(定负)函数 的全导数 (1) 若 (2) 若
dV dt dV dt dV dt
( 6 .2 ) ( 6 .2 ) ( 6 .2 )
D R
n
V ( x ),
dV dt
( 6 .2 )
表示
V (x)
沿系统(6.2)的轨线
6. 1 自治系统与非自治系统
dx dt f ( t , x ), f : G (a, b) D R R
n
R ,
n
(6. 1)
dx dt
f ( x ),
f :D R
n
R ,
n
(6. 2)
把t理解为时间,x理解为相空间 R n 内动点的坐标, 那末(6.1) 确定了一个向量场(速度场), (6.2)确定一个定常场. (6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
2 2
为了画出方程组在相平 方程组的通解为
面上的相图
, 我们求得
x A c o s(t ) y A s in ( t )
其中 A , 为任意常数 是圆族 .如图 ( b )
特 别 ,x=0,y=0也 是 方 程 组 (6.3)的 解 ,它 的 轨 线 就 是 原 点 O ( 0 , 0 ).
则称系统(5.2)的零解 x 0 是稳定的; (2) 若 1) x 0 是稳定的; 2)
x 0 1 , 就有
t 0 , 1 0 , 使得只要
lim x ( t ; t 0 , x 0 ) 0 ,
t
则称系统(6.2)的零解 x 0 是渐近稳定的; 区域 x x 1
微分方程稳定性与定性理论
6.1 自治系统与非自治系统 6.2 稳定性的基本概念 6.3 判定稳定性的 Liapanov 函数法 6.4 由线性近似系统判定稳定性
为什么要研究微分方程的定性理论?
由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求 得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等 方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径, 本章4.3节中所介绍的幂级数解法就是途径之一,另一种重要的途径 是利用数值计算方法通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方 法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不 通过求解而直接从微分方程的系数去研究其解的主要特征和性态,这 就是所谓的定性分析方法.这种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了 解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析 法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效 果。限于篇幅，本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初 步知识，而且局限于对自治系统进行讲解。
2 2
同 是 , 我 们 也 可 以 看 出 , x c o s ( t ), y s in ( t ) 的 积 分 曲 线 可 以 由 x c o s t , y s in t的 积 分 曲 线 向 下 平 移 个 单 位 而 得 到 ,由 于 的 任 意 性 ,可 知 轨 线 x y 1对 于 着 无 数 多 条 积 分 曲 线 .