七年级数学上册《整式—整式的乘除》文字素材1 华东师大版

整式的乘法和除法【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1. 幂的运算；

2. 整式的乘法；

3. 整式的除法；

4. 因式分解．

二. 知识要点：

幂的运算整式的乘法整式的除法因式分解同底数幂的乘法

幂的乘方

积的乘方

同底数幂的除法

零指数幂

单项式乘以单项式

单项式乘以多项式

多项式乘以多项式

单项式除以单项式

多项式除以单项式

提公因式法

公式法

平方差公式

完全平方公式

互

逆

变

形

平方差公式

完全平方公式

三. 重点难点：

重点是整式的乘除运算，因式分解的两种基本方法．难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法．

四. 考点分析：

本章知识基础性强，注重基本计算技能的培养，能为以后分式的运算、一元二次方程的学习奠定基础，同时也是培养数感、符号感、空间观念的过程．所以在中考试题中，经常在选择题、填空题中出现本章知识的题目，在其他的解答题中会渗透整式运算和因式分解的内容．

【典型例题】

例1. 完成下列各题：

1. （2008年山西）计算：2x3·（－3x）2__________．

2. （2008年湖北省襄樊）下列运算正确的是（）

A. x3·x4＝x12

B. （－6x6）÷（－2x2）＝3x3

C. 2a－3a＝－a

D. （x－2）2＝x2－4

3. （2008年哈尔滨）把多项式2mx2－4mxy＋2my2分解因式的结果是__________．

4. （2008年山东）分解因式：（2a－b）2＋8ab＝____________．

解：1. 18x5 2. C 3. 2m（x－y）2 4. （2a＋b）2

例2. 用简便方法计算．

（1）0. 252009×42009－8100×0. 5300．

（2）4292－1712．

分析：（1）中0. 25与4的指数相同，可用积的乘方的运算性质化简，同样8100可化为（23）100，即2300；（2）可运用因式分解的平方差公式来计算．

解：（1）0. 252009×42009－8100×0. 5300

＝（0. 25×4）2009－（23）100×0. 5300

＝12009－（2×0. 5）300

＝1－1300

＝0

（2）4292－1712

＝（429＋171）（429－171）

＝600×258

＝154800

评析：注意观察数字特征，利用幂的有关运算性质和因式分解可使运算简化．

例3. 设m2＋m－2＝0，求m3＋3m2＋2000的值．

分析：由m2＋m－2＝0无法求m，所以要把m3＋3m2＋2000及m2＋m－2＝0变形．

解：由m2＋m－2＝0，得m2＝2－m，m2＋m＝2，

原式＝m2·m＋3m2＋2000

＝（2－m）·m＋3m2＋2000

＝2m－m2＋3m2＋2000

＝2（m2＋m）＋2000

＝2×2＋2000

＝2004

评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．

例4. 化简求值：5（m ＋n ）（m －n ）－2（m ＋n ）2－3（m －n ）2，其中m ＝－2，n ＝15

． 分析：先应用乘法公式化简，再代入求值．

解：5（m ＋n ）（m －n ）－2（m ＋n ）2－3（m －n ）2

＝5（m 2－n 2）－2（m 2＋2mn ＋n 2）－3（m 2－2mn ＋n 2）

＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2

＝－10n 2＋2mn

当m ＝－2，n ＝15

时， 原式＝－10n 2＋2mn ＝2n （－5n ＋m ）

＝2×15×（－5×15－2）＝25×（－3）＝－65

评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确．

例5. 已知（a ＋b ）2＝11，（a －b ）2＝5，求（1）a 2＋b 2；（2）ab ．

分析：利用完全平方公式变形即可．

解：由（a ＋b ）2＝11，得a 2＋2ab ＋b 2＝11．①

由（a －b ）2＝5，得a 2－2ab ＋b 2＝5．②

①＋②，得2a 2＋2b 2＝16．故a 2＋b 2＝8．

①－②，得4ab ＝6．故ab ＝32

． 评析：本题中所给四个式子间的关系，在今后的学习中经常要用到．

例6. 如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n 根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S ＝__________（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．

分析：本题可以把图形中的火柴棍分成横放和竖放两类．第1个图形中横放的有2根，竖放的有2根；第2个图形中横放的两列每列3根有2×3根，竖放的两行每行3根有2×3根，总数为2×2×3根；第3个图形中横放的三列每列4根有3×4根，竖放的三行每行4

根有3×4根，共2×3×4根；……；第n个图形中横放的n列每列（n＋1）根有n（n＋1）根，竖放的n行每行（n＋1）根有n（n＋1）根，共2×n（n＋1）根．

解：2n2＋2n

【方法总结】

通过练习，具备整式乘除运算和因式分解的基本计算技能，解决实际问题时，能把问题情境转化成数学模型，然后利用整式及其运算和因式分解的知识解决问题．同时注意到数形结合的思想、整体的思想、转化的思想在解题时的体现和运用．