概率论与数理统计数学实验

概率论与数理统计数学实验

目录

实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27

实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解

Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。

例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089

例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3) 结果为：

0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。

解：在MATLAB 命令窗口中输入： unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为：

0.75000

例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为：

6.1517

例5 求t 分布()10t 的期望和方差。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： [m,v]=tstat(10) m = 0 v =

1.2500

例6 生成一个2*3阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为0.1的正态分布。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： A=normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) A =

1.1189

2.0327 2.9813

3.9962 5.0175 6.0726

例7 生成一个2*3阶服从均匀分布()3,1U 的随机矩阵。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： B=unifrnd(1,3,2,3) B =

1.8205 1.1158

2.6263

2.7873 1.7057 1.0197

注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布()1,0U ,可用命令rand(m,n)。

实验二 数据的统计描述和分析

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件关于统计作图的基本操作 (2) 会用MATLAB 软件计算计算几种常用统计量的值

(3) 通过实验加深对均值、方差、中位数等常用统计量的理解 1. 频数表和直方图

一组数据（样本观察值）虽然包含了总体的信息,但往往是杂乱无章的，作出它的频数表和直方图，可以看作是对这组数据的一个初步整理和直观描述。将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。 2 经验累计分布函数图

设n x x x ,,,21 是总体X 的一个容量为n 的样本观察值。将n x x x ,,,21 按自小到大的次序排列，并重新编号，设为

()()()n x x x ≤≤≤ 21

记

()()

()()()

???????≥-=<≤<=+n k k n x x n k x x x n k

x x x F ,

11,,2,1,,

,

011 则称()x F n 为总体X 的经验累积分布函数，它的图像即为经验累计分布函数图。 3 几种常用的统计量 （1）算术平均值和中位数

算术平均值（简称均值），∑==n

i i X n X 1

1 ，中位数是将数据由小到大排序后位于中间

位置的那个数值。 （2）标准差、方差

标准差: ()2

1

1211??

?

?

??--=∑=n

i i X X n s ,它是各个数据与均值偏离程度的度量。方差是标

准差的平方,记为2

s 。 （3）偏度和峰度

表示数据分布形状的统计量有偏度和峰度。偏度：()∑=-=n

i i

X X

s

g 1

3

3

11

反映数据分布

对称性的指标，当01>g 时，称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；当

01

()∑=-=n

i i

X X

s

g 1

4

4

21),是数据分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若2

g 比3

大得多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可以用作衡量偏离正态分布的尺度之一。

将样本的观测值()n x x x ,,,21 代入以上各式后，即可求得对应统计量的观测值。 4 MATLAB 实现

下面我们列出用于数据的统计描述和分析的常用MATLAB 命令。其中，x 为原始数据行向量。

（1）用hist 命令实现作频数表及直方图，其用法是：

[n,y] = hist(x,k)

返回x 的频数表。它将区间[min(x),max(x)]等分为k 份（缺省时k 设定为10），n 返回k 个小区间的频数，y 返回k 个小区间的中点。

hist(x,k)

返回x 的直方图。

（2）用cdfplot 命令作累积分布函数图，其用法是：

[h,stats] =cdfplot(x)

在返回x 的累积分布函数图的同时，在stats 中给出样本的一些特征：样本最小值、最大值、平均值、中位数和标准差。

cdfplot(x,k)

则直接返回x 的累积分布函数图。

（3）算术平均值和中位数

Matlab 中mean(x)返回x 的均值，median(x)返回中位数。 （4）标准差、方差和极差

极差是n x x x ,,,21 的最大值与最小值之差。

Matlab 中std(x)返回x 的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差。 （4）偏度和峰度

Matlab 中skewness(x)返回x 的偏度，kurtosis(x)返回峰度。 例1 某学校随机抽取100名学生，测量他们的身高，所得数据如下表

解：在MATLAB 命令窗口中输入：

X=[172 169 169 171 167 178 177 170 167 169 171 168 165 169 168 173 170 160 179 172 166 168 164 170 165 163 173 165 176 162 160 175 173 172 168 165 172 177 182 175 155 176 172 169 176 170 170 169 186 174 173 168 169 167 170 163 172 176 166 167 166 161 173 175 158 172 177 177 169 166 170 169 173 164 165 182 176 172 173 174 167 171 166 166 172 171 175 165 169 168 173 178 163 169 169 177 184 166 171 170]; [n,y]=hist(X) n =

2 3 6 18 26 22 11 8 2 2 y =

156.5500 159.6500 162.7500 165.8500 168.9500 172.0500 175.1500 178.2500 181.3500 184.4500 hist(X)

直方图

x1=mean(X)

x1 =

170.2500

x2=median(X)

x2 =

170

x3=range(X)

x3 =

31

x4=std(X)

x4 =

5.4018

x5=skewness(X)

x5 =

0.1545

x6=kurtosis(X)

x6 =

3.5573

例2 产生50个服从标准正态分布的随机数，指出它们的分布特征，并画出经验累积分布函数图

解：在MATLAB命令窗口中输入：

x=normrnd(0,1,1,50);

[h,stats]=cdfplot(x)

h =

171.0016

stats =

min: -2.9443

max: 3.5784

mean: 0.2840 median: 0.3222 std: 1.2625

x

F (x )

Empirical CDF

经验累积分布函数图

实验三 参数估计

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件关于参数估计的有关操作命令 (2) 会用MATLAB 软件求参数的点估计和置信区间 (3) 通过实验加深对参数估计基本概念和基本思想的理解 1 参数估计的方法

利用样本对总体进行统计推断的一类问题是参数估计，即假定总体的概率分布类型已知，由样本估计参数的分布。参数估计的方法主要有点估计和区间估计两种。 2 参数估计的Matlab 实现

在Matlab 统计工具箱中，有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。 对于正态总体，命令是

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)

其中x 为样本（数组或矩阵），alpha 为显著性水平α（alpha 缺省时设定为0.05），

返回总体均值

和标准差

的点估计mu 和sigma ，及总体均值

和标准差

的区

间估计muci 和sigmaci 。当x 为矩阵时返回行向量。此外，Matlab 统计工具箱中还提供了一些具有特定分布总体的区间估计的命令，如expfit ，poissfit ，分别用于指数分布和泊松分布的区间估计，具体用法可参见MATLAB 的帮助系统。

例1 已知某种木材横纹抗压力的实验值),(~2

σμN X ，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间:(1)2σ未知； (2) 22

30=σ。

解:(1) 2σ未知时，可直接使用normfit 命令

在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[482,493,457,471,510,446,435,418,394,496]; [mu sigma muci sigmaci]=normfit(x) mu =

460.2 sigma =

37.1776515904082 muci =

433.60471018703 486.79528981297 sigmaci =

25.5720976681307 67.8718993056142

2σ未知时，平均横纹抗压力μ的估计值为460.2，其置信度为0.95的置信区间为[433.6，

486.8]。

（2）2σ已知时，μ的置信度为0.95的置信区间为

12

12

x

u ,x u αα--?-+??

。 在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[482,493,457,471,510,446,435,418,394,496];

muci=[mean(x)-norminv(0.975)*30/sqrt(10),mean(x)+norminv(0.975)*30/sqrt(10)] muci =

441.606149030863 478.793850969137

2σ已知时，平均横纹抗压力μ的置信度为0.95的置信区间为[441.6，478.8]。同（1）比

较可得，在置信水平相同的条件下，利用方差得到的置信区间的长度要小于忽略方差得到的置信区间长度。

例2 某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为0.90的置信区间。 解:在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[595,602,610,585,618,615,605,620,600,606];

[mu sigma muci sigmaci]=normfit(x,0.1)

mu =

605.6

sigma =

10.8032916794425

muci =

599.337534833741

611.862465166259

sigmaci =

7.8793483042824

17.773549266492

sigma^2

ans =

116.711111111111

sigmaci.^2

ans =

62.084129700198

315.89905352842

σ的估计值为116.7，其置信度为0.9的置信区间为[62.08，315.9]。

即2

λ>为例3 某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以0参数的泊松分布，参数λ未知。现有以下样本值：

试求λ的极大似然估计值和置信水平为95%的置信区间。

解:在MATLAB命令窗口中输入：

x=[75,90,54,22,6,2,1];

[lamda,lamdaci]=poissfit(x)

lamda =

35.7142857142857

lamdaci =

31.2871783406817 40.1413930878897

即λ的极大似然估计值为35.71，其置信水平为95%的置信区间为[31.29，40.14]。

实验四 假设检验

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件关于假设检验的有关操作命令

(2) 会用MATLAB 软件求单个正态总体和双正态总体的假设检验问题 (3) 会用MATLAB 软件判断总体是否服从正态分布 (4) 通过实验加深对假设检验基本概念和基本思想的理解 1 参数假设检验

如果总体的分布函数类型已知，只是对总体分布中的参数做某种假设。然后，用样本检验此假设是否成立，这种检验称为参数检验。下面我们给出几种参数检验对应的Matlab 命令，相关的理论知识可参考教材。

注1： x 是样本，mu 是0H 中的0

μ，sigma 是总体标准差，alpha 是显著性水平

（alpha 缺省时设定为0.05），tail 是对备择假设1H 的选择：1H 为0μμ≠时，令tail=0（可缺省）； 1H 为0μμ>时，令tail=1；1H 为0

μμ<时，令tail=-1。输出参数h=0表

示接受0H ，h=1表示拒绝0H ，p 表示在假设0H 下样本均值出现的概率，p 越小0H 越值得怀疑，ci 是0

μ的置信区间。

注2：ttest2输入的是两个样本x,y ，长度可以不同。

例1 某种电子元件的寿命x (以小时计)服从正态分布,2

σ未知.现得16只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?（）

解：需要检验：0H ：225=μ，1H ：225>μ

x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; [h,p,ci]=ttest(x,225,0.05,1) h = 0 p =

0.2570 ci =

198.2321 Inf

h=0，p=0.2570，说明在显著水平为0.05的情况下，不能拒绝原假设，认为元件的平均寿命不大于225小时。

例2 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都可能做到相同。先用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交换进行,各炼了10炉,其得率分别为: 1°标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3 2°新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1

设这两个样本相互独立且服从标准差相同的正态分布，问建议的新方法能否提高得率?(取

0.05。)

解 需要检验：0H ：21μμ=，1H ：21μμ<

x=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3]; y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1]; [h,p,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1) h = 1 p =

2.2126e-004 ci =

-Inf -1.9000

h=1,p=2.2126×10-4。

表明在0.05的显著水平下，可以拒绝原假设，即认为建议的新操作方法能提高得率。

2 分布拟合检验

在实际问题中，有时不能预知总体服从什么类型的分布，这时就需要根据样本来检验关于分布的假设。下面我们给出几种检验总体是否服从正态分布对应的Matlab命令。

注1：输入参数x是样本，alpha是显著性水平（alpha缺省时设定为0.05），输出h=1,则拒绝总体是正态分布的假设,若h=0，则接受总体服从正态分布的假设。p为检验概率值，p

越小，则

H越值得怀疑

例3 试检验实验二例1中的学生身高数据是否来自正态总体（取0.1)。

解: 在MATLAB命令窗口中输入：

[h,p]=jbtest(x,0.1)

h =

p =

0.5303

h=0，因此，接受总体服从正态分布的假设。

实验五方差分析

实验目的

(1) 学习MATLAB软件关于方差分析的有关操作命令

(2) 会用MATLAB软件求解单因素和双因素方差分析问题

(3) 通过实验加深对方差分析基本概念和基本思想的理解

1 单因素方差分析Matlab实现

Matlab统计工具箱中单因素方差分析的命令是anoval，用法为：

p=anoval(x，group)

输入参数x是一个向量，从第1个总体的样本到第r个总体的样本依次排列，group是一个与x 有相同长度的向量，反映了x中数据的分组情况。比如，可以用数字i代表第i个总体的样本。输出值p是一个概率值(p值)，当P 时接受原假设，即认为因素A对指标有无显著影响。另外，该命令还给出一个标准的方差分析表和一个盒子图。

例1 用4种工艺生产灯泡，从各种工艺制成的灯泡中各抽出了若干个测量其寿命，结果如下表，试推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异。

解: 在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800]; g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; p=anova1(x,g) p =

0.0149

p=0.0149<0.05，所以这几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异。

V a l u e s

方差分析表 盒子图 2 双因素方差分析Matlab 实现

双因素方差分析的MATLAB 命令为:

p=anova2(x,reps)

输入参数x 为矩阵，其元素表示两因素在某个水平组合下的试验结果，其中行对应因素A,列对应因素B 。如果每一种水平组合都有不止一个的观测值，则用参数reps 来表明，即reps 给出重复试验的次数。当reps=1(缺省值)时，输出p 是一个向量包含两个概率值(p 值)，第1个对应因素A ；第2个对应因素B 。p 值接近于零(小于0.05)时，拒绝原假设,即认为该因素对指标有显著影响。当reps>1时，输出p 还包含另外一个概率值，该p 值接近于零(小于0.05)时，认为两个因素交互作用的效应是显著的。

例2 下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下得率的数据。假设在诸水平配对下的试验结果如下表所示。试在水平

0.05下，检验在不同浓度（因素A ）、不同温

度（因素B ）下的得率是否有显著差异？交互作用是否显著？

解: 在MATLAB命令窗口中输入：

x=[11 11 13 10;10 11 9 12;9 10 7 6;7 8 11 10;5 13 12 14;11 14 13 10];

p=anova2(x,2)

p =

0.3104 0.0419 0.7010

p=0.3104 0.0419 0.701。即认为温度因素不显著、而浓度因素有显著差异，交互作用不显著。

双因素方差分析表

实验六 回归分析

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件关于回归分析的有关操作命令 (2) 会用MATLAB 软件求解各种类型的回归分析问题 (3) 通过实验加深对回归分析基本概念和基本思想的理解 1 多元线性回归的Matlab 实现

Matlab 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，其MATLAB 命令为：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

其中 y,x 为输入数据，alpha 是显著性水平（缺省值为0.05），输出b 为回归系数β估计值，bint 是β的置信区间，r 是残差向量，rint 是r 的置信区间，stats 中包含了三个检验量：决定系数2

R ，F 值和p 值。它们的用法如下：2

R 值反映了变量间的线性相关的程度，2

R 越接近1，则变量间的线性关系越强；如果满足()F n F <--2,11α，同样可以认为Y 与x 显著地有线性关系；若α

例1 某饮料公司发现饮料的销售量与气温之间存在着相关关系，即气温越高，人们对饮料的需求量越大。下表记录了饮料销售量和气温的观察数据：

试建立销售量与气温之间的关系。

解: 首先画出散点图，从图形可以看出，这些点大致分布在一条直线上，所以，可以考虑一元线性回归。

10

20

30

40

50

100

200300400

500

600x

y

散点图

在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[30 21 35 42 37 20 8 17 35 25];

y=[430 335 520 490 470 210 195 270 400 480]; plot(x,y,'o')

X=[ones(10,1),x'];

[b bint r rint s]=regress(y',X,0.05) b =

117.0702 9.7381 bint =

-19.0529 253.1932 5.0138 14.4625 p=s(3) p =

0.0014

p=0.0014<0.05,说明模型成立，即气温x 与饮料销售量Y 有显著的线性关系。 接下来画残差分布图 rcoplot(r,rint)

残差分布图由残差分布图可知，除第10个数据外其余残差的置信区间均包含零点。因此，第10个点应视为异常点，将其剔除后重新计算，可得 x=[30 21 35 42 37 20 8 17 35];

y=[430 335 520 490 470 210 195 270 400]; X=[ones(9,1),x'];

[b bint r rint s]=regress(y',X,0.05); b =

96.6216 10.0017 bint =

-13.8604 207.1037

6.2188 13.7845 p=s(3) p =

4.2334e-004

p 值小于原模型的p 值，所以应该用修改后的模型。 2 多项式回归的MATLAB 实现

一元多项式回归的MATLAB 命令为：

[p,s]=ployfit(x,y,n)

其中输入x,y 是样本数据，n 表示多项式的阶数，输出p 是回归多项式的系数，s 是一个数据结构，可用于其他函数的计算，比如，[y delta]=polyconf(p,x0,s)可用于计算x0处的预测值y 及其置信区间的半径delta 。 一元多项式回归还可以采用如下命令：

polytool(x,y,n,alpha)

该命令输出一个交互式画面，画面显示回归曲线及其置信区间，通过图左下方的export 下拉式菜单,还可以得到回归系数的估计值及其置信区间、残差等。还可以在正下方左边的窗口中输入x ，即可在右边窗口得到预测值y 及其对应的置信区间。

例2 将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组，每组两人测量其旋转定向能力， 以考察年龄对这种运动能力的影响。现得到一组数据如下表：

试建立二者之间的关系。

解 数据的散点图（略）明显地呈现两端低中间高的形状，所以应拟合一条二次曲线。 x=17:2:29; X=[x,x];

y=[20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3]; [p,s]=polyfit(X,y,2) p =

-0.2003 8.9782 -72.2150 即所求的回归模型为：

215.729782.82003.0?2-+-=x x Y