人教版九年级有关旋转变换几何综合证明题 解法探究

人教版九年级数学

有关旋转几何综合证明题 解法探究

有关旋转几何综合证明题在历届中考中占有很重要的位置，是对学生综合分析解决问题能力的考查，解决此类问题要熟练掌握运用旋转变换的性质。考查的知识点有全等三角形的判定，图形的旋转变换，相似，解直角三角形等，要求学生掌握知识面要宽，要有一定的解题经验的积累，能够将动态问题转化为静态问题来解决，将复杂问题转化为简单问题得以证明，正下面就通过一组题的解答，来体会这类题的解法 。 1.（2020.山西)如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB=900，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转900，得到△CBE`(点A 的对应点为点C)。延长AE 交CE`于点F ，连接DE. (1) 试判断四边形BE`FE 的形状，并说明理由；

(2) 如图②，若DA=DE,请猜想线段CF 与FE`的数量关系并加以证明； (3) 如图①，若AB=15,CF=3, 请直接写出DE 的长。

2.在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=α，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC 。 （1）如图，当α=600时，①求证：PA=DC;②求∠DCP 的度数

（2）如图，当α=1200时，请直接写出PA 和DC 的数量关系为____ （3）当α=1200时，若AB=6,BP=31,请直接写出点D 到CP 的距离为_____

3.（2020.苏州)问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=900，P 是BC 上一点，PA=PD, ∠APD=900.求证：AB+CD=BC.

问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=45,P 是BC 上一点，PA=PD, ∠APD=900.求

BC

CD

+AB

的值。

4.（2020.北京)在△ABC中，∠C=90，AC>BC,D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE,交直线BCA于点F，连接EF.

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长（用含a、b的式子表示）（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE, EF , BF之间的数量关系，并证明。

5.（2020.营口）如图，在矩形ABCD中，AD=kAB,点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F。

（1）如图1，若k=1，则AF与AE之间的数量关系是______

（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）

（3）若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G，连接EG，当CF=1时，求EG的长

6. （2020.内蒙古包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90，AC=4,BC=2,Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到Rt △A`B`C ，A`C 与AB 交于点D 。 （1）如图，当A`B`∥AC 时，过点B 作BE ⊥A`C,垂足为E ，连接AE. ①求证：AD=BD ②求

ABE

ΔACE

ΔS S 的值； （2）如图，当A`C ⊥AB 时，过点D 作DM ∥A`B`，交B`C 于点N ，交AC 的延长线于点M ，求NM

DN

的值 ？

7. （2020.抚顺）如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，∠ABC=α（00<α<1800）,且AB=CB ，点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E,使∠AEC=α.连接CE, BE.

(1) 如图①，当点D 在线段CB 上，α=90时，请直接写出∠AEB 的度数；

(2) 如图②，当点D 在线段CB 上，α=120时，请写出线段AE, BE ,CE 之间的数量关系，并说明理由；

(3) 当α=120，tan ∠DAB=31时，请直接写出BE

CE

的值。

8.（2020.安徽）如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE=AD,EC 与BD 相交于点G ，与AD 相交于点F ，AF=AB. （1）求证：BD ⊥EC ；

（2）若AB=1，求AE 的长；

（3）如图，连接AG ，求证:EG-DG=2AG

9.（2019.盘锦）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，F 是AC 边上的一个动点（点F 与A 、C 不重合），以CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF ，连接BF 、AD 。 （1）①猜想图1中线段BF 、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF ，绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形。图2中BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断。

（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形ABC ，∠ACB=900，正方形CDEF 改为

矩形CDEF ，如图4，且AC=4,BC=3,CD=3

4

,CF=1,BF 交AC 于点H ，次AD 于点O ，连接BD 、

AF,求BD 2+AF 2的值。

10.(2019.大连)阅读正面材料，完成（1）——（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC 中，∠BAC=900,点D 、E 在BC 上，AD=AB ，AB=kBD(其中

3

2

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG 与AC 的数量关系。”......

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG,与AC 相交于点H （如图2），可以求出HC

AH

的值。”

（1）求证：

∠BAE=∠DAC;

（2）探究线段BG 与AC 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明；

（3）直接写出HC

AH

的值（用含k 的代数式表示）。

11.(2019.鞍山)在Rt △ABC 中，∠ACB=900，D 是△ABC 内一点，连接AD ，BD 。在BD 左侧作Rt △BDE ，使∠BDE=900，以AD 和DE 为邻边作平行四边形ADEF ，连接CD ，DF 。 （1）若AC=BC, BD=DE.①如图1，当B,D,F 三点共线时，CD 与DF 之间的数量关系为_________. ②如图2，当B,D,F 三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由。

（2）若BC=2AC ，BD=2DE ，54=AC CD ，且E ，C ，F 三点共线，求

CE

AF

的值.

12.(2019.丹东)如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点,连接AE 、BD 。 （1）猜想PM 与PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（00<α<900），得到图②，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H 。请判断（1）中的结论是否成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由；

若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如图③，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明。