数学(理)作业答案2.19

2月19日理科数学答案

1．从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且

能被3整除的四位数，这样的四位数有__96__个．

解析依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除．将这6个数字按照被3除和余数分类，共分为3类：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位数含0，则另外3个数字分别为1,4

之一，2,5之一，3，此时有C 12C 12C 13A 33＝72种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此

时有A 44＝24种，由分类计数原理，这样的四位数有72＋24＝96个．

2．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为__1_359__.

解析“渐升数”由小到大排列，形如

的“渐升数”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个；

形如

的“渐升数”共有5个；

形如的“渐升数”共有4个，故此时共有21＋5＋4＝30个，因此按从小到大的顺序排列的四位“渐升数”的第30个数为1359.

3．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：

(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？

(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？

解析(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A 34个，

2,3去排四个空位，有A 24个，即有A 34A 24个；

而0在首位时，有A 23A 23个，

即有A 34A 24－A 23A 23＝252个含有2,3，但它们不相邻的五位数．

(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A 36个，去掉0在首位，即有A 36－A 25个，

0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位

置，并不能自由排列，所以有A 36－A 25＝100另：用倍缩法得A 15A 55A 33＝4．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：

(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？

(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？

(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？

解析(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 34种情况；第二步，在5个

奇数中取4个，有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以

符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100800个．

(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14400个．

(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5760个．

易错点错用“隔板法”

错因分析：①不熟悉“隔板”法所处理问题的两个基本特点：元素必须相同；必须保证每组至少1个元素．②当问题不具备这些特点时，不能完成转化．

【例1】(1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？

(2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？

(3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？

解析(1)将12个小球排成一排，中间11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1,2,3,4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同放法有C311＝165种．即每盒至少有一个小球，有165种不同放法．

(2)先将1个，2个，3个小球分别放在编号为2,3,4的盒子中，再将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，有C35＝10种放法．

所以放球数不小于编号数的放法总数为C35＝10种．

(3)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型：添加4个球与原来的12个球排成一排，中间有15个间隔，从这15个间隔中选出3个，放上“隔板”，有C315个放法，隔成4组后，再将每组中去掉一个球即可，所以，允许空盒的放法有C315＝455(种)．

【跟踪训练1】(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有(C)

A．18个B．16个

C．14个D．12个

解析当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3