因式分解全章教案和练习题

因式分解全章教案

一，概念理解：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．

二，因式分解的方法：

(1)提公因式法

如多项式),

am+

+

=

+

bm

+

cm

b

(c

a

m

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式

例题讲解：（1）2ab2+ 4abc （2）-m2n3 -3n2m3（3）2x（x+y）2+6x2（x+y）2

学生练习：

1、3x2+6=

2、7x2-21x=

3、8a3b2-12ab2c+ab=

4、-24x3-12x2+28x=

5、-5ab2+20a2b-15ab3=

6、am-am-1=（）（a-1）

7、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个

因式是（）

8、多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）

9、-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 10、30.5×768.3-768.3×20.5

拓展与探究

1、已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2

n能否被30整除.

2、若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值。

3、说明13

79

9

81-

-能被45整除。

27

(2)运用公式法。

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：（适度讲解） (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；

(7)a n -b n =(a -b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8)a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9)a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数． 例题讲解：1、1- 1

4

x 2 =+-3632a a

)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-

2、若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）

3、一块边长为a 的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增加了多少？

学生练习：1、x －4 2、116 x 2－14 x ＋1

4 3、 9m 2－6m ＋2n －n 2

4、多项式a 2

＋4ab ＋2b 2

,a 2

－4ab ＋16b 2

,a 2

＋a ＋1

4

,9a 2－12ab ＋4b 2中，

能用完全平方公式分解因式的有几个？

5、已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 。

6、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）

7、在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为()()912--x x ，而乙同学因看错了常数项而将其分解为

()()422--x x ，试将此多项式进行正确的因式分解。

8、已知22==+ab b a ，，求32232

121ab b a b a ++的值。

9、大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米。求这两个正方形的边长。 (3)十字相乘法

对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab=q ，a+b=p 的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足

a 1a 2=a ，c 1c 2=c,a 1c 2+a 2c 1=

b 的a 1，a 2，

c 1，c 2，如有，则

).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++

例题讲解：a 2－a －6 2421x x -- 2232x xy y -+ 2273x x -+ 学生练习：1、2675x x -- 2、22568x xy y +- 3、22483m mn n ++ 4、53251520x x y xy -- 5、若x 2＋mx ＋n 能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;

6、若二次三项式2x 2+x+5m 在实数范围内能因式分解，则m= ;

7、若x 2+kx －6有一个因式是(x －2)，则k 的值是 ; 8、关于X 的二次三项式x 2－4x ＋c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么c 可取下面四个值中的（ ）

(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －

5

(4)换元法

例题讲解：1、设(x ＋y)(x ＋2＋y)－15＝0,则x ＋y 的值是

（ ）

2、分解因式x 6 + 14x 3 y + 49y 2. 学生练习： 1、(x ＋y)(x ＋y －1)－12

2、()()2

43a b a b +-++

3、(x 2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2

4 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

(5)拆项法和添项法

例题讲解：分解因式：x 3-9x+8 x 2＋2ax －3a 2 (6)双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如：分解因式2x 2-7xy -22y 2-5x+35y -3．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为：