初三数学上册知识点总结

九年级上册知识点总结

第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式：)0(02

≠=++a c bx ax 其中，2

ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，

b 是一次项系数；

c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2

≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 .

（2） 直接开平方法适用于解形如p x =2或

)0(2

≠=+m p a mx ）（形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数；

（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程 )0(02

≠=++a c bx ax ，如果 042

≥-ac b ，那么方程的

两个根为 a

ac

b b x 242-±-=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我

们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

)0(02≠=++a c bx ax 的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：)0(02

≠=++a c bx ax ，一般a 化为正值 ② 确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③ 求出ac b 42

-的值；

④ 若042≥-ac b 则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，042

<-ac b ，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子ac b 42

-叫做方程)0(02

≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即

ac b 42-=∆,

（1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程

22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）

若一元二次方程02=++q px x 的两个根为1x , 2x

则有 q x x p x x =-=+2121, 若一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有两个实数根

1

x ，

2

x 则有

a

c x x a b x x =-

=+2121, 22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。

（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1） 数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题

设初始量为a ，终止量为b ，平均增长率或平均降低率为x ，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 b x a =±2

)

1(

（3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率

（4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

第二十二章 二次函数

知识点一：二次函数的定义

1.二次函数的定义：

一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点

2.二次函数()2

y a x h k =-+的图象与性质

（1）二次函数基本形式2y ax =的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 （2）2y ax c =+的图象与性质：上加下减 （3）()2

y a x h =-的图象与性质：左加右减 （4）二次函数()2

y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2

的图像与性质