苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷

江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷

高三数学试题

2020．01

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．

．） 1．已知集合A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则A B ＝ ．

2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi )(2 ＋i )的虚部为3，则实数b 的值为 ．

3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．

4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．

5．如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 ．

第4题 第5题 第9题 6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）

7．在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1，F 2是双曲线22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b )，若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．

8．若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩

，则z ＝x ＋3y 的最大值为 ．

9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25

π，弧长为4πcm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm 3．

10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R)上存在点P ，使得过点P 向

圆O ：22

2x y +=作切线PA （切点为A ），满足PO 2PA ，则实数m 的取值范围为 ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：12y =与函数()sin()6f x x πω=+(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，…，若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为 ．

12．如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，

F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则

PQ EF ⋅的值为 ．

13．已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则22

54x y -的最小 值为 ． 第12题

14．已知函数2()4825x

ex x e f x x x x

⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程2()f x 23()20a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．

内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

已知向量a ＝(sin x ，34

)，b ＝(cos x ，﹣1)． （1）当a ∥b 时，求tan2x 的值；

（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，且x ∈(0，

2

π)，求()f x 的最大值以及对应的x 的值．

16．（本题满分14分）

如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点．

（1）求证：DE ∥平面ACC 1A 1；

（2）若DE ⊥AB ，求证：AB ⊥B 1C ．

为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB

中，∠AOB＝2

3

π，OB＝23(百米)，荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在AB

上(C与A，B不重合)，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝θ，蜂果区的面积为S(平方百米)．（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值．

18．（本题满分16分）

如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的

“上辅点”．已知椭圆E：

22

22

1

x y

a b

+=(a＞b＞0) 上的点(1，

3

2

)的上辅点为(1，3)．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若△OPQ的面积等于1

2

，求上辅点Q的坐标；

（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论．

已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．

（1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式；

（2）设12311112462n n T S S S S n

=++++++++(N n *∈)．①若123T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

20．（本题满分16分）

已知函数ln ()a x f x x

+=(a ∈R)． （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；

（3）证明：当a ∈(0，12

)时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足11x +211x a

<．