高中数学-抛物线的几何性质课后导练

高中数学-抛物线的几何性质课后导练

基础达标

1.已知直线y =kx -k 及抛物线y 2=2px (p ＞0),则( )

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

解析：∵直线y =kx -k 过点（1,0），点（1，0）在抛物线y 2=2px 的内部，

∴当k =0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点. 答案：C

2.抛物线x 2=-4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则( )

A.通径长为8，△AOB 的面积为4

B.通径长为-4，△AOB 的面积为2

C.通径长为4，△AOB 的面积为4

D.通径长为4，△AOB 的面积为2

解析：∵抛物线x 2=-4y ,

∴2p =4,即通径长为4，

△AOB 的面积为21×2p ×2p =2

1×4×1=2. 答案：D

3.过点(0，-2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则｜AB ｜

等于( ) A.217 B.17 C.215 D.15

解析：设直线方程为y =kx -2,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).

由⎩⎨⎧=-=,

8,22x y kx y 得k 2x 2-4(k +2)x +4=0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点，

∴Δ=16(k +2)2-16k 2>0,即k >-1. 又,2)2(22221=+=+k

k x x ∴k =2或k =-1(舍).

∴｜AB ｜=21k +｜x 1-x 2｜

.152)44(54)(·2122

12212=-=-++=x x x x

答案：C

4.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2=2px (p ＞0),O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB

的面积是( )

A.8p 2

B.4p 2

C.2p 2

D.p 2

解析：∵抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，

∴由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°. 由方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.

2,20,0,2,2p y p x y x px y x y 或得 ∴A 、B 两点的坐标分别为（2p ,2p ）和(2p ,-2p ).

∴｜AB ｜=4p .

∴S △AOB =2

1×4p ×2p =4p 2. 答案：B

5.过抛物线y 2=8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )

A.8

B.16

C.32

D.61

解析：由抛物线y 2=8x 的焦点为（2，0），得直线的方程为y =x -2.

代入y 2=8x ,得（x -2）2=8x ,即x 2-12x +4=0.

∴x 1+x 2=12,弦长=x 1+x 2+p =12+4=16.

答案：B

6.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l

的斜率的取值范围是________.

解析：由题可知抛物线y 2=8x 的准线过（-2，0）,故过此点的直线l :y =k (x +2).

将直线方程代入抛物线方程可得k 2(x +2)2=8x ,

化简得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0有公共点，即上述方程有解且解都大于或等于0.

当k =0时，x =0成立；当k ≠0时，

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=≥--=+≥∆.

04,084,0212221x x k k x x 解得-1≤k ≤1且k ≠0.

综上所述，故-1≤k ≤1.

答案：-1≤k ≤1

7.已知点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上，则z=x 2+

21y 2+3的最小值是________. 解析：∵点（x ,y ）在抛物线y 2=4x 上，∴x ≥0.

∵z=x 2+2

1y 2+3=x 2+2x +3=(x +1)2+2, ∴当x =0时，z 最小，其值为3.

答案：3

8.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若｜AB ｜=43，则焦点到AB 的距离为.

解析：不妨设A （x ,23），则（23）2=4x .

∴x =3.

∴AB 的方程为x =3,抛物线的焦点为（1，0）.

∴焦点到准线的距离为2.

答案：2

9.已知抛物线y 2=6x ,过点P (4，1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程. 解法一：设直线上任意一点坐标为（x ,y ），弦的两个端点为P 1（x 1,y 1）、P 2(x 2,y 2).

∵P 1、P 2在抛物线上，∴y 21=6x 1,y 22=6x 2.

两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=6(x 1-x 2).①

∵y 1+y 2=2,代入①得k =.31

212=--x x y y ∴直线的方程为y -1=3(x -4),

即3x -y -11=0.

解法二：设所求方程为y -1=k (x -4).

由方程组⎩⎨⎧+-==1

4,62k kx y x y 得ky 2-6y -24k +6=0.

设弦的两端点P 1、P 2的坐标分别是（x 1,y 1）(x 2,y 2)，则y 1+y 2=

k 6. ∵P 1P 2的中点为（4，1），∴k

6=2.∴k =3. ∴所求直线方程为y -1=3(x -4),

即3x -y -11=0.

10.设抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物

线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .

证明：∵抛物线的焦点为F （2

p ,0）, ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x =my +

2p , 代入抛物线方程，得y 2-2pmy -p 2=0.

设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，

∴y 1y 2=-p 2.

∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x =-

2p 上， ∴点C 的坐标为（-2

p ,y 2）. ∴直线OC 的斜率为k =,22

1112x y y p p y ==-即k 也是直线OA 的斜率. ∴直线AC 经过原点O .

综合运用

11.椭圆ax 2+by 2

=1与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点，C 是AB 的中点，若｜AB ｜=22，O C 的斜率为2

2，求随圆的方程. 解法一：设A （x 1、y 1）、B (x 2,y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1+x 2)(x 1-x 2)+b (y 1+y 2)(y 1-y 2)=0.