3.2空间向量基本定理

的四点是否共面？
3
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
若向量 a (1, ,2), b (2,1,2) ，且 a 与 b 的夹角余
新知 2 直线的位置关系
A O C
zc ��� 所求的向量与基底都 OC1
共点，符合平行四边形法 则的特征，尽量将所求向 量作为平行四边形的对角 线
在例 1 中，设 O 是 AC 的中点，判断 AQ 和 所在直线的位置关系。 B
例 2. 笔记：
【堂中精炼】
3..下列命题正确的是( A、 如果向量 B、如果
பைடு நூலகம்
等边三角形 是 空 间 二 向 量 的 ， 夹 若 角 12 图： 已知正三棱柱 ABC－A'B'C'的侧棱长为 2， 底面边长为 1， M 是 BC 的中点。 求异面直线 AB'与 BC'的夹角；
已
知
a, b
| a | 3, | b | 2, | a b | 7 , 则a与b
为 .
A' B'
,y=
,z=
.
8 已知 S 是△ABC 所在平面外一点， D 是 SC 的中点， 若 BD ＝

xAB y AC z AS ，则 x＋y＋z＝
．
9. 已知空间四边形 OABC ，点 M , N 分别为 OA, BC 的中 点， 且 OA a, OB
b, CC1 C, 则A1 B （
C． a b c
） D． a b c
[
1 4 ( b + a )+ c ]= μ 5 5
（ b + a ）+ c ，即
5A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足 则△BCD 是 （ ） （A）钝角三角形
AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
下列各组向量中不平行的是（
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
）
10. 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中， AB
B
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
直角三角形
C
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/



用 a ，b ，c 表示 MN b , OC c ，
答案 【课堂互动】１.（１）
1 2
（a +b +c ） （２） c + b +
1 1 4 a （３） AC + AA1 ２. 相交 2 5 5 1 (b c a ) 2
【堂中精炼】3-8. CDCDBB. 【反馈测评】1.D2.A3.C4.A5 10. AP =
（C）锐角三角形 （D）不确定
（B）直角三角形
1 5
λb +
1 5
λ
a
+
4 5
λ
6 已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共 面的是 （ B． OM ）
c =μ b +μ a + c ，由 a 、 b 、 c 不共面即空间向量
基本定理的唯一性知：
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
(3,1,4)
B
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
2或
2 55
D
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
2 或
2 55
新疆 源头学子小屋
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
A 关于 x 轴对称的点的坐标为
（ D
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/




一个基底 C、若 OA ， OB ， OC 不构成空间的一个基底，那么 O，A，B，C 四点共面 D、空间中的基底只有有限个 4 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 CA a, CB A． a b c B． a b c

分析：要使 AQ 和 OC1 所在 直 线 平 行 ， 则 λ
8 ，则 等于（ 9
2
B
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
弦为 A 4
） C
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
若 A (1,2,1) ，B (4,2,3) ，C (6,1,4) ，则△ABC 的形 ） A
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
钝
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
(3,1,4)
C
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
C'
6 已 知 点 G 是 △ ABC 的 重 心 ， O 是 空 间 任 一 点 ， 若
OA OB OC OG, 则的值 为
7 若{
.
a, b, c
A
} 构 成 空 间 的 一 个 基 底 ， 实 数 x,y,z 满 足
N C B M
x a y b z c0 ，则 x=
）
7．若向量 m 垂直向量a和b,向量n a b(, R且 、 A． m // n B．
mn
C． m 不平行于 n, m也不垂直于 n
D．以上三种情况都可能
1 5 1 5 , 4 4 4 1 5
，所以，OC=
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
状是 （ 角三角形 5 ．
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
不等边锐角三角形 D
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
8 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角 ）A．
1 4
AC
的余弦值是（
2 5
B．
2 5
C．
3 5
D．
10 10
【反馈测评】
1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/



a ， AD b ，


A B C
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
a (1,2,2),b (2,4,4)
AA1 c ，P，M，N 分别是 CA1，CD1，C1D1 的中点，点 Q 在 CA1 上，
的中点，N 是 C1D1 的中点，点 Q 在 CA1 上，且 CQ：QA1=4：1， 用基底{ a 、b 、 c }表示以下向量： （1） AP ， （2） AN ， （3） AQ 笔记：
B1
Q P
如果三个向量a，b，c 不共面， 那么对于空间 任一向量p，存在一个 惟一的有序实数组x， y，z，使p = xa + yb +
CQ∶QA1=4∶1，试用基底{


新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
c (1,0,0), d (3,0,0) e (2,3,0), f (0,0,0)

)

a ， b 与任何向量不能构成空间的基底，那么 a ， b 不共线




点睛：追问：要使 AQ 和 OC1 所在直线平行， 则O应 在 AC 的什么位置？
a ， b ， c 是三个基向量，那么 a + b ， b + c ， c + a ，不能构成空间的

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
a ， b ， c }表示向量： AP 。



新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
第二章空间向量与立体几何 第 4 课时 3.2 空间向量基本定理
【课堂互动】 新知 1
空间向量基本定理
例 1. 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中， AB =
a ， AD = b ， AA1 = c ，P 是 CA 的中点，M 是 CD
1
点睛： 空间向量基本定理，
1
A1
D1 N C1 M D
wxckt@126.com
(3,1,4)
11.
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
(3,1,4)
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
D 2
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
g (2,3,5), h (16,24,40)
已知点 A(3,1, 4) ， 则点 ）A
OA OB OC 1 1 C． OM OA OB OC 2 3
A． OM
2OA OB OC 1 1 1 D． OM OA OB OC 3 3 3
0)则 （