数列-高考文科数学单元测试题

－( a1＋ a2＋…＋ a20) ＋ ( a21＋…＋ a30) ＝ S30－ 2S20＝ 765．故选 B． 8．(2018 ·安徽淮南模拟 ) 已知 { an } 中， an＝ n2＋ λ n，且 { an} 是递增数列，则实数
λ的
取值范围是 (
)
A． ( －2，＋∞ ) B ． [ －2，＋∞）
单元质量测试 ( 四)
时间： 120 分钟
满分： 150 分
第Ⅰ卷 ( 选择题，共 60 分 )
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 )
1．等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 S3＝ 6， a3＝ 0，则公差 d＝ (
)
A．－ 1 B ． 1 C ． 2 D ．－ 2
n 项和，则
S21＝
2
________ ．
答案 6
1 解析 由 an＋ an＋1＝ 2＝ an＋1＋ an＋2，得 an＋2＝ an，则 a1＝ a3＝ a5＝…＝ a21， a2＝ a4＝a6＝…
1
＝ a20 ，所以
S21＝ a1 ＋( a2＋ a3)
＋ ( a4＋a5)
＋…＋
( a20＋a21)
＝ 1＋10× ＝ 6． 2
15．(2018 ·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学
4 月联考 ) 若 { an } ， { bn} 满足 anbn
＝1， an＝ n2＋ 3n＋ 2，则 { bn} 的前 2018 项和为 ________．
1009 答案 2020
解析
∵ anbn＝ 1，且
an＝
n2＋
S2 n＋1
－
Sn
Sn＋
2＝
4×３n．
解 (1) 设等比数列 { an} 的公比为 q，由 728≠2×26 得， S6≠２S3，∴ q≠1．
由已知得
a1 1－ q3 S3＝ 1－ q ＝ 26，
a1 1－ q6 S6＝ 1－ q ＝ 728.
a1＝ 2， 解得
q＝ 3.
∴ an＝2×３n－ 1．
S16＝ S15＋a16<S15，B 错误； S15＝ 2 ( a1＋ a15) ＝ 15a8<0，D错误； S13＝ 2 ( a1＋ a13) ＝13 a7>0．故 C
正确．
10．(2018 ·福建漳州调研 )《九章算术》 是我国古代的数学名著， 书中有如下问题： “今 有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”
6．(2018 ·甘肃天水检测 ) 已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，a1＝ 1，Sn＝ 2an＋1，则 Sn＝ (
)
A． 2n－1
B
1 ． 2 n－ 1
C． 2n－1 D ． 3n－1
3
2
答案 D
Sn＋1 3 解析 因为 an＋1＝ Sn＋1－ Sn，所以 Sn＝ 2an＋1＝ 2( Sn＋1－ Sn) ，所以 Sn ＝ 2，所以数列 { Sn} 是
3 以 S1＝ a1＝ 1 为首项， 为公比的等比数列，所以
2
Sn＝3n －1．故选 D． 2
7．数列 { an} 中， a1 ＝－ 60， an＋1＝ an＋3，则 | a1| ＋| a2| ＋…＋ | a30| ＝ (
)
A．－ 495 B ． 765 C ． 1080 D ．3105
答案 B
解析 由 a1＝－ 60， an＋1＝ an＋ 3 可得 an＝ 3n－ 63，则 a21＝ 0， | a1| ＋ | a2| ＋…＋ | a30| ＝
＝3 或 n＝4 时， b1＋ b2＋…＋ bn 的最大值为 12． 19．(2018 ·湖南长沙模拟 )( 本小题满分 12 分) 设 Sn 是数列 { an} 的前 n 项和，已知 a1＝ 1，
Sn＝2－ 2an＋1．
(1) 求数列 { an} 的通项公式；
(2)
设
bn＝ ( － 1)
nlog
1 an，求数列
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
)
17． (2 018·云南统测 )( 本小题满分 10 分 ) 设等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， a1＋ a2＋ a3 ＝26， S6＝ 728．
(1) 求数列 { an} 的通项公式；
(2)
求证：
[ ＝
q2－ 1 ＋ q2－ 1
1]
2
＝
(
q2 －1)
＋
1 2 ＋q2－
1≥２
q2－ 1
1 · q2－
1＋ 2 ＝ 4(
q2－ 1>0)
，当且仅当
q＝
2时取等号，∴ a6＋λ a7 的最小值为 4．故选 D．
第Ⅱ卷 ( 非选择题，共 90 分 )
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
3
n＋
2，∴
bn＝
n2
＋
1 3n＋
2＝
1 n＋ 2 n＋ 1
1
1
＝ n＋ 1－ n＋ 2，∴
111111
1
1 1 1 1010－ 1 1009
{ bn } 的前 2018 项和为 － ＋ － ＋ － ＋…＋
－ ＝－ ＝
＝．
233445
2019 2020 2 2020 2020 2020
16．(2018 ·河北邯郸第一次模拟 ) 已知数列 { an} ， { bn} 的前 n 项和分别为 Sn， Tn， bn－
＝2a4－ 1， S3＝2a3－ 1．
(1) 求 { an} 的通项公式；
(2) 记 bn＝ log
16 2Sn＋ 1，求 b1＋ b2＋…＋ bn 的最大值．
解 (1) 设 { an} 的公比为 q，由 S4－ S3＝ a4，得
a4 2a4－ 2a3＝a4，所以 ＝2，所以 q＝ 2．
a3
又因为 S3＝ 2a3－ 1，所以 a1＋2a1＋ 4a1＝ 8a1－1，
所以 a1＝1．所以 an＝ 2n－ 1．
(2)
由 (1)
知，
Sn＝
1－ 2n 1－ 2 ＝
2
n－
1，
所以 bn＝log
16 2Sn＋1＝ 2log
22
4－
n
＝
8－
2
n，
bn＋
1－
bn＝－
2，b1＝ 8－ 2＝6，所以数列
{ bn}
是首项为 6，公差为－ 2 的等差数列，所以 b2＝ 4， b3＝ 2， b4＝0，当 n>5 时 bn<0，所以当 n
)
A． 4 B ． 5 C ． 8 D ． 10 答案 A
4×３
8×７
解析 由 a10＝ S4 得 a1＋ 9d＝ 4a1＋ 2 d＝4a1＋ 6d，即 a1＝ d≠0．所以 S8＝ 8a1＋ 2 d
S8 36d 36d ＝8a1＋ 28d＝36d，所以 a9＝ a1＋ 8d＝ 9d ＝ 4．故选 A．
{ bn} 的前
n 项和
Tn．
2
解 (1) ∵ Sn＝ 2－2an＋ 1， a1＝ 1， ∴当 n＝ 1 时， S1＝2－ 2a2，得
S1
a1 1
a2＝ 1－ ＝ 1－ ＝ ；
中，有已知长方形面积求一
n (2) 将数列①的各项乘以 2，得到一个新数列 a1， a2， a3， a4 ，…， an．
则 a1a2＋ a2a3＋a3a4＋…＋ an－1an＝ (
)
n2
n－ 1 2
A． B ．
4
4
n n－ 1
n n＋ 1
C． 4 D ． 4
答案 C
nnn
1n
n2 1
解析 依题意可得新数列为 2，4，6，…， n×2，所以 a1a2＋a2a3＋…＋ an－1an＝ 4 1×２＋
1
1
1
解析 将 x1＝ 1 代入 xn＋1 ＝xn＋ 1－ 1，得 x2＝－ 2，再将 x2 代入 xn＋1＝ xn＋ 1－ 1，得 x3＝ 1，
1 所以数列 { xn} 的周期为 2，故 x ＝ 2018 x2＝－ 2．故选 B．
S8
5．已知公差不为零的等差数列 { an } 的前 n 项和为 Sn， a10＝ S4，则 a9＝ (
答案 D
a1＋ d＝ 2， 解析 由 S3＝ 6，知 a1＋ d＝ 2；由 a3＝ 0，知 a1＋ 2d＝0，联立
a1＋ 2d＝ 0，
解得 d＝
－2．故选 D．
2．在等差数列 { an} 中， a3＋ a9＝27－ a6， Sn 表示数列 { an } 的前 n 项和，则 S11＝ (
)
A． 18 B ． 99 C ． 198 D ． 297
答案 B
解析 由等差数列的性质得 2a6＝ 27－ a6，所以 a6＝9，又 S11＝ 11a6＝ 99．故选 B．
3．在等比数列
1 { an} 中， a1＝ 2，a4＝ 2，若
ak＝ 2－5，则
k＝(
)
A． 5 B ． 6 C ． 9 D ． 10 答案 D
解析 设该数列的公比为 q，则由等比数列的通项公式可得，
)
A．－ 2 B ．－ 4 C ． 2 D ． 4
答案 D
解析 ∵ { an} 是正项递增的等比数列，∴ a1>0， q>1，由 1＋ ( a2－a4) ＋ λ ( a3－a5) ＝ 0，
1
a6
q4
得 1＋ ( a2－ a4) ＋λ q( a2－a4) ＝ 0，∴ 1＋λ q＝ a4－ a2，∴ a6＋λ a7＝ a6(1 ＋ λ q) ＝ a4－a2＝ q2－ 1
q3＝
a4 1 ＝ ，∴
a1 4
q＝2－
2 ，
3
∴ak＝ a1qk－1＝2·
qk－1＝ 2－5，∴
qk－1＝ 2－6，∴
2
k－1 3
＝ 6，∴
k＝10．
1
4．在数列
{ xn} 中，若
x1＝
1，
x
n＋
1＝
x
n＋
－ 1
1，则
x ＝ 2018 (
)
1
1
A．－ 1 B ．－ 2 C ． 2 D ． 1
答案 B
an＝2n＋ 1，且 Sn＋ Tn＝ 2n＋1＋ n2－ 2，则 2Tn＝ ________．
答案 2n＋ 2＋ n( n＋ 1) －4
解析
由题意知
Tn－Sn＝ b1－ a1＋ b2－a2＋…＋
bn－
an＝
n＋
2
n＋
1
－
2，又
Sn
＋
Tn
＝
n＋
2
1
＋
n2
－2，所以 2Tn＝ Tn－ Sn＋ Sn＋Tn＝ 2n＋2＋n( n＋ 1) － 4．
1
1
n2 1 1 1
1 1 n2 n－ 1 n n－ 1
2×３＋…＋ n－ 1 n＝ 4 1－ 2＋ 2－ 3＋…＋ n－ 1－n＝ 4 · n ＝ 4 ．故选 C．
12．(2018 ·河南六市第一次联考 ) 若正项递增等比数列 { an} 满足 1＋ ( a2－ a4) ＋ λ ( a3－
a5) ＝0( λ ∈ R) ，则 a6＋ λa7 的最小值为 (
C． ( －3，＋∞ ) D ． [ －3，＋∞）
答案 解析
C ∵ { an} 是递增数列，∴ ? n∈ N*，an＋1>an，∴ ( n＋ 1) 2＋ λ( n＋ 1)> n2＋ λ n，化简得
λ>－ (2 n＋1) ，∴ λ>－ 3．故选 C．
9．等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 a7>0， a8<0，则下列结论正确的是 (
)
A． S7<S8 B ． S15<S16 C ． S13>0 D ． S15>0
答案 C
解析 因为公差非零的等差数列具有单调性 ( 递增数列或递减数列 ) ，由已知可知该等差
数列 { an} 是递减的，且
S7 最大，即
Sn≤ S7 对一切
n∈
*
N
恒成立．可见
A 错误；易知
a16<a15<0，
15
13
S4 13．设等比数列 { an} 的公比 q＝ 2，前 n 项和为 Sn，则 a2＝ ________．
15 答案 2
解析
1－ q4
S4 a1· 1－ q 1－ q4
1－ 24
15
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
＝
＝．
a2
a1q
q 1－ q 2× 1－2 2
14．若数列
{ an} 满足
1 an＋an＋1＝ (
n∈
N*
)
，且
a1＝1， Sn 是数列 { an} 的前
其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配 ( 古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表 示等差分配，在本题中表示等差分配 ) ．”在这个问题中， 若大夫得“一鹿、 三分鹿之二”， 则簪裹得 ( )
A．一鹿、三分鹿之一 B ．一鹿 C．三分鹿之二 D ．三分鹿之一
答案 B 解析 由题意可知， 五人按等差数列分五鹿， 设大夫得的鹿数为首项
(2)
证明：由
(1)
可得
2× Sn＝
1－ 3n ＝ 3n－ 1．
1－3
∴ Sn＋1＝ 3n＋1－ 1， Sn＋2＝ 3n＋2－ 1．
∴
S － 2 n＋1
SnSn＋
2＝
(3
n＋ 1－ 1)
2－ (3 n－ 1)(3
－ n＋2 1) ＝4×３n．
18．(2018 ·南昌一模 )( 本小题满分 12 分 ) 已知等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，满足 S4
2 a1，且 a1＝1＋ 3＝
5
5×４
1
5
1
3，公差为 d，则 5a1＋ 2 d＝ 5，解得 d＝－ 3，所以 a3＝ a1＋ 2d＝ 3＋2×－ 3＝ 1，所以簪裹
得一鹿，故选 B．
11．(2018 ·襄阳四校联考 ) 我国古代数学名著《九章算术》
边的算法，其方法的前两步为：
111
1
(1) 构造数列 1， 2， 3， 4，…， n；①