(完整版)数列单元测试卷含答案
数列单元测试卷
数列单元测试卷1.已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .2.设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .3. 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝________；设a ＝a 11－q (q ≠1)，则S n ＝________.4. 在等比数列{}a n 中，若S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为________．5. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.6.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n .7. 已知等比数列{a n }的公比q ＝2，a n ＝96，前n 项和S n ＝189，则这个数列共有________项，首项a 1＝________. 8. 已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为________．9.等差数列}{n a 中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_______________________.10. 设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，则数列{}a n 的通项公式为________．11 . 已知等比数列{a n }，a 2＞a 3＝1，则使不等式(a 1－1a 1)＋(a 2－1a 2)＋…＋(a n －1a n)≥0成立的最大自然数n 为________．12. 如果lg x ＋lg x 2＋…＋lg x 10＝110，那么lg x ＋lg 2x ＋…＋lg 10x ＝________. 13.若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 .14.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,则a = . 15. 已知nS 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=nS ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S ．16.{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝b 1 ＝1, a 2+a 4 ＝b 3，b 2b 4＝a 3.分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.17.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．18.在等比数列{}n a 中，,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围．19. 在等比数列{a n }中，S n 为前n 项和，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n 和公比q 的值．20.已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否为等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由．21.（本小题满分16分）已知数列{a n }满足2122111()2222n n n na a a n N ++++⋅⋅⋅+=∈. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求数列{a n }的前n 项和S n .22．设数列{a n }是公差大于零的等差数列，已知a 1＝2，a 3＝a 22－10.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{b n }是以函数y ＝4sin 2πx 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n －b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷参考答案： 1．3n 23-⨯； 2．2-；3. ⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q q ≠1，na 1q ＝1.a －aq n4. 16 [提示] 由a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q 41－q ＝1，a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q 81－q ＝3，得1＋q 4＝3，q 4＝2，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16＋a 2q 16＋a 3q 16＋a 4q 16＝q 16＝24＝16.5. 323⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n [提示] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.所以{a n a n ＋1}是首项为a 1a 2＝8，公比为q 2＝14的等比数列．6. 6[提示]3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ， 当3,11==q a 时，636431)31(1=⇒=--=n S n n ； 当3,11-=-=q a 时，[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解． 7. 6 3 [提示] 由189＝S n ＝a 1(2n－1)，96＝a 1·2n －1，得a 1＝3，n ＝6.8. S 3 9．4 10.－1n·2n －15或2n －115 [提示] 设公比为q ，易知q ≠1.由S 4＝1，S 8＝17，得a 11－q 41－q ＝1，a 11－q 81－q＝17，相除，得q 4＋1＝17，q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝115，a n ＝2n －115；当q ＝－2时，a 1＝－15，a n ＝－1n·2n －15. 11. n ＝5 [提示] 由a 1＋a 2＋…＋a n ≥1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，得a 11－q n 1－q ≥1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q.又由a 2＞a 3＝1，得0＜q ＜1且a 1＝1q2.代入可得q5－n≤1.又 0＜q ＜1， ∴ n ≤5.12. 2046 [提示] 由题意，得lg x ＋lg 2x ＋…＋lg 10x ＝2×1－2101－2＝211－2＝2046.13．12n - 14．－415. 由0>n a ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ，∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n ∴81821122=⇒=--=nn n n n q q q S S ， ∴1>q .又 前n 项中的数值最大的项为5411==-n n q a a ，∴321=q a . ∴ .133,21001001-=⇒==S q a16.∵ {a n }为等差数列，{b n }为等比数列， ∴ a 2＋a 4＝2a 3,b 3b 4＝b 32. 而已知a 2＋a 4＝b 3,b 3b 4＝a 3, ∴ b 3＝2a 3,a 3＝b 32. ∵ b 3≠0, ∴ b 3＝12,a 3＝14.由 a 1＝1,a 3＝ 14 知{a n }的公差d ＝－38.∴ S 10＝10a 1＋10×92d ＝－558.由b 1＝1,b 3＝ 12 知{b n }的公比为q ＝22或q ＝－22. 当q ＝22时，T 10＝b 1(1－q 10)1－q ＝3132(2＋2);当q ＝－22时，T 10＝b 1(1－q 10)1－q ＝3132(2－2)17. 显然q ≠1，由S 3＋S 6＝2S 9，得a 11－q (1－q 3)＋a 11－q (1－q 6)＝2a 11－q (1－q 9)， ∴ 1＋1＋q 3＝2(1＋q 3＋q 6)，2q 6＋q 3＝0. ∴ q 3＝－12.∴ a 2＋a 5＝a 2＋a 2q 3＝a 2(1＋q 3)＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12a 2.a 8＝a 2q 6＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝14a 2.∴ a 2＋a 5＝2a 8.∴ a 2，a 8，a 5成等差数列．18. 22213222236,(1)60,0,6,110,3,a a a a q a a q q ==+=>=+==±当3q =时，12(13)2,400,3401,6,13nn n a S n n N -==>>≥∈-；当3q =-时，12[1(3)]2,400,(3)801,8,1(3)nn na S n n ---=-=>->≥--为偶数；∴为偶数且n n ,8≥.19. 在等比数列{a n }中，a 1·a n ＝a 2·a n －1＝128.又a 1＋a n ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2.若a 1＝2，a n ＝64，S n ＝126，则qn －1＝32,1－q n＝63(1－q )．将q n＝32q 代入1－q n＝63(1－q )，得q ＝2，n ＝6. 若a 1＝64，a n ＝2，S n ＝126，则qn －1＝132，32(1－q n)＝63(1－q )． 将q n ＝q 32代入32(1－q n)＝63(1－q )，得q ＝12，n ＝6.20. (1)由5S 2＝4S 4，得 5a 11－q 21－q ＝4a 11－q 41－q，∴ 5(1－q 2)＝4(1－q 4)． ∴ q 2＝14.又 q ＞0， ∴ q ＝12.(2)S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.若{b n }成等比数列，则12＋2a 1＝0，∴ a 1＝－14.此时b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12. ∴ {b n }成等比数列．故存在实数a 1＝－14，使{b n }成等比数列．21.解：（1）n=1时，2111122a +=，得12a =；………………………2分n ≥2时，21221112222n n n na a a +++⋅⋅⋅+=，①2212121111(1)(1)22222n n n n n na a a ---+--++⋅⋅⋅+==，② ①－②得12nn a n =，2nn a n =⋅, 故2,12,2n nn a n n =⎧=⎨⋅≥⎩，即2n n a n =⋅（n N *∈）………………………8分 （2）1212222nn S n =⨯+⨯++⋅ ③23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④③－④得1231121212122nn n S n +-=⨯+⨯+⨯++⋅-⋅ ……………12分112(12)2(1)2212n n n n n ++-=-⋅=-⋅--……………14分故1(1)22n n S n +=-⋅+……………16分22．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－10，解得d ＝2或d ＝－4(舍)， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . (2)因为y ＝4sin 2πx ＝4×1－cos 2πx 2＝－2cos 2πx ＋2，其最小正周期为2π2π＝1，故首项为1，因为公比为3，从而b n ＝3n －1，所以a n －b n ＝2n －3n －1，故S n ＝(2－30)＋(4－31)＋…＋(2n －3n －1)＝(2＋2n )n 2－1－3n 1－3＝n 2＋n ＋12－3n 2.。
(15)“ 数列”单元测试题
北大附中广州实验学校2008—2009高三第一轮复习“数列”单元测试题一、选择题：（每小题5分，计50分）1． n 285(A)4 (B)5 (C)6 (D)72．(2008福建理)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若11=a ,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为（ ）A.63B.64C.127D.1283.（2007辽宁文、理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．274、(2008海南、宁夏文、理)设等比数列{}n a 的公比2q =， 前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2B. 4C. 152D. 1725.（1994全国文、理）某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-( )A.511个B.512个C.1023个D.1024个6.(2001天津、江西、山西文、理）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（ ） （A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列 （D ）既非等比数列又非等差数列7.（2003全国文、天津文、广东、辽宁）等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50（D ）518.（2006北京文）如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-99.(2004春招安徽文、理)已知数列}{n a 满足01a =，011n n a a a a -=+++ （1n ≥），则当1n ≥时，n a ＝（ ） （A ）2n （B ）(1)2n n + （C ）12-n （D ）12-n10．（2006江西文）在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ） Ａ．2-Ｂ．0Ｃ．1Ｄ．211．（2007北京文)若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为 ．12.（2006重庆理）在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________.13．（2007江西理）已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p +a q =a p+q ，若a 1=91，则a 36＝ ．14．（2004春招上海）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有_____ _________________个点.三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）15．（2008浙江文）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（,,n N p q *∈为常数），且145,,x x x 成等差数列，求： （Ⅰ）,p q 的值； （Ⅱ）数列{}n x 的前n 项的和n S 的公式。
《数列》单元测试题(含答案解析)
《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）（A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）2174．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （ ）（A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ）236．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+（C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）（A ）210（B ）220（C ）216（D ）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是．12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则}{n a 的前4项和=4S ． 13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km 高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么3km 高度的气温是℃． 14．设21=a ，121+=+n n a a ，21n n n a b a +=-，∈n N *，则数列}{n b 的通项公式=n b ． 15．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -，812S S -，1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1216T T 成等比数列． 三、解答题16．已知}{n a 是一个等差数列，且12=a ，55-=a ．（Ⅰ）求}{n a 的通项n a ；（Ⅱ）求}{n a 的前n 项和n S 的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（Ⅰ）求}{n a 的公比q ； （Ⅱ）若331=-a a ，求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m ．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ，∈n N *． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项；（Ⅱ）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，241+=+n n a S ．（Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数列测试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．－22．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( )A ．±4B ．4C ．－4D ．163．数列{a n }中，对所有的正整数n 都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2519D.31154．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝( )A ．8B ．－8C ．±8D.985．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．756．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．97．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )8．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4 C．2D ．49．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值围是( ) A ．d >83 B ．d <3C.83≤d <3D.83<d ≤3 10.等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为 q ，则下列条件中，使{}n a 一定为递减数列的条件是（ ） A ．1q < B 、10,1a q >< C 、10,01a q ><<或10,1a q <> D 、1q >11. 已知等差数列{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为130，所有偶数项之和为120，则n 等于（ ）Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．12 12．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f + (n ∈N ＋)，且f (1)＝2，则f (20)为( ) A ．95B ．97C ．105D ．192二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，a 3＝6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 14.已知数列{a n } 中,a 1=1且31111+=+n n a a (n ∈ N +),则a 10= 15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且满足)2)(1(31≥-=+-n n a a n n ，则数列{a n }的通项公式为=n a 16．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2，(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值围为三、解答题(本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N +). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前20项和为S 20.18．(12分)已知数列}{n a 前n 项和n n S n 272-=，(1)求|}{|n a 的前11项和11T ；(2) 求|}{|n a 的前22项和22T ；19．(12分)已知数列}{n a 各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =2n a + n －4(n ∈N +). (1)求证:数列}{n a 为等差数列;(2)求数列}{n a 的前n 项和S n .20．(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥. （1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．21．(12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2,2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1(b n ≠0)． (1)求证数列{1b n}是等差数列；(2)令11+=n n a c ，求数列{n c }的通项公式．22．（12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .《数列》单元测试题 参考答案 一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 二、填空题11．1613 12．21513．－4.5 14．12+n 15．48T T ，812T T 三、解答题16．（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ．（Ⅱ）4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ．∴当2=n 时，n S 取得最大值4．17．（Ⅰ）依题意，有3212S S S =+，∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++，由于01≠a ，故022=+q q ，又0≠q ，从而21-=q ． （Ⅱ）由已知，得3)21(211=--a a ，故41=a ，从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=．18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ， 整理，得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍去）． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． （Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ， 整理，得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍去）． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．19．（Ⅰ）∵333313221na a a a n n =++++- ，① ∴当2≥n 时，31333123221-=++++--n a a a a n n ． ② 由①－②，得3131=-n n a ，n n a 31=．在①中，令1=n ，得311=a ．∴n n a 31=，∈n N *． （Ⅱ）∵nn a n b =，∴n n n b 3⋅=，∴nn n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ，③ ∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④即31)31(3321---⋅=+n n n n S ，∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．（Ⅰ）由11=a ，241+=+n n a S ，有24121+=+a a a ，∴52312=+=a a ，∴32121=-=a a b ．∵241+=+n n a S ，①∴241+=-n n a S （2≥n ）， ②由①－②，得1144-+-=n n n a a a ，∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∵n n n a a b 21-=+，∴12-=n n b b ，∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，∴432211=-++n n n n a a ， ∴数列}2{nn a 是首项为21，公差为43的等差数列， ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a nn ，∴22)13(-⋅-=n n n a ． 21．（Ⅰ）由已知，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=，∴数列{}n a 是以12a =为首项，1为公差的等差数列，∴1n a n =+．（Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．∴21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．数列试题答案1---12：BBAB AAD C DCDB13---16：－11，41，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)(223)(213为偶数为奇数n n n n a n ，λ<2 17．解：(1)∵数列{a n }满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴数列{a n }为等差数列，设公差为d .∴a 4＝a 1＋3d ，d 2－8＝－2.∴a ＝a ＋(n －1)d ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2) S =)9(n n -得S = －22018.解：n n S n 272-=282-=∴n a n ∴当14<n 时，0<n a 14≥n 时0≥n a(1)||||||112111a a a T +++= 176)(11111=-=++-=S a a (2)|)||(|)||||(|2214132122a a a a a T ++++++=2215141321)(a a a a a a +++++++-= 132213S S S -+-=25421322=-=S S19.(1)证明:当n=1时,有2a 1=+1-4,即-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n =+n-4,两式相减得2a n =-+1,即-2a n +1=,也即(a n -1)2=,因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,则a n +a n-1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)解:由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n-1)×1=n+2,即a n =n+2.得252nn S n +=21.(1)证明：∵b n ＝a n －1，∴a n ＝b n ＋1.又∵2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴2(b n ＋1)＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1)．化简得：b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.∵b n ≠0，∴b n b n b n ＋1－b n ＋1b n b n ＋1＝1.即1b n ＋1－1b n＝1(n ∈N ＋)． 又1b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，∴{1b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)∴1b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴b n ＝1n .∴a n ＝1n ＋1＝n ＋1n.∴1211+=+=n na c n n。
(完整版)数列单元测试卷含答案
数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1， 因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=， 解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项． 答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12， 所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1） 两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为 ，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ， 即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
数列测试题及答案
数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。
答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。
答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。
答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。
答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。
答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。
答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。
数列》单元测试题(附答案解析).doc
《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列{ a n}的通项公式a n n23n 4 （ n N*），则a4等于（）（A）1（B）2（C）3（D）02．一个等差数列的第 5 项等于 10，前 3 项的和等于 3，那么（）（ A）它的首项是 2 ，公差是 3 （ B）它的首项是 2 ，公差是 3 （ C）它的首项是 3 ，公差是 2 （ D）它的首项是 3 ，公差是 2S4（）3．设等比数列{ a n}的公比q 2，前n项和为S n，则a2（A）2 （B）4 （C）15（D）17 2 24．设数列a n是等差数列，且a2 6 ， a8 6 ， S n是数列 a n 的前 n 项和，则（）（A）S4 S5 （B）S4 S5（C）S6 S5 （D）S6 S5a n 3N*），则a20 （）5．已知数列{ a n}满足a10，a n 1 （ n3a n 1（A）0 （B）3 （C） 3 （ D） 326．等差数列a n的前 m 项和为30，前2m项和为100，则它的前3m 项和为（）（ A） 130 （ B）170 （ C） 210 （ D） 2607．已知a1，a2，，a8为各项都大于零的等比数列，公比q 1 ，则（）（ A）a1 a8 a4 a5 （ B）a1 a8 a4 a5（ C）a1 a8 a4 a5 （ D）a1 a8和 a4 a5的大小关系不能由已知条件确定8．若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（ A）13 项（B）12 项（C） 11 项（D）10 项9．设{ a n}是由正数组成的等比数列，公比q 2 ，且 a1 a2 a3a30 230，那么a3 a6 a9 a30等于（）（ A） 210 （ B） 220 （ C） 216 （ D）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图 1 中的 1，3，6， 10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的 1，4，9， 16，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）（ A） 289 （ B） 1024 （C） 1225 （ D）1378 二、填空题11．已知等差数列{ a n}的公差d 0 ，且a1，a3，a9成等比数列，则a1 a3 a9的值是．a2 a4 a1012．等比数列{ a n}的公比q 0 ．已知 a2 1， a n 2 a n 1 6a n，则 { a n } 的前4项和 S4 ．13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km 高度的气温是℃，5km 高度的气温是－℃，那么3km 高度的气温是℃．14．设a1 2 ， a n 1 2 ， b n a n 2， n N*，则数列{ b n}的通项公式b n ．a n 1 a n 115．设等差数列{ a n}的前n项和为S n，则S4 ， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{ b n} 的前 n 项积为 T n，则 T4，，， T16 成等比数列．T12三、解答题16．已知{ a n}是一个等差数列，且a2 1 ， a5 5 ．（Ⅰ）求 { a n } 的通项 a n；（Ⅱ）求 { a n } 的前 n 项和 S n的最大值．17．等比数列{ a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．（Ⅰ）求 { a n } 的公比q；（Ⅱ）若 a1a3 3 ，求 S n．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1 分钟走 2m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1m，乙每分钟走5m．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走1m ，乙继续每分钟走 5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇19．设数列{ a n}满足a13a232a3 3n 1 a n n， n N*．3（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项；（Ⅱ）设 b nn，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n．a n20．设数列{ a n } 的前n 项和为S n，已知a1 1 ， S n 1 4a n 2 ．（Ⅰ）设b n a n 1 2a n，证明数列{ b n } 是等比数列；（Ⅱ）求数列{ a n} 的通项公式．21．已知数列a n中，a1 2，a2 3，其前 n 项和S n满足Sn 1Sn 12Sn 1 n 2，n N* ）．（（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 b n 4 n ( 1) n 1 2a n（为非零整数， n N *），试确定的值，使得对任意n N * ，都有 b n 1 b n成立．数列测试题一、选择题 (每小题 5 分，共 60 分)1．等差数列 {a n}中，若 a2＋ a8＝ 16， a4＝ 6，则公差 d 的值是 ( )A．1 B． 2 C．－ 1 D．－ 22．在等比数列 {a n}中，已知a3＝ 2， a15＝ 8，则 a9等于 ( )A．± 4 B．4 C．－ 4 D． 163．数列 {a n }中，对所有的正整数 n 都有 a1·a2·a3 a n＝ n2，则 a3＋a 5＝ ( )4．已知－ 9，a ，a ，－ 1 四个实数成等差数列，－9，b ，b ，b ，－ 1 五个实数成等比数列，则 b (a1 2 1 2 3 2 2－ a1)＝ ()A．8 B．－ 8 C．± 85．等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 a2＋ a7＋ a12＝ 30，则 S13 的值是 ( )A．130 B．65 C． 70 D． 756．设等差数列 {a }的前 n 项和为 S .若 a ＝－ 11， a ＋ a ＝－ 6，则当 S 取最小值时， n 等于 ( ) n n 1 46 nA．6 B．7 C． 8 D． 97．已知 {a n }为等差数列，其公差为－2，且 a7是 a3与 a9的等比中项， S n为 {a n}的前 n 项和， n∈ N＋，则 S10的值为 ( )A．－ 110 B．－ 90 C． 90 D．1108．等比数列 {a }是递减数列，前 n 项的积为 T ，若 T ＝ 4T ，则 a a 15 ＝()nn139 8A ．± 2B ．± 4C ．2D ． 489．首项为－ 24 的等差数列， 从第 10 项开始为正数， 则公差 d 的取值范围是 ( ) A ．d>3B ．d<38 C.3≤d<3 <d ≤310.等比数列 a n 中，首项为 a 1 ，公比为 q ，则下列条件中，使 a n 一定为递减数列的条件是（）．q 1、 a 1 0, q 1、 a 1 0,0q 1 或 a 10, q 1、 q1A BCD11. 已知等差数列 a n 共有 2n 1 项，所有奇数项之和为 130，所有偶数项之和为 120 ，则 n 等于（ ）Ａ． 9Ｂ． 10Ｃ． 11Ｄ． 1212．设函数 f(x)满足 f(n ＋ 1)＝ 2 f (n) n (n ∈ N ＋ )，且 f(1)＝ 2，则 f(20)为 ()2A ． 95B ． 97C ． 105D ． 192二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 )13．已知等差数列 {a n }满足： a 1＝ 2，a 3＝ 6.若将 a 1，a 4，a 5 都加上同一个数，所得的三个数依次成等 比数列，则所加的这个数为________．14.已知数列 {a } 中 ,a =1 且1 1 (n ∈ N ),则 a =n11+ 10a n1a n315．在数列 {a n }中，a 1＝1，a 2＝2 ，且满足 a n a n13( n 1)( n 2) ，则数列 {a n }的通项公式为 a na n ， (n ∈N*116．已知数列满足： 1＝ 1， a n ＋ 1n ＋1＝(n － λ)＋ 1 ， b 1na＝a n ＋ 2 )，若 ba n＝－ λ，且数列 {b }是单调递增数列，则实数 λ的取值范围为三、解答题 (本大题共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．（ 10 分）在数列 {a n }中， a 1＝8， a 4＝2，且满足 a n ＋2－ 2a n ＋ 1＋ a n ＝0(n ∈ N +). (1) 求数列 {a }的通项公式； (2)求数列 {a }的前 20 项和为 Snn 20.18． (12 分)已知数列{ a n}前n 项和 S n n 2 27n ，(1)求{| a n|}的前11项和T11；(2) 求{| a n|}的前 22 项和T22 ；2 (n∈N ).19． (12 分)已知数列 { a n } 各项均为正数 ,前 n 项和为 S ,且满足 2S = a n + n－4n n +(1)求证 :数列{ a n}为等差数列 ;(2)求数列{ a n}的前 n 项和 S n.20． (12 分 )数列a 的前 n 项和记为 S ，a11,a n 12S n 1 n 1.n n（ 1）求a n的通项公式；（ 2）等差数列b n的各项为正，其前n 项和为 T n，且 T315 ，又a1b1 , a2b2 , a3b3成等比数列，求 T n．nn1nn n ＋ 1nn－ 1(b n≠ 0)．21． (12 分)已知数列 {a }，{b }满足 a ＝ 2, 2a ＝ 1＋ a a ， b ＝ a 1(1) 求证数列 { }是等差数列；b n(2) 令 c n1 ，求数列 { c n }的通项公式．a n122．（ 12 分）在等差数列 { a n } 中，已知公差d2 ， a 2 是 a 1 与 a 4 的等比中项 .(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b na n( n 1) ，记Tnb 1 b 2 b 3 b 4( 1)n b n ，求 T n .2《数列》单元测试题 参考答案一、选择题1．D2．A3．C 4．B 5．B 6．C 7．A8．A 9． B 10．C二、填空题11． 1312． 1513．－14． 2n 115．T 8 ，T12162T 4T 8三、解答题16（． Ⅰ）设 { a n } 的公差为 d ，则a 1 d 1 ,a 13 ,∴ a n3 (n1)(2)2n 5 ．a 14d解得2 .5 .d（Ⅱ）S n3n n( n 1) ( 2) n 24n( n2) 2 4 ．∴当 n 2 时， S n 取得最大值 4．217．（Ⅰ）依题意，有 S 1S 22S 3 ，∴ a 1 (a 1 a 1q) 2( a 1 a 1q a 1q 2 ) ，由于 a 10 ，故 2q 2q 0 ，又 q 0 ，从而 q1 ． 214 [1 ( 1) n ] 81（Ⅱ）由已知，得 a 1a 1 ( ) 23 ，故 a 14 ，从而 S n2n ] ．21[1 ()1(32)218．（Ⅰ）设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有 2nn(n1)5n 70 ，2整理，得 n 213n 140 0 ，解得 n 7 ， n20 （舍去）．第 1 次相遇是在开始运动后7 分钟．（Ⅱ）设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有2nn( n 1) 5n3 70 ，2整理，得 n 213 n 420 0 ，解得 n 15 ， n28 （舍去）．第 2 次相遇是在开始运动后15 分钟．19．（ Ⅰ）∵ a 1 3a 2 32 a 33n 1 a n n ，①3∴当 n 2时， a 13a 2 32 a 33n 2 a n 1 n 1 ．②3由① －② ，得3 n 1 1 ，a n1，得 a 11 a nn ．在① 中，令 n 1．∴ a n333（ Ⅱ ）∵ b nn，∴ b n n 3n ，∴ S n32323 33n 3n ，a n∴ 3S n32 2 333 34n 3n 1 ． ④由④ －③ ，得 2Sn 3n 1(3 32333n ) ，n13n ，nN * ．③即 2S n n 3n 13(1 3n ) ，∴ S n(2n 1)3n 13 ．1 34 420．（ Ⅰ）由 a 1 1 ， S n 14a n 2 ，有 a 1 a 24a 12 ，∴ a 2 3a 1 2 5 ，∴ b 1a 2 2a 1 3 ．∵ S n 1 4a n2 ，①∴ S n4a n 12 （ n 2），②由 ① －② ，得 a n 1 4a n4a n 1 ，∴ a n 1 2a n 2(a n 2a n 1 ) ，∵ b na n 1 2a n ，∴b n2b n 1 ，∴数列 { b n } 是首项为 3 ，公比为 2 的等比数列．（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ），得 b na n2a n32 n 1a n 1 a n3 ，1，∴2n42n1a n } 是首项为 1 ，公差为 3的等差数列，∴数列 {242n∴a n1 (n1)3 31，∴ a n (3n1) 2 n 2 ．2n2 4n4 421．（Ⅰ）由已知，得S n1S nS n S n 1 1（ n 2 ， n N * ），即 a n 1 a n 1 （ n2 ， n N * ），且 a 2 a 1 1 ，∴数列 a n 是以 a 1 2 为首项， 1为公差的等差数列，∴a n n 1．（Ⅱ） ∵a nn1， ∴ b4n ( 1)n 12n 1 ，要使 bn 1b n 恒成立，n∴ b nb n 4n 1 4n1 n2n 2n 12n 10 恒成立，11∴ 3 4n3n 10 恒成立，∴1 n 12n 1 恒成立．12n 1（ⅰ）当 n 为奇数时，即2 n 1恒成立，当且仅当nn1有最小值为 ， ∴1 ．1时， 2 1（ⅱ）当 n 为偶数时，即2n 1 恒成立，当且仅当 n 2 时， 2n 1有最大值 2 ， ∴2 ．∴21，又 为非零整数，则1 ．综上所述，存在1 ，使得对任意 n N * ，都有b n 1 b n ．数列试题答案1--- 12： BBABAAD C DCDB3n 1 为奇数 )a n2 (n113---16 ：－ 11，，3n 2， λ<24为偶数2 (n)17．解： (1)∵数列 {a }满足 a－ 2a ＋a ＝ 0，∴ 数列 {a }为等差数列，设公差为 d.∴ a ＝a ＋ 3d ，nn ＋ 2n ＋ 1nn412－8＝－ 2.∴ a n1n 20d ＝ 3＝ a ＋ (n － 1)d ＝ 8－ 2(n － 1)＝10－ 2n.(2) S = n(9 n) 得 S = － 22018.解： S nn 2 27 na n 2n 28 ∴当 n 14 时， a nn 14 时 a n 0(1) T 11 | a 1 | | a 2 | | a 11 |(a 1a 11 ) S 11 176(2) T 22(| a 1 | | a 2 | | a 13 |) ( a 14 || a 22 |)( a 1a 2a 13)a14 a15a22S13S22S 13S222S 1325419.(1) 证明 :当 n=1 时 ,有 2a =+1-4,即 -2a-3=0,解得 a =3( a =-1 舍去 ).[来源 :学11 1 1当 n ≥2时 ,有 2S n-1= +n-5,又 2S n = +n-4,两式相减得 2a n = - +1,即 -2a n +1=,也即 (a n -1)2 =,因此 a n -1=a n-1 或 a n -1=-a n-1 .若 a n -1=-a n-1,则 a n +a n-1=1.而 a 1 =3,所以 a 2 =-2,这与数列 {a n }的各项均为正数相矛盾 ,所以 a n -1=a n-1,即 a n -a n-1=1,因此数列 {a n }为等差数列 .(2) 解:由(1)知 a 1=3,d=1,所以数列 {a n }的通项公式 a n =3+(n-1)× 1=n+2,即a n=n+2.n 25n 得 S n221.(1) 证明： ∵ b ＝ a －1，∴ a ＝ b ＋ 1.又 ∵2a ＝ 1＋a a， ∴ 2(b ＋ 1)＝ 1＋ (b ＋ 1)(b＋ 1)．化简nnnnnn n ＋ 1 nnn ＋ 1得： b＋ ＋ b n － b n ＋ 1 ＝1.即 1 － 1＝ 1(n ∈N ＋ )．n － b n1＝ b n b n1.∵ b n ≠0， ∴ n n ＋1n n ＋1n ＋ 1b nb bb bb又 1＝1 ＝1＝1， ∴{ 1 }是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．b 11b na － 1 2－1(2) ∴ 1 ＝ 1＋ (n － 1) 1 1 ＋ 1＝ n ＋ 1 .∴ c n1 n ×1＝n.∴ b n ＝.∴ a n ＝ n a n 1 2n 1b n n n。
数列单元测试题及答案解析
数列单元测试题及答案解析一、选择题1. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 292. 等比数列的首项为a1=2，公比为r=3，求第5项的值。
A. 162B. 243B. 324D. 4863. 一个数列的前5项为1, 3, 6, 10, 15，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断二、填空题4. 等差数列的前n项和公式为：S_n = _______。
5. 等比数列的前n项和公式为：S_n = _______。
三、解答题6. 已知等差数列的前10项和为S10=185，求公差d。
7. 已知等比数列的前3项和为S3=28，首项a1=2，求公比r。
四、证明题8. 证明：等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
答案解析：一、选择题1. 答案：A。
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入n=10，得a10 = 3 + 9*2 = 21。
2. 答案：B。
解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，代入n=5，得a5 = 2 * 3^4 = 243。
3. 答案：C。
解析：数列1, 3, 6, 10, 15不是等差也不是等比数列，因为相邻两项的差和比值都不是常数。
二、填空题4. 答案：S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
解析：等差数列前n项和的公式。
5. 答案：S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当r≠1时。
解析：等比数列前n项和的公式。
三、解答题6. 解：根据等差数列前n项和的公式，S10 = 10/2 * (2*3 + 9d) = 185，解得d = 3。
7. 解：根据等比数列前n项和的公式，S3 = a1 * (1 - r^3) / (1 - r) = 28，代入a1=2，解得r = 3。
四、证明题8. 证明：设等差数列中任意两项为an和am，它们的等差中项为a，即a = (an + am) / 2。
高二数列单元测试题及答案
高二数列单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知数列{an}是等差数列，且a3=5，a5=9，则a7的值为：A. 13B. 11B. 9D. 72. 等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，求该数列的第5项b5：A. 486B. 243C. 81D. 1623. 已知数列{cn}的前n项和S(n)=n^2，求第5项c5：A. 14B. 15C. 16D. 174. 若数列{dn}满足d1=1，且对于任意的n≥2，有dn=2dn-1+1，该数列为：A. 等差数列B. 等比数列C. 非等差也非等比数列D. 几何数列5. 对于数列{en}，若e1=2，且en+1=en+n，求e5的值：A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知数列{fn}是等差数列，且f1=3，f3=9，求公差d。
__________7. 已知数列{gn}是等比数列，且g1=8，g3=64，求公比q。
__________8. 若数列{hn}的前n项和S(n)=n^2+n，求第3项h3。
__________9. 已知数列{in}满足i1=1，且对于任意的n≥2，有in=in-1+n，求i3的值。
__________10. 若数列{jn}的前n项和S(n)=n^3，求第2项j2。
__________三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知数列{kn}是等差数列，首项k1=1，公差d=2，求数列的前10项和S(10)。
12. 已知数列{ln}是等比数列，首项l1=1，公比q=4，求数列的前5项和S(5)。
13. 已知数列{mn}的前n项和S(n)=2n^2-n，求数列的第n项mn。
四、综合题（每题25分，共25分）14. 某工厂生产的产品数量按照等差数列增长，若第1年生产100件，每年增长50件。
求第5年的产量，并求前5年的总产量。
答案：一、选择题1. A2. C3. B4. A5. B二、填空题6. d=27. q=48. h3=109. i3=510. j2=9三、解答题11. S(10)=10×1+(10×9)/2×2=11012. S(5)=1+4+16+64+256=34113. mn=2n^2-n-1四、综合题14. 第5年产量为100+4×50=250件，前5年总产量为100+150+200+250+300=1000件。
(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝ （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 （3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =， 即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+） 上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ， 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。
数列测试卷(含答案)
第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项，则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2，则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列，则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中，若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列，则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列，则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列，则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列，则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上赖种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%，按复利计算,若本金为30 000元，设存入工期后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题，共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和，且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 11B. 14C. 17D. 20答案：B2. 下列数列中，不是等比数列的是：A. 1, 2, 4, 8, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...D. 3, 6, 12, 24, ...答案：D3. 数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，该数列的前n项和Sn为：A. n^2B. n^2 - 1C. 2^(n+1) - 1D. 2^(n+1) - 2答案：C4. 等差数列{an}中，若a2+a4=10，则a3的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+n，则c1+c2+c3+...+c10的值为：A. 100B. 110C. 120D. 130答案：B6. 数列{dn}的前n项和为Sn，若Sn=n^2-n，则dn的通项公式为：A. 2n-1B. 2nC. n-1D. n答案：C7. 数列{en}中，e1=1，e2=2，且对于任意的n∈N*，有en+1/en=n+1，则e3的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A8. 数列{fn}是等比数列，且f1=1，f3=8，则f2的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B9. 数列{gn}中，g1=1，g2=3，且对于任意的n∈N*，有gn+1=2gn+1，则g3的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A10. 数列{hn}的前n项和为Tn，若Tn=2^n-1，则hn的通项公式为：A. 2^(n-1)B. 2^nC. 2^(n-1) - 1D. 2^n - 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则a10=________。
答案：1512. 数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+2n，则bn的通项公式为bn=________。
高考数学 数列单元测试卷及答案 试题
(文)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，…，Pn(an，bn)(n∈N*)都在函数y＝log x的图象上．
(1)假设数列{bn}是等差数列，求证数列{an}是等比数列；
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分)
17．(本小题满分是10分)数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2|an|，Tn为数列{ }的前n项和，求Tn.
解：(1)当q＝1时，S3＝12，S2＝8，S4＝16，不成等差数列．
∴n0＝2021或者(huòzhě)2021.
(文)(1)∵an＋1－2an＝0，
∴a3＝2a2，a4＝2a3，又a3＋2是a2、a4的等差中项，
∴a1＝2，a2＝4，
∴数列(shùliè){an}是以2为首项，2为公比的等比数列(děnɡ bǐ shù liè)，那么
an＝2n.
(2)∵Sn＝2n＋1－2，又bn＝log2(Sn＋2)，∴bn＝n＋1.
12．数列{an}满足an＋1＝ ＋ ，且a1＝ ，那么该数列的前2021项的和等于()
A. B．3015
C．1005D．2021
答案：A
解析：因为a1＝ ，又an＋1＝ ＋ ，所以a2＝1，
从而(cóng ér)a3＝ ，a4＝1，
即得an＝ ，故数列(shùliè)的前2021项的和等于S2021＝1005(1＋ )＝ .应选(yīnɡ xuǎn)A.
3．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，那么 等于()
数列的概念单元测试题含答案 百度文库
一、数列的概念选择题1．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ）A ．30B ．20C ．40D ．502．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．37323．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192C ．1119892D ．11201925．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+D ．3n a n =6．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n7．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．1252438．数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．13D ．13-9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-11．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212D ．17212．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+13．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．1214．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156015．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．4516．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．317．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a18．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．619．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=二、多选题21．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6522．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．323．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦24．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 25．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列26．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为827．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1228．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅< B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅29．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项31．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列32．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2133．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ）A ．a 6＞0B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.2．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=， ()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．C解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.5．B解析：B 【分析】根据11,1,2n nS n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a =当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B 【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.6．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.7．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为111n n a a +=-，12a =，所以21111112a a ===---， 故选：B. 【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N*-∈∈，则()22121212141=045n n n n a a a a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.10．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.11．C解析：C 【分析】由累加法求出233n a n n =+-，所以331n a n n n，设33()1f n n n=+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到na n的最小值. 【详解】解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-所以331n a n nn设33()1f n n n=+-，由对勾函数的性质可知， ()f n 在(上单调递减，在)+∞上单调递减，又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662a a ===， 所以n a n的最小值为62162a =.故选：C. 【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.12．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--． 故选C ． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．13．B解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.14．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.15．B解析：B根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =， 故选B ． 【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．16．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B17．A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A18．A【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.二、多选题 21．ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.22．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，，； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．23．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1515()n -=++， 令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．24．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.25．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n nn aa----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.26．BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.27．ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， ，，且，对于A ，，故A 正确； 对于B ，的对称解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d dS d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.28．ABC 【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项． 【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确；，C 正确；，所以，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．29．AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由解析：AC【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==， 得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.30．ACD【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ；【详解】由已知解析：ACD【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N 上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <， 所以1na 在1,6n n N 上单调递增，1n a 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0n nS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.31．AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】， ，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.32．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ．【详解】由公差，可得，即，①由a7是a解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对； 由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．33．ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，n n S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n nS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n nS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．34．AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，，则，．．故正确，错误；可得数列的解析：AC【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.解析：BD【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；135********()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。
高中数列单元测试题及答案
高中数列单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 等差数列的首项为a1，公差为d，第n项an可以表示为：A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 + ndC. an = a1 + n(n-1)d/2D. an = a1 - (n-1)d2. 等比数列的首项为a1，公比为q，第n项bn可以表示为：A. bn = a1 * q^(n-1)B. bn = a1 * q^nC. bn = a1 + (n-1)qD. bn = a1 - (n-1)q3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn = 2n^2 - 3n + 5，求a5：A. 4B. 7C. 10D. 134. 一个等差数列的前5项和为75，且第5项为25，求首项a1：A. 5B. 10C. 15D. 205. 一个等比数列的前3项和为13，且第3项为8，求首项a1：A. 1C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）6. 等差数列2, 5, 8, 11, ...的第10项是________。
7. 等比数列3, 6, 12, 24, ...的第6项是________。
8. 若数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求第20项的值是________。
9. 若数列{bn}的前n项和公式为Sn = n^2 + 1，求第5项b5的值是________。
10. 若数列{cn}的前n项和公式为Sn = 2^n，求第3项c3的值是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知等差数列的前10项和为S10 = 440，求首项a1和公差d。
12. 已知等比数列的前5项和为S5 = 61，且第5项为32，求首项a1和公比q。
13. 求数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...的前n项和公式。
四、综合题（每题25分，共25分）14. 某工厂生产的产品数量构成等差数列，第一年生产了100件，每年生产量增加50件。
数学数列测试题及答案
数学数列测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 等差数列{a_n}的首项a_1=1，公差d=2，求a_5的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：D2. 等比数列{b_n}的首项b_1=3，公比q=2，求b_3的值。
A. 12B. 15C. 18D. 24答案：D3. 数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=3c_n+1，求c_3的值。
A. 17B. 19C. 23D. 29答案：C4. 数列{d_n}的通项公式为d_n=n^2-n，求数列的前5项和S_5。
A. 25B. 30C. 35D. 40答案：C5. 数列{e_n}的前n项和为E_n，且E_n=2^n-1，求e_3的值。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C6. 数列{f_n}的前n项和为F_n，且F_n=n^2，求f_4的值。
A. 12B. 14C. 16D. 18答案：C7. 数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+2，求g_5的值。
A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A8. 数列{h_n}的通项公式为h_n=2n-1，求数列的前4项和S_4。
A. 10B. 12C. 14D. 16答案：B9. 数列{i_n}的前n项和为I_n，且I_n=n^2+n，求i_2的值。
B. 4C. 5D. 6答案：C10. 数列{j_n}满足j_1=2，j_{n+1}=j_n+3，求j_4的值。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 等差数列{k_n}的首项k_1=3，公差d=-1，求k_4的值。
____答案：02. 等比数列{l_n}的首项l_1=4，公比q=1/2，求l_3的值。
____答案：13. 数列{m_n}满足m_1=5，m_{n+1}=2m_n-1，求m_3的值。
____答案：94. 数列{n_n}的通项公式为n_n=3n+2，求n_5的值。
____答案：175. 数列{o_n}的前n项和为O_n，且O_n=3n^2+2n，求o_4的值。
数列单元测试题答案
数 列 单 元 测 试 卷(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．162．设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．82B ．－82C ．132D ．－1323．已知数列{a n }中a 1＝1以后各项由公式a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出，则a 4＝( )A.74 B ．－74 C.47D ．－474．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－145．已知－9，a 1，a 2，－1成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则(a 2－a 1)b 2等于( )A.98 B ．－98C ．8D ．－8 6．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－667．已知等差数列{a n }中，|a 4|＝|a 8|，公差d <0；S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 68．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 11＝( )A ．0 B.12 C.23D ．29．设M ⎝⎛⎭⎫cos π3x ＋cos π4x ，sin π3x ＋sin π4x (x ∈R )为坐标平面上一点，记f (x )＝|OM →|2－2，且f (x )的图象与射线y ＝0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n }，则|a n ＋3－a n |＝( )A ．24πB ．36πC ．24D ．36二、填空题：10．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为 。
(完整版)数列基础测试题及参考答案
数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()．4m －n ｜6.0成立9．已知数列－1，1，2，－4成等差数列，－1，1，2，3，－4成等比数列，则212b a 的值是()．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝()．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为. 12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝.13.16(2)设S n 与b n20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()． A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于()．A ．1B ．43C ．21D ．835．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为().6.成立9的值二、填空题11．设f (x )＝221+x，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为. 12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝.13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为.15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝.16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．(2)设S n 与b n203a 4成等。
数列测试卷(含答案)
第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项，则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2，则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列，则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中，若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列，则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列，则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列，则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列，则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上赖种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%，按复利计算,若本金为30 000元，设存入工期后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题，共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和，且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。
(完整版)数列单元测试题(含答案)
《数列》一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是 （ ）A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245B ．12C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（ ）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ）A B ．C ．D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210、在等比数列{a n }中4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是 （ ）A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ） A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482n n ++++……的前n 项和是 ． 15、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ 三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ． （1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ， 求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 DDABCDCBABA12、3．2n-1 13、510 14、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、4951 17、d=32，n=50 18、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． 19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答：设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n nna abc -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。
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数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1， 因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=， 解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项． 答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12， 所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1） 两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为 ，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ， 即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。