数列单元测试卷-含答案
。
数列单元测试卷
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.
第Ⅰ卷(选择题)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1
。
2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,1
2
,
1
3
,
1
4
,…
B.-1,2,-3,4,…
C.-1,-1
2
,-
1
4
,-
1
8
,…
D.1,2,3,…,n
3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( )¥
A.2 C.6 D.7
4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( )
A.49 C.51 D.52
5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )
A.90 C.145 D.190
…
6.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A .1 C .4 D .8
7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2
+(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根
B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根
8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列??
??
??
11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) :
A .0 D .-1
9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3
n -1
,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的
数列{b n },那么162是新数列{b n }的( )
A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项
10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则
A .1 033 034 C .2 057 D .2 058
《
11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) C. 约等于1
12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:
则第七个三角形数是( ) A .27 C .29 D .30
<
第II 卷(非选择题)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *
),则前8项的和S 8=________(用数字作答).
14.数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -1+n (n ≥2),则a 5=________.
!
15.已知数列{a n }的前n 项和S n =-2n 2
+n +2.则{a n }的通项公式a n =________
16.在等差数列{a n }中,其前n 项的和为S n ,且S 6<S 7,S 7>S 8,有下列四个命题: ①此数列的公差d <0; ②S 9一定小于S 6; ③a 7是各项中最大的一项;
④S 7一定是S n 中的最大项. #
其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号)
三.解答题(共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n
(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列,若b 1=1,且b 2,1
2b 3,2b 1成等差数列,求数列{b n }
的通项公式.
`
18.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 4=16,
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .
19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;
(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.
20.(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n ≥2),若a n +S n =n ,c n =a n -1.
(1)求证:数列{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.
、
21.(12分)(全国卷)设数列{}n a 满足+3+…+(2n -1) =2n ,. (1)求{}n a 的通项公式;
(2)求数列21n a n ????+??
的前n 项和.
,
22.(12分)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2
n +1
a n
a n +2
n
(n ∈N *
).
(1)证明:数列{2
n
a n
}是等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式a n ;
{
(3)设b n =n (n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .
数列单元测试卷(解答)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( )
—
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1
解析:选B 由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n=2n+1,故选B. 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,1
2
,
1
3
,
1
4
,…
B.-1,2,-3,4,…
C.-1,-1
2
,-
1
4
,-
1
8
,…
D.1,2,3,…,n
《
解析:选C A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列.
3.记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( ) A.2 C.6 D.7
解析:选B S4-S2=a3+a4=20-4=16,
∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)=4d=16-4=12,
∴d=3.
【
4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( )
A.49 C.51 D.52
解析:选D ∵2a n+1-2a n=1,
∴a n+1-a n=1
2,
∴数列{a n}是首项a1=2,公差d=1
2
的等差数列,
∴a101=2+1
2
(101-1)=52.
5.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) …
A .90 C .145 D .190
解析:选B 设公差为d , ∴(1+d )2
=1×(1+4d ), ∵d ≠0,
∴d =2,从而S 10=100.
6.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( )
A .1 C .4 D .8 !
解析:选A 因为a 3a 11=a 27,又数列{a n }的各项都是正数,所以解得a 7=4,由a 7=a 5·22
=4a 5,求得a 5=1.
7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2
+(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根
B.有两个相等实根 C .有两个不等实根
D .不能确定有无实根
解析:选A 由于a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,即3a 5=9, ∴a 5=3,方程为x 2
+6x +10=0,无实数解. }
8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列??
??
??
11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 D .-1 解析:选B 设数列{b n }的通项b n =11+a n ,因{b n }为等差数列,b 3=11+a 3=13,b 7=11+a 7=12
,公差d =
b 7-b 3
4=1
24
, ∴b 11=b 3+(11-3)d =13+8×124=2
3,
即得1+a 11=32,a 11=1
2.
9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3
n -1
,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的
数列{b n },那么162是新数列{b n }的( )
A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 %
解析:选C 162是数列{a n }的第5项,则它是新数列{b n }的第5+(5-1)×2=13项.
10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则
A .1 033 034 C .2 057 D .2 058 解析:选A 由已知可得a n =n +1,b n =2n -1
,
于是ab n =b n +1, 因此
(b 1+1)+(b 2+1)+…+(b 10+1)=b 1+b 2+…+b 10+10=20+21+…+29
+10 …
=1-210
1-2+10=1 033.
11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) C. 约等于1
解析:设{}n a 的公差为d ,据已知有1×72128d +=, 解得 1.d =
所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=1
—
12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:
则第七个三角形数是( ) A .27 C .29 D .30
解析:选 B 法一:∵a 1=1,a 2=3,a 3=6,a 4=10,a 5=15,a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-
a 3=4,a 5-a 4=5,
∴a 6-a 5=6,a 6=21,a 7-a 6=7,a 7=28. 法二:由图可知第n 个三角形数为
n n +1
2
,
~
∴a 7=7×8
2
=28.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *
),则前8项的和S 8=________(用数字作答). 解析:由a 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *
)知{a n }是以1为首项,以2为公比的等比数列,由通项公
式及前n 项和公式知S 8=a 11-q 81-q =1·1-2
8
1-2
=255.
答案: 255
14.数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -1+n (n ≥2),则a 5=________.
|
解析:由a n =a n -1+n (n ≥2),得a n -a n -1=n .则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,
a 5-a 4=5,把各式相加,得a 5-a 1=2+3+4+5=14,
∴a 5=14+a 1=14+1=15. 答案:15
15.已知数列{a n }的前n 项和S n =-2n 2
+n +2. 则{a n }的通项公式a n =________
[解] ∵S n =-2n 2
+n +2, '
当n ≥2时,S n -1=-2(n -1)2
+(n -1)+2 =-2n 2
+5n -1, ∴a n =S n -S n -1
=(-2n 2+n +2)-(-2n 2
+5n -1) =-4n +3.
又a 1=S 1=1,不满足a n =-4n +3, ∴数列{a n }的通项公式是
a n =?
??
??
1,n =1,-4n +3,n ≥2.
!
16.在等差数列{a n }中,其前n 项的和为S n ,且S 6<S 7,S 7>S 8,有下列四个命题: ①此数列的公差d <0; ②S 9一定小于S 6; ③a 7是各项中最大的一项; ④S 7一定是S n 中的最大项.
其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号) 解析:∵S 7>S 6,即S 6<S 6+a 7, }
∴a 7>0.同理可知a 8<0. ∴d =a 8-a 7<0.
又∵S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=3a 8<0, ∴S 9<S 6.
∵数列{a n }为递减数列,且a 7>0,a 8<0, ∴可知S 7为S n 中的最大项. 答案:①②④
·
三、解答题(共4小题,共50分)
17.(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n
(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列,若b 1=1,且b 2,1
2b 3,2b 1成等差数列,求数列{b n }
的通项公式.
解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+
d=6a 1+15d=48,②
由①②得d==-2
S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2
-4n .
(2)由题意可设公比为q ,则q >0,
由b 1=1,且b 2,1
2b 3,2b 1成等差数列得b 3=b 2+2b 1,
∴q 2
=2+q ,
解得q =2或q =-1(舍去), 故数列{b n }的通项公式为b n =1×2n -1
=2
n -1
.
18.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 4=16,
、
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数
列{b n }的通项公式及前n 项和S n .
解:(1)设{a n }的公比为q ,由已知得16=2q 3
,解得q =2, ∴a n =2n
.
(2)由(1)得a 3=8,a 5=32, 则b 3=8,b 5=32. 设{b n }的公差为d ,
则有???
??
b 1+2d =8, b 1+4d =32,
解得?
??
??
b 1=-16,d =12.
!
从b n =-16+12(n -1)=12n -28, 所以数列{b n }的前n 项和
S n =n -16+12n -282
=6n 2
-22n .
19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;
(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, :
则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得
解得
或
所以由等差数列通项公式可得
a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.
(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. ~
故|a n |=|3n-7|=
记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|
=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2]
=105
20.(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n ≥2),若a n +S n =n ,c n =a n -1. —
(1)求证:数列{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.
解:(1)证明:∵a 1=S 1,a n +S n =n ①, ∴a 1+S 1=1,得a 1=1
2.
又a n +1+S n +1=n +1②,
①②两式相减得2(a n +1-1)=a n -1, 即
a n +1-1a n -1=12,也即c n +1c n =1
2
, 故数列{c n }是等比数列. \
(2)∵c 1=a 1-1=-1
2,
∴c n =-12n ,a n =c n +1=1-1
2
n ,
a n -1=1-
1
2
n -1
.
故当n ≥2时,b n =a n -a n -1=1
2n -1-12n =1
2n . 又b 1=a 1=1
2,
所以b n =1
2n .
21.(12分)(全国卷)设数列{}n a 满足+3+…+(2n -1) =2n ,. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ??
?
?+??
的前n 项和. 解:(1)因为+3+…+(2n -1) =2n ,故当n ≥2时,
+3+…+(
-3)
=2(n -1)
两式相减得(2n -1)=2所以= (n≥2)
又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.
(2)记 {}的前n 项和为
, 由(1)知 =
= - . 则 = - + - +…+
-
=
.
22.(12分)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2
n +1
a n
a n +2
n
(n ∈N *
).
(1)证明:数列{2
n
a n
}是等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式a n ;
(3)设b n =n (n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:由已知可得a n +12n +1=a n
a n +2n ,
即
2
n +1
a n +1=2n a n
+1,即
2n +1
a n +1-2
n
a n
=1.
∴数列{2
n
a n
}是公差为1的等差数列.
(2)由(1)知2
n
a n =2
a 1
+(n -1)×1=n +1,
∴a n =2
n
n +1
.
(3)由(2)知b n =n ·2n
.
S n =1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ,
2S n =1·22
+2·23
+…+(n -1)·2n +n ·2n +1
,
相减得
-S n =2+22
+23
+…+2n -n ·2n +1
=21-2n 1-2
-n ·2
n +1
=2
n +1
-2-n ·2n +1
, ∴S n =(n -1)·2n +1
+2.
(完整版)必修5数列》-单元测试卷(有答案)
必修5 数列 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n =n (n =1,2,3,…),那么数列{a n }( ) A .是公比为2的等比数列 B .是公差为2的等差数列 C .是公比为1 2的等比数列 D .既非等差数列也非等比数列 2.一个数列{a n },其中a 1=3,a 2=6,a n +2=a n +1-a n ,则a 5=( ) A .6 B .-3 C .-12 D .-6 3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( ) A .a n -1 B .Na C .a n D .(n -1)a 4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }的前7项和为( ) A .63 B .64 C .127 D .128 5.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)的值等于( ) A .-8 B .8 C .-9 8 D.98 6.在-12和8之间插入n 个数,使这n +2个数组成和为-10的等差数列,则n 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 7.已知{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( ) A .4 B.1 4 C .-4 D .-14 8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19=( ) A .55 B .95 C .100 D .190 9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( ) A .S 7 B .S 4 C .S 13 D .S 16 10.等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62,则通项是( ) A .2 n -1 B .2 n C .2 n +1 D .2 n +2 11.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A .4或5 B .5或6 C .6或7 D .不存在
数列单元测试卷含答案
数列单元测试卷 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于() A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() A.1,1 2, 1 3, 1 4,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2,- 1 4,- 1 8,… D.1,2,3,…,n 3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.() A.2 C.6 D.7 4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为() A.49 C.51 D.52 5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是() A.90 C.145 D.190 6.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=() A.1 C.4 D.8 7.等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程:x2+(a4+a6)x+10=0()
A .无实根 B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根 8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列? ?????11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 D .-1 9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3n - 1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n },那么162是新数列{b n }的( ) A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则 A .1 033 034 C .2 057 D .2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) C. 约等于1 12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示: 则第七个三角形数是( ) A .27 C .29 D .30 第II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)