高中物理磁场——聚焦与发散问题(含问题详解)

磁聚焦与磁发散问题专题

带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。

磁发散——当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。

磁聚焦——当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图所示。

[例1] 真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？

[解析] 如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组成边长为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。[例2] 如图所示，真空中有一个半径r＝0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×10－3T，方向垂直于纸面向外，在x＝1 m和x＝2 m之间的区域有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5 ×103N/C。在x＝3 m处

有一垂直x 轴方向的足够长的荧光屏，从O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷

m

q

＝1×109 C/kg ，且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面，一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A 点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：

(1) 沿y 轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间； (2)速度方向与y 轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向； (3) (2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

[解析] (1)由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R ＝r ＝0.5 m ，由Bqv ＝mv 2

R ，可得粒子进入电场时的速度为

v ＝qBR

m ＝1×109×2×10－3×0.5 m/s ＝1×106 m/s 。

在磁场中运动的时间为 t 1＝14T ＝πm 2Bq ＝

3.142×109×2×10－3

s ＝7.85×10－7 s 。 (2)粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O 、C 以及两圆的圆心O 1、O 2组成菱形，CO 2和y 轴平行，所以v 和x 轴平行向右，如图所示。

(3)粒子在磁场中转过120°角后从C 点离开磁场，速度方向和x 轴平行，做直线运动，再垂直电场线进入电场，如图所示：

在电场中的加速度大小为：

a ＝Eq

m ＝1.5×103×1×109 m/s 2＝1.5×1012 m/s 2。 粒子穿出电场时有： v y ＝at 2＝a ×Δx

v ＝1.5×106 m/s ， tan α＝v y v x

＝1.5×1061×

106＝1.5。 在磁场中y 1＝1.5r ＝1.5×0.5 m ＝0.75 m 。 在电场中侧移为：

y 2＝12at 22＝12×1.5×1012×2

61011⎪

⎭⎫ ⎝⎛⨯2

m ＝0.75 m 。 飞出电场后粒子做匀速直线运动 y 3＝Δx tan α＝1×1.5 m ＝1.5 m ，

y ＝y 1＋y 2＋y 3＝0.75 m ＋0.75 m ＋1.5 m ＝3 m 。 则该发光点的坐标为(3 m,3 m)。

[答案] (1)1×106 m/s 7.85×10－7 s (2)与x 轴平行向右 (3)(3 m,3 m)

[例3] 真空中有一半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox 为过边界上O 点的切线，如图所示，速率相同，方向都沿Ox 方向的不同电子，在磁场

中运动的圆周轨迹半径也为r 。进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置有何特征？

【解析】由A 点进入磁场的电子，其圆周轨道和圆形磁场的两交点以及两圆心组成边长为r 的菱形，v 0和AO 1垂直，所以AO 1的对边也和v 0垂直，即AO 1的对边和Ox 方向垂直，所以AO 1的对边即为O 2O ，电子从O 点离开磁场，因此，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置都在O 点。

[例4] 如图甲所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图乙所示的方波形电压，t ＝0时，A 板比B 板的电势高，电压的正向值为u 0，反向值为－u 0，现有质量为m 、带电

荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属

板方向O1O2的速度v0＝3qu0T

3dm射入，所有粒子在AB间的飞行时

间均为T，不计重力影响。求：

(1)粒子射出电场时位置离O2点的距离围及对应的速度；

(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

[解析](1)当粒子由t＝nT时刻进入电场，向下侧移最大，

则：s1＝qu0

2dm

2

3

2

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛T＋qu0

dm⎪⎭

⎫

⎝

⎛

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

3

3

2T

T－qu0

2dm

2

3

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛T＝7qu0T2

18dm

。

当粒子由t＝nT＋2T

3时刻进入电场，向上侧移最大，

则s2＝qu0

2dm

2

3

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛T＝qu0T2

18dm

，

在距离O2中点下方7qu0T2

18dm

至上方qu0T2

18dm

的围有粒子射出。

打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为

v y＝

u0q

dm·

T

3

＝u0qT

3dm

。

所以射出速度大小为

v＝v02＋v y2＝

dm

qT

u

dm

qT

u

dm

qT

u

3

2

3

3

3

2

2

0=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

。

设速度方向与v0的夹角为θ，则tan θ＝v y

v0

＝1

3

，θ＝30°。

(2)要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域

时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，

粒子宽度D＝(s1＋s2)cos 30°，

即D＝4qu0T2

9dm cos 30°＝

23qu0T2

9dm

。