机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数

z0
z
设 (z) f (z z) f (z) f '(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim (z) 0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1 '(w
)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导; 复 函 数 中, f (z) z 2的 可 导 性?
例2 已知 f (z) (z2 5z)2 1 ，求f '(z)
0时 0时
不
存
在!
故函数f (z) x 2 yi处处不可导.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(z z) Re( z z) z Re z
lim
z0
z
lim z Re( z z) z Re z
z0
z
lzi m0
z
Re z
z
0
lim (Re( z z) z
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f (z) ex (cos y i sin y)；(3)w z 2
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全 平面 不可导 ，不解析 。
Q(z)
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值
集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2.举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
第二章 解析函数
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
若沿平行于实轴的方式 z z z(y 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
[u( x x, y) iv( x x, y)] [u( x, y) iv( x, y)]
lim
x0
x
lim u( x x, y) u( x, y) i lim v( x x, y) v( x, y)
x
)不存在 !
z0
x iy
z 0时 z 0时
lim z0
x x iy
0 1
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时
不存在！
(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u
u x
x
u y
y
1x
2y
v
v x
x
v y
y
3x
4y
其
中lim x0
k
0, (
k
1，2,3,4)
y0
f (z z) f (z) u iv
v(x, y y) v(x, y)
lim
i lim
y0
iy
y0
iy
1 u v v i u i y y y y
f '(z)存 在 u i v v i u
x x y y u v v u
x y x y
定义 方程
记忆
u u x y v v x y
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 u v v u x y x y
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)
因此 Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy
lim (z) 0 z0
lim
x 0
1
lim
x 0
2
0
y0
y0
lim 1x 2y 0
lim 2x 1y 0
x 0
z
x 0
z
y 0
y 0
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
ii) 验证C-R条件.
iii)
求导数：f
'
(
z)
u x
i
v x
1 i
u y
v y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成 的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实 函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
证明: f Re( z z) Re( z)
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
lim
z0
f z
不存在.
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim
zz0
(z
z0 )(zn1
zn2z0 z z0
z n1 0
)
nz0n1
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
wk.baidu.com记作
f '(z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域 D内可导。
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1 证明: f (z) Re z在平面上的任何点都不 可导.
由此可得f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z zz,
lim
z0
f (z0 z)
f (z0 ),所 以f (z)在z0连 续
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
上述条件满足时,有
f '(z) ux ivx ux iuy v y iuy v y ivx
证明 "" （由f (z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证
f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。
∵函数 w =f (z)点 z可导，即
f '(z) lim f (z z) f (z)
函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数。
由 以 上 讨 论 P(z) a0 a1z anzn是 整 个 复 平 面 上 的 解 析函 数 ； R(z) P(z) 是 复 平 面 上(除 分 母 为0点 外)的 解 析 函 数.
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x sin y x
u e x sin y u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i sin y)在全平 面可导，解析。
(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证明: 若f (z)在z0可导,则 0, 0,
使得当0
z
,时,有
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
,
令z
f (z0 z) z
f (z0 )
f
(
z0
),则
lim
z0
z
0,
f (z) ' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
g(z)
g2(z)
, (g(z) 0)
由以上讨论 P(z) a0 a1z an zn在整个复平面上处处可导； R(z) P(z) 在复平面上（除分母为0外）处处可导.
Q(z)
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim [u( x, y y) iv( x, y y)] [u( x, y) iv( x, y)]
y0
iy
u( x, y y) u( x, y)
( u x
i
v )x x
( u y
i
v y
)y
(1
i 3 )x
( 2
i 4
)y
由C
R方程
(
u
x
i
v x
)z
(1
i 3 )x
( 2
i4 )y
f (z z) z
f
(z)
u z
i
u x
(1
i 3 )
x z
( 2
i
4
)
y z
| x | 1, z
|
y z
|
1
x z
( 1
i 3 )
0
f (z) lim f (z z) f (z) u i v
z 1
解
f
( z )
2( z 2
5 z )( 2 z
5)
(z
1 1)2
例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 lim f (z z) f (z)
z0
z
x x 2( y y)i ( x 2 yi)
lim
z0
x iy
x 2yi 1
lim
z0
x yi
2
当y 当x
0, x 0, y
z 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的 联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z) x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
一. 解析函数的充要条件
设函数w f (z) u( x, y) iv( x, y)在点 z x iy可导,则
f (z z) f (z) z
[u(x x, y y) iv(x x, y y)] [u(x, y) iv(x, y)] x iy
例2 求证函数
w
u( x,
y) iv(x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
在z x iy 0处解析，并求 dw . dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
u x
v y
y2 x2 ( x2 y2 )2