初中数学七年级下册三元一次方程组的解法

*8.4 三元一次方程组的解法

教学目标

1．理解三元一次方程(组)的概念；

2．能解简单的三元一次方程组． 教学过程

一、情境导入

《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．

问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？

二、合作探究

探究点一：三元一次方程组的概念

下列方程组中，是三元一次方程组的是( )

A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2

B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6

C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3

D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，

n ＋t ＝12，t ＋m ＝0

解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z

不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.

方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；

(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．

探究点二：三元一次方程组的解法

解下列三元一次方程组：

(1)

⎩

⎨

⎧z＝y＋x，①

2x－3y＋2z＝5，②

x＋2y＋z＝13；③

(2)

⎩

⎨

⎧2x＋3y＋z＝11，①

x＋y＋z＝0，②

3x－y－z＝－2.③

解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．

解：(1)将①代入②、③，消去z，得

⎩

⎨

⎧4x－y＝5，

2x＋3y＝13.

解得

⎩

⎨

⎧x＝2，

y＝3.

把x＝2，y

＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为

⎩

⎨

⎧x＝2，

y＝3，

z＝5；

(2)①－②，得x＋2y＝11.④

①＋③，得5x＋2y＝9.⑤

④与⑤组成方程组

⎩

⎨

⎧x＋2y＝11，

5x＋2y＝9.

解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＝－12，

y＝

23

4

.

把x＝－

1

2

，y＝

23

4

代入②，得z＝－

21

4

.

所以原方程组的解是

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧x＝－12，

y＝

23

4

，

z＝－

21

4

.

方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．

探究点三：三元一次方程组的应用

【类型一】

三元一次方程组在非负数中的应用

若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．

解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.

解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.

可得方程组⎩⎨⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－3，

b ＝－4，

c ＝－2.

方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．

【类型二】

利用三元一次方程组求数字问题

一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34

，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．

解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .

解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34

z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，

解得⎩⎨⎧x ＝3，

y ＝6，z ＝8.

答：原三位数是368.

方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．

【类型三】

列三元一次方程组解决实际问题

某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？

解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.

解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km.

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，

x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.

解得⎩⎨⎧x ＝12，

y ＝54，z ＝4.

答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．

三、板书设计 三元一次方程组⎩⎨⎧三元一次方程组的概念

三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用