重庆市第一中学2019届高三下学期4月高考模拟考试数学(理)【附答案】
2019年4月重庆市第一中学2019届高三下学期模拟考试理科综合答案
重庆市第一中学2019届高三年级下学期模拟考试理科综合试题答案2019年4月生物参考答案BCACAA29.（9分，除说明外每空1分）（1）微生物或分解者暗补充CO2、补充光照、增大昼夜温差、合理施肥等（其他合理答案也给分，每点1分，共2分）（2）①促进种子萌发，促进果实发育（每点1分，共2分）②疯长导致单位面积土地上叶面积过大，当单位面积土地上叶面积达到一定值后光合速率不再随叶面积增加而增大，但呼吸速率一直增大，导致净光合速率（干物质）量下降。
（3分）30.（7分，除说明外每空1分）（1）大脑皮层反馈（2）特异性受体拮抗（3）贮存和再现新突触（2分）31.（12分，除说明外每空2分）（1）食物链、食物网抵抗力（1分）（2）能量流动是逐级递减的，营养级越高获得的能量越少（3）D（4）G2草场退化（1分）合理调整能量流动关系，使能量持续高效地流向对人类最有益的部分32.(11分，除说明外每空2分)（1）常染色体隐性遗传（1分）(2)不能（1分）乙病在人群中的发病人数很少属于发病率，不能根据发病率确定遗传方式（或者不知道人群中男女的发病比例）(3) b AAX B X B(4) 产前诊断遗传物质改变而引起的人类疾病（1分）37.【选修一——生物技术实践】（15分，除说明外每空2分）（1）氯化钡和氯化镉比色（2）易溶于有机溶剂相同标准样品（3）分离（1分）分子量较小血红蛋白取材容易且为有色蛋白，易观察到分离的过程38.【生物——选修3现代生物科技】（15分，除说明外每空2分）(1)ⅡⅠ(Ⅰ和Ⅱ)体外（1分）(2)四环素（1分）选择（1分）(3)大量复制目的基因(抗虫基因) (4)3/4(5)植物组织培养发育成完整个体所需的全套遗传物质1。
2019届重庆一中高三下学期高考适应性考试理科数学试卷【含答案及解析】
试卷【含答案及解析】
姓名班级分数
题号
-二二
三
总分
得分
一、选择题
1.已知集合人=対丁=1口(1—胡,B=帥=严｝，贝则A|e=()
A「B•"一
C-JI
D:
2.在等比数列；「中，•二"
A.丄
R1
C.
B.复数的共轭复数-
D•复数
已知 是-.-I所在平面内一点，^，现将一粒黄豆随机撒
一上.内，则黄豆落在内的概率是（）
第2题【答案】
C
【解析】
试题分析：因为码二码匹二口/，所以码=1 ,又因为电=匕*所沿=+』气~^q'-右，故选C.
第3题【答案】
C
【解析】
PT1,(1+,)1亠,f ]「
试题分析：真心口古)：)(]/)+,所次在复平面内对应的点为:在第四 象限内J所加理 其共範复数址二H,所则鴨当二严7』”为;対纯虚数时
22I丄丿2
t二0一b=・*f所以匚正确』z=J扌]〔扌]=匸所以11错误，刼毎・
.1B.丄
C.-
*
7.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小
的一个表面面积是（）
A.八B. JC
D.二
8.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程 序框图（图中“梗MOD””表示也除以冲的余数），若输入的BE分别为495,135,则输出的=（）
求证：对于的图象上不同两点I..，讥J-，存在唯一的
I'，使直线V卜的斜率等于：*.
22.选修4-1:几何证明选讲
如图，已知圆:是二，的外接圆，.上-三，，、门 是三，边上的高,二两是圆'的直径•过点.作圆’的切线交 「 的延长线于点
重庆市2019届高三4月调研测试(二诊)数学理试题Word版含答案
重庆市2019届高三4月调研测试（二诊）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R AC B =（ ）A ． {1}-B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（ ）A B ．2 D ． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A ．10日B ． 20日C ． 30日D ．40日5．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（ ）A ．．． 3± D ．9±6．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π 10．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ） A 3．13． 23 D ．423+11．已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或612．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ） A ．928π B ．924π C ． 23π D ．32π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数a = ． 14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S = ．（用数字作答）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （1）求sin cos A B 的值； （2）若33a b =，求B ． 18． 如图，矩形ABCD 中，22AB =2AD =M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到'D AM∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，20()P K k ≥0．10 0．05 0．025 0．0100k2．706 3．841 5．024 6．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设||X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20． 已知,A B 分别为椭圆C ：22142x y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．21． 已知曲线2ln ln ()x a x a f x x++=在点(,())e f e 处的切线与直线220x e y +=平行，a R ∈．（1）求a 的值； （2）求证：()x f x ax e>． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB 的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a =-+-． （1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．重庆市2019届高三4月调研测试（二诊）数学理试题答案1～6 DCCCCD7～12 DABCAD第（11）题解析：xx x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ， 故)(x f 的图象大致为： 令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ， 当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根； 当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根； 当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根； 综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况， 由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,,AD AC AB 上，设线段1AB 上的切点为E ，1AC 面21O BD A =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为E O 1记为r ，则2262331312=⨯⨯==DF F O ，13112==AC AO ，由F O E O 21//知E O AO AO E O 11112122=⇒=，则圆柱的高为r AO 223231-=-，232329242(322)42()42()428r rS r r r r ππππ+-=-=-⋅==侧≤.二、填空题 （13）2（14）53（15）]1,8[-- （16）1306第（15）题解析：函数)(x f 的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m 时，]2,1[)(-∈x f .第（16）题解析：1122+=++n a a n n ，则12745032999832=+++=++++ a a a a ，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ；（Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ， 32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π.（18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ， 故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=ME ，设平面EAM 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=m ，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=n ，故51,cos >=<n m ，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19）解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ， 645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：85=ξE .（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ； （Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ，则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x x k y y x +=⇒⎩⎨⎧==+， 同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=； 积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840（Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x ++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01ef x x '>⇒<<， 故()f x 在1(0,)e 和(1,)+∞上递减，在1(,1)e上递增， ①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3e xx 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e xx f x ∴>即()3ex f x x >； ②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()ex x g x =，则23(2)()e xx x g x -'=故()g x 在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e ≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3e x x x x ∴++>即()3ex f x x >；综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。
重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(解析版)
高2019届高三学生学业调研抽测（第二次）理科数学试题卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系. 【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值.【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果.【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：获利亏损产品：获利亏损注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果. 【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，，，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值.【答案】（1）直线:，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，，∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴，不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月高考模拟考试理科综合附答案
秘密★启用前理科综合测试试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Pb 207第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞的叙述，不正确的是A．酵母菌细胞代谢和遗传的控制中心位于细胞核B．洋葱根尖分生区细胞中含有遗传物质的结构有细胞核、线粒体和叶绿体C．磷脂和蛋白质是肺炎双球菌必不可少的有机物D．叶肉细胞渗透吸水或失水与液泡中的细胞液浓度有关2.端粒酶是一种由催化蛋白和RNA模板组成的酶，可合成染色体末端的DNA。
研究表明端粒酶对肿瘤细胞的永生化是必须的，因此端粒酶可作为抗肿瘤药物的良好靶点。
下列相关叙述，错误的是A．端粒酶是一种逆转录酶，能延长端粒B．抑制癌细胞中端粒酶活性可控制癌细胞的增殖C．显微观察肿瘤切片，所有肿瘤细胞的染色体数目相同D．目前有手术切除、放疗和化疗等手段治疗癌症3.下列说法不正确的是A．睾丸内初级精母细胞、次级精母细胞都有同源染色体联会配对成四分体现象B．根据系谱分析推算后代遗传病的再发风险率属于遗传咨询范畴C．镰刀形贫血症不属于内环境稳态被破坏导致的疾病D．“肺炎双球菌转化实验”和“噬菌体侵染细菌实验”不都用到同位素标记法4.下列关于生物群落的叙述中，正确的是A．北极冻土苔原生态系统的抵抗力和恢复力稳定性都较高B．西北干旱地区的典型草原经足够长时间的演替后一定能形成森林C．毀林开荒、围湖造田可以改变群落演替的方向D．群落演替中新出现的物种都是生物进化的结果5.下列关于人体内环境稳态的叙述，正确的是A．细胞中有机物的氧化放能是人体热量的主要来源B．激素不能提供能量，与机体的能量代谢没有关系C．血浆渗透压的大小主要与HCO3-的含量有关D．人体内环境的成分有血红蛋白、血糖、生长激素、抗体等6.下列有关植物激素和人工合成的类似化学物质的叙述不正确的是A．用适宜浓度秋水仙素和生长素类似物处理二倍体植物幼苗，均可使染色体加倍B．高浓度的生长素抑制植物生长，可能是因为其诱导了乙烯的合成C．光照、温度等环境因子的变化，可引起植物激素合成的变化，进而对基因组表达进行调节D．同一部位的细胞可能含多种不同的植物激素，共同配合调节植物的生命活动7.下列有关说法中正确的是A．在海轮外壳镶嵌锌块能减缓轮船的腐蚀B．通过物理变化能从海水中提取氯化钠、溴单质C．利用维生素C的酸性能缓解人体内亚硝酸盐中毒D．按1.1°错开两层石墨烯能形成一种有机常温超导材料8.N A表示阿伏伽德罗常数，下列叙述正确的是A．1 mol 氨基（-NH2）含有9N A个电子B．1mol 2,2-二甲基丁烷中含有2N A个甲基C．标准状况下，22.4L SO2完全反应时，转移2N A个电子D．1mol乙酸乙酯在碱性条件下水解后，溶液中存在N A个CH3COO—9.洗发水是否合格，需要检测二噁烷含量。
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学(理)试题(含答案解析)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．32【答案】C【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i iz i z i i i ++====∴=--+ 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知集合{|A x y ==，2{|230,}B x x x x Z =--<∈，则()RC A B =I （ ） A ．{1} B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再求()R C A B I 得解. 【详解】由题得A={x|x ＜1},B={x|-1＜x ＜3，x ∈Z}={0,1,2}, 所以{|1}R C A x x =≥， 所以()={1,2}R C A B I . 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．若，，，则实数，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出a,b,c 的范围，再比较大小即得解. 【详解】 由题得，，所以a>b>c. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下列说法正确的是（ ）A ．设m 为实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则m ＞2．B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x +3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0”D ．命题“若x 0为y ＝f （x ）的极值点，则f ’（x ）＝0”的逆命题是真命题 【答案】B【解析】根据双曲线的定义和方程判断A ，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B ，特称命题的否定是全称命题判断C ，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D. 【详解】对于A ：若方程表示双曲线，则()()120m m --<，解得2m >或1m <，故A 错误； 对于B ：若p q ∧为真命题，则p ，q 同时为真命题，则p q ∨为真命题，当p 真q 假时，满足p q ∨为真命题，但p q ∧为假命题，即必要性不成立，则“p q ∧为真命题”是“p q ∧为真命题”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”，故C 错误；对于D ：命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()0f x '=”的逆命题是：“若()0f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在()3f x x =中，()23f x x '=，其中()00f '=，但0x =不是极值点，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题． 5．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在ABC ∆内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解. 【详解】 由题得1,=,22ABC ABC aS ah S h S S ∆∆=∴=矩形矩形. 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积. 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一， 故该点落在标记“盈”的区域的概率为14， 故选C ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题 8．将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π B ．23π C ．2π D ．3π 【答案】D【解析】先化简函数的解析式，再平移得到函数2sin(22)6y x πϕ=+-，再根据函数的对称性得解. 【详解】由题得(x)23sin cos cos23sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x π=-=-=-，将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到2sin[2()]2sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-，由题得2,,()6223k k k Z ππππϕπϕ-=+∴=+∈, 当k=0时，=3πϕ.故选D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论： ①若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β； ③若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①③【答案】D【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解． 【详解】对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥β，则α∥β或相交，又因为m ∥β，n ∥α，则α∥β，故①正确；对于②，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误， 对于③，若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ；故③正确，对于④，若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故④错误， 综上可得：正确的是①③， 故选D ． 【点睛】本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题．10．在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a =(sin )sin C B B A =，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】先化简已知得c 2sin()3B π=+，再求出1sin(2)62h B π=-+，再利用三角函数求h 最大值得解. 【详解】(sin )sin C B B A =+，(sin )(sin )B B a B B =+⋅=+所以c 2sin()3B π=+.所以1h csinB 2sin()sinB 2sinB(sinB )32B B π==+= 所以1sin(2)62h B π=-+, 所以当B=3π时，h 取最大值32. 故选C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A ．71 B ．66C ．59D ．53【答案】A【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案． 【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况， 则分5种情况讨论：①、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，②、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，③、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有6511+=个“完 美四位数”，④、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，⑤、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，则一共有121211181871++++=个“完美四位数”， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏．12．设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数2ln [ln ]1,0()(1),0xx x x f x e ax x ⎧-->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()1f x =有且只有5个解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,)e -∞-C ．(,1]-∞-D ．(,]e -∞-【答案】A【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x ＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解. 【详解】首先，确定在x ＞0上，方程f(x)=1的解.{0,1,2,3,4,}n ∈L 时，在(1)(1)[,)n n n n x e e e x e -+--+-∈≤<上，， (1)ln n x n -+≤<-，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又222ln (1),n x n <≤+22()31,n n f x n n ∴+<≤++即在(1)[,)n n x ee -+-∈上，恒有22()31,n nf x n n +<≤++221(x)1n 3,n n f n +-<-≤+取n=0,1()10f x -<-≤，令11,()1,x e f e --==此时有一根1x e -=， 当n≥1时，恒有f(x)-1＞1， 此时在(1)[,)n n x e e -+-∈上无根.在1[,)nn x e e+∈上，1n n e x e +≤<，ln 1[ln ]n x n x n ≤<+=，，又222ln 1n x n ≤<+（），221()(1)1,n n f x n n ∴--≤<+--所以在1[,)nn x e e+∈上，恒有221()n n f x n n --≤<+，222()11n n f x n n ∴--≤-≤+-.n=1时，在2[,e e ）上，有2f -≤≤（x)-11, n=2时，在23,)e [e 上， 有0()15,f x ≤-<()1,f x ∴=即2ln 11,x n --=2ln 2,,n x n x e+=+=所以此时有两根，32,.x e =x=e 这样在+∞（0，）上，f(x)=1, 有三根，132123,,x e x e -==x =e 在(,0]f(x)e (1),xx ax ∈-∞=+上， 显然(0)1,f =有一根4=0x ，所以在-0∞（，）上，f(x)=1有且仅有一根， →∞又x -时，由“洛必达法则” -lim ()lim (1)0.x x x f x e ax →∞→-∞=+=-0∴∞在（，）上，f(x)是先增后减，(1),0x ax a ''++f (x)=e f (x)=得101a x a a+=-<⇒<-或a ＞0. 1--)()a f x a +∞又在（，上，单调递增，()0f x '∴>即1e ()0,01,a aa a a +-⋅->⇒<<-又1.a ∴<-故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最大值是________．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，．【点睛】本题考查简单的线性规划问题.14．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，1322b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=r r r________．【答案】52【解析】先由题意求出b r ，得到a b ⋅r r，进而可求出结果.【详解】因为13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，所以1b =r ，又向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，则1cos 32b a b a π=⋅=r r r r ，所以21(2)52222a b b a b b +⋅=⋅+=+=r r r r r r .故答案为52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型.15．在(0)na x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x 的项的系数为_________． 【答案】8.【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含6x 的项的系数. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以n=8.因为所有项的系数和为256， 所以81+a)256,1a =∴=（.设81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为8821881()r r r r r r T C x C x x --+==，令8-2r=6,所以r=1.所以含6x 的项的系数为188C =.故答案为：8 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知抛物线C ：24(0)y mx m =>与直线0x y m --=交于A 、B 两点（A 、B 两点分别在x 轴的上、下方），且弦长8AB =，则过A ，B 两点、圆心在第一象限且与直线50x y +-+=相切的圆的方程为____________． 【答案】22(1)(4)24x y -+-=.【解析】先求出圆的半径为1,4），即得圆的方程. 【详解】联立直线和抛物线的方程得2260,x mx m -+=由题得1，所以m=1.所以2610,x x -+=解之得A(3(3B ++--,所以AB 的垂直平分线方程为y=-x+5, 因为圆心在AB 的垂直平分线上， 所以设圆心（t,-t+5）,因为AB的垂直平分线和直线50x y +-+=平行，因为两平行线间的距离为d ==所以圆的半径为因为点A (3++在圆上，所以22)(3)24,(05)t t t +-=<<（， 所以t=1.所以圆心为（1,4），所以圆的方程为22(1)(4)24x y -+-=. 故答案为：22(1)(4)24x y -+-= 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()*111,2n n n a a n N a +≠=-∈，数列{}n b 中，11n n b a =-，且124,,b b b 成等比数列； （1）求证：{}n b 是等差数列；（2）n S 是数列{}n b 的前n 项和，求数列{1nS }的前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析 (2)21n nT n =+． 【解析】（1）根据递推式构造出111111n n a a +=+--，即11n n b b +=+，可得证；（2）先根据等差数列的前n 项和公式，求出n S ，可得1nS ，再运用裂项求和的方法可得解. 【详解】（1）证明：()*111,2n n n a a n a +≠=-∈N ，可得11111n n n na a a a +--=-=， 所以111111n n a a +=+--，因为11n n b a =-，所以得11n n b b +=+，所以{}n b 是公差为1的等差数列；（2）124,,b b b 成等比数列，可得2214b b b =，可得()()211113b b b +=+，解得11b =，即21(1)22n n nS n n n +=+-=，可得12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则前n 项和11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L 122111nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查根据递推式证明数列是等差数列，等差数列的前n 项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法，在证明数列是等差数列时，需构造等差数列的定义式，属于中档题. 18．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月高考模拟考试数学(理)(含答案)
A. ,1
B. ,e
C. ,1
D. ,e
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 1，
13.
若实数
x，y
满足约束条件
C2 的方程.
21．已知函数
f
x
x
e2
x
，其中 e
为自然对数的底数.
4
（1）设函数 gx x 1f 'x（其中 f 'x为 f x的导函数），判断 gx在 1,上的
单调性；
（2）若函数 F x l(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，
需求量/个 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
天数
15
25
30
20
10
（1）当 x 135 时，若 X 130 时获得的利润为T1 ， X 140 时获得的利润为T2 ，试比较T1 和T2 的
大小；
（2）当 X 130 时，根据上表，从利润 T 不少于 570 元的天数中，按需求量分层抽样抽取 6 天， （ i ）求此时利润 T 关于市场需求量 x 的函数解析式，并求这 6 天中利润为 650 元的天数； （ ii ）再从这 6 天中抽取 3 天做进一步分析，设这 3 天中利润为 650 元的天数为 ，求随机变量
x
y
1，则 z
x 2 y 的最大值是_____.
x 0，
14.
已知平面向量 a,b 的夹角为 ，且 a 3
重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题文
重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3.考试结束后，将答题卡交回。
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=( )A． B． C． D．2.已知复数满足（是虚数单位），则=( )A． B． C． D．3.“为真命题”是“为真命题”( ) 的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，，，则实数的大小关系为（）A. B． C． D．5.已知直线，直线为，若则 ( )A．或 B．C． D．或6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）A． B． C． D．7.设函数，则（）A.为的极大值点 B．为的极小值点C.为的极大值点 D．为的极小值点8.设实数满足约束条件，则的取值范围是( )A. B． C. D．9.执行右面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．10.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（）A．B． C． D．11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( )A. B. C. D.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A. B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是 .14.平面向量的夹角为，且，则____15.已知是等差数列，，且．若，则的前项和 .16.给出下列4个命题：①若函数在在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件则的最小值为．其中正确命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）中，内角对应的边分别为，满足.（Ⅰ）已知求与的值；（Ⅱ）若且求.18.（本小题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（本小题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，四边形为正方形，平面⊥平面.点分别为棱上的点，且，为棱上一点，且.（Ⅰ）当时，求证：∥平面；（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.20.（本小题满分12分）如图，是离心率为的椭圆的左、右顶点，是该椭圆的左、右焦点，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点两点，且线段恰好过椭圆的左焦点. 当时，点恰为线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明．21.（本小题满分12分）设函数，对于，都有成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.选考题：共10分。
2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =-≥，{}2,1,0,1N =--，则M N ⋂的子集个数是（ ）A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个【答案】C【解析】求出集合{|02}M x x =≤≤，则可得求出M N ⋂，进而可得子集个数. 【详解】解：由已知{}2|20{|02}M x x x x x =≥=-≤≤，又{}2,1,0,1N =--，{0,1}M N ∴=I ，则M N ⋂的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算及集合子集个数的计算，是基础题.2．在复平面内，复数()12z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】将z 整理为2i -+，可得对应的点的坐标，从而得到结果. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+Q∴复数z 所对应的点为()2,1-，位于第二象限本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.3．已知平面向量(3,0)a =r ，2(1,a b +=r r ，则a r 与b r的夹角等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【解析】设(,)b x y =r，利用向量的坐标运算可得2(32,2)a b x y +=+rr，综合条件可列方程组求出b r ，再根据坐标运算可求a r 与b r的夹角. 【详解】解：设(,)b x y =r，则2(32,2)(1,a b x y +=+=rr，32112x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(b ∴=-r，31cos ,322||||a b a b a b ⋅-∴〈〉===-⨯⋅r r r rr r ，则a r 与b r 的夹角等于23π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算及向量夹角的坐标求解，是基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线与直线25y x =-平行，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2 BC ．5D【答案】D【解析】先根据渐近线与直线25y x =-平行可得双曲线的一条渐近线，再根据,,a b c 的关系可得离心率. 【详解】解：由已知，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线为2y x =，2ba∴=，c e a ∴====【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要找到,,a b c 的关系，是基础题. 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（ ） A ．3y x x =+ B ．sin tan y x x =+ C ．1y x=D ．21x xy x -=- 【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断. 【详解】解：A. ()()()()33f x x x x x f x -=-+-==---，奇函数，又3y x =单调递增，y x=也单调递增，则3y x x =+单调递增，符合； B. ()sin tan f x x x =+，有0π>得()()0f f π=，则sin tan y x x =+不是单调函数，不符合； C. 1y x=，反比例函数不是单调函数，不符合； D. 21x xy x -=-，定义域为{}|0x x ≠，不是奇函数，不符合.故选：A. 【点睛】本题考查简单函数的单调性和奇偶性的判断，是基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则33S a =（ ） A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】由等比数列通项公式可得2311143a q a q a q =+，可得1q =或3q =，将1q =和3q =分别代入33S a 求解即可. 【详解】解：由已知2311143a q a q a q =+，整理得2430q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，313133S a aa ==； 当3q =时，()21323191139139a q q S a a q ++++===， 所以333S a =或139. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其应用，是基础题.7．已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为()E X ，方差记为()D X ，则（ ） A ．()8E X <，()6D X > B ．()8E X <，()6D X < C ．()8E X =，()6D X > D ．()8E X =，()6D X <【答案】D【解析】利用条件分别求出()E X ，()D X 即可. 【详解】解：由已知1088()811E x ⨯+==，2610(88)10()661111D x ⨯+-==⨯<. 故选：D. 【点睛】本题考查平均数及方差的运算，熟练掌握公式是关键，是基础题.8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：当1,0i S ==时，有110lg lg 1,3123S i =+=>-=+， 当13,lg 5i S ==时，有131lg lg lg 1,5355S i =+=>-=，当15,lg 5i S ==时，有151lg lg lg 1,7577S i =+=>-=，当17,lg 7i S ==时，有171lg lg lg 1,9799S i =+=>-=，当19,lg 9i S ==时，有191lg lglg 191111S =+=<-，循环结束， 输出的结果为9i =. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】 由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.10．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最边界上运动，并且总是保持PE AC有可有是图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证SBD //,EFG AC SBD ⊥平面平面平面AC EFG ∴⊥平面；所以P 在FG 上．故选A11．已知过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则()21sin 2ααα+的值为（ ） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2【答案】D【解析】作出sin (0)y x x =≥的图像，根据图像可得切点(,sin )A αα-，利用导数的几何意义可得切线方程为cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理后代入()21sin 2ααα+计算，则答案可得.【详解】解：sin (0)y x x =≥的图像如图所示：由已知得当过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像相切与点A 时，有且只有三个交点，则切点(,sin )A αα-，设sin y x =-，则cos y x '=-，过点(,sin )A αα-的切线方程为：cos ()sin y x ααα=---， 代入点(0,0)得0cos sin ααα=-， 整理得sin cos ααα=，()2222sin 12sin cos 1sin 2cos 12cos 2sin cos cos ααααααααααα⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦曲线的应用，考查导数的几何意义求切线方程，考查计算能力与分析能力，是中档题.12．已知平面向量,,a b c r r r，2a b ==r r ，1c =r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r 的最大值是（ ） A．1 B1C1D．1+【答案】C【解析】由数量积运算展开，两边再平方，得出a b ⋅rr 的范围，从而得出结论. 【详解】解：()()0a c b c -⋅-=r r r rQ ，20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=r r r r r r r ，即1()a b a b c ⋅+=+⋅r r r r r ， |1||()|||a b a b c a b ∴⋅+=+⋅≤+r r r r r r r ，两边平方得：222()21282a b a b a b a b a b ⋅+⋅+≤++⋅=+⋅r r r r rr r r r r ，a b ≤⋅≤rr222||282a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅r r r r r r r r Q ，2||8a b ∴-≤+r r||1a b ∴-≤rr .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】6【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时， 在y 轴上截距最小，又()3,0A ， 此时max 236z =⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．()52x y -的展开式中23x y 的系数为________． 【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrC x y --,令3r =可得：23x y 的系数为：()33252140C ⨯⨯-=-. 故答案为-40. 点睛：在T r ＋1＝rn rr n C ab - 中，r n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．15．六位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________. 【答案】13【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列，首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 【详解】解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L ， 分别除以3得余数分别是0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、L ， 由此可见余数的变化规律是按0、1、1、2、0、2、2、1循环， 循环周期是8.在这一个周期内第一个数和第五个数都是3的倍数， 当第50个数被报出时,其中包含6个周期再多2个数， 所以在6个周期内共有12个报出的数是三的倍数，后面2个报出的数中余数是0、1 ，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有13个， 也就是说拍手的总次数为13次. 故答案为：13. 【点睛】本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为__________. 【答案】32【解析】先求出过点1,F F 的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，求出c 的值，再根据基本不等式即可求出. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为1(,0)F c ，∴过点1,F F 的直线为11y x c =+-，即11y x c=-+，∵抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，∴抛物线在点M 214y x =Q ， 12y x '∴=，设点M 的坐标为()00,x y ，012x ∴=，解得0x =， 2001143y x ∴==，13M ⎫∴⎪⎪⎝⎭，1113c ∴=-+，解得c =2223a b c ∴+==， 2232a b ab ∴=+≥，即32ab ≤，当且仅当a b ==时取等号， 故答案为：32. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，己知sin cos c A C =.（1）求内角C ；（2）若边2c =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）3【解析】（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，结合范围0C π<<，即可得解C 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA ＝2sinAcosA ，分类讨论分别求得a ，b 的值，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，sin C C ∴=，即tan C =0C π<<3C π∴=；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，可得：sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，∴当cos 0A =时，即2A π=时，,6B a b π===， 当cos 0A ≠时，可得sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得：33a b ==∴ABC ∆的面积11sin sin 223333S ab C π==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222ABAF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人 则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20．椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且直线l 与直线x a =和x a =-分别交于,M N 两点，试探究以线段MN 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0- 【解析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即,,a b c 的关系可得椭圆的标准方程；（2）设:l y kx b =+，则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的二次方程，根据判别式等于0得2243b k -=，另外先求出点(2,2)M k b +，(2,2)N k b --+，则可求出以线段MN 为直径的圆的方程，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入即可求出定点. 【详解】解：（1）由题意设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则 2a =，由2221,2c e a b c a ===+，得23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）明显直线l 的斜率存在， 设:l y kx b =+，则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kbx b x +++-=，()()2222644344120k b k b ∴∆=-+-=，整理得2243b k -=， 又由2y kx bx =+⎧⎨=⎩，得(2,2)M k b +，由2y kx b x =+⎧⎨=-⎩，得(2,2)N k b --+，所以以线段MN 为直径的圆为()()()()22220x x y k b y x b -+++---=， 整理得22224240x y by b k -+-+-=， 将2243b k -=代入得224230x y by -+-+=， 当0y =时，1x =±，所以以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0-. 【点睛】本题考查直线与椭圆相切的问题，考查圆过定点问题，关键是要求出圆的方程，注意以点()()1122,,,x y x y 连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=，本题考查了学生计算能力，是一道中档题. 21．已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立 现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值. 【答案】（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =【解析】（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 【详解】解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=，由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩， 22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.23．已知a b c d ,,,均为实数. （1≥ （2）若0a >，0b >，222a b +=，证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）将不等式两边平方后作差即可；（2）利用柯西不等式()25511a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭证明即可. 【详解】 证明：（1）22-()2222222222a b c d a c b d ac bd =+++++++++()22c a bd =+，又()22ac bd -+()()222222222222202abcd a c a d b c b d a c b d ad bc =-++=-+++≥，()220ac bd ∴+≥，220∴-≥，≥ （2）由柯西不等式可得()()225522114a b a b a b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭.第 21 页 共 21 页 即()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，考查利用柯西不等式证明不等式，考查学生计算能力，是基础题.。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019届重庆市高三4月(二诊)调研测试题(康德版)数学(理)试题(解析版)
一、单选题
1．复数 （i为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A．1+iB．1﹣iC．1+2iD．1﹣2i
【答案】D
【解析】根据复数的除法求解 再判定即可.
【详解】
∵ ＝ ,∴复数 （i为虚数单位）的共轭复数为1﹣2i．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算与共轭复数的概念,属于基础题型.
所以MN与CD平行，
又由对称性可得
当AB⊥CD时,四面体AOMN的高为半径，此时体积取最大值,
所以
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的体积运算,根据几何体的对称性可沿中轴截面分成两个全等的几何体进行求解.属于中等题型.
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝acosB+2bsin2
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求极值点存在的问题,需要数形结合讨论在区间内的交点个数及其区间,属于中等题型.
二、填空题
13．设（1﹣x）（1+x）5＝a+a1x+a2x3+a3x3+…+a6x6，则a1的值为_____
【答案】4
【解析】根据题意求解展开式中 的系数即可.
【详解】
由（1+x）5展开式的通项得Tr+1＝ xr,则（1﹣x）（1+x）5展开式x的一次幂的系数a1＝ ＝4,
【详解】
由sin2（α+ ）+cos2（α﹣ ）＝ ,得sin2（α+ ）+cos2（α+ ）＝ ,
得sin2（α+ ）+sin2（α+ ）＝ ．得sin2（α+ ）＝ ,得sin（α+ ）＝± ,
2019届重庆市一中高三下学期4月模拟考试数学(文)试题(word版)
秘密★启用前2019届重庆市一中高三下学期4月模拟考试数学（文科）测试试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3.考试结束后，将答题卡交回。
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=( )A． B． C． D．2.已知复数满足（是虚数单位），则=( )A． B． C． D．3.“为真命题”是“为真命题”( ) 的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，，，则实数的大小关系为（）A. B． C． D．5.已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C． D．或6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）A． B． C． D．7.设函数，则（）A.为的极大值点 B．为的极小值点C.为的极大值点 D．为的极小值点8.设实数满足约束条件，则的取值范围是( )A. B． C.D．9.执行右面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．10.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（）A．B． C． D．11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( )A. B. C. D.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A. B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是 .14.平面向量的夹角为，且，则____15.已知是等差数列，，且．若，则的前项和 .16.给出下列4个命题：①若函数在在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件则的最小值为．其中正确命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）中，内角对应的边分别为，满足.（Ⅰ）已知求与的值；（Ⅱ）若且求.18.（本小题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（本小题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，四边形为正方形，平面⊥平面.点分别为棱上的点，且，为棱上一点，且.（Ⅰ）当时，求证：∥平面；（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.20.（本小题满分12分）如图，是离心率为的椭圆的左、右顶点，是该椭圆的左、右焦点，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点两点，且线段恰好过椭圆的左焦点. 当时，点恰为线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明．21.（本小题满分12分）设函数，对于，都有成立. （Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.选考题：共10分。
2019年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)-教师用卷
2019年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）副标题题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数3+i1−i (i 为虚数单位)的共轭复数为( )A. 1+iB. 1−iC. 1+2iD. 1−2i【答案】D【解析】解：∵3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i 2=1+2i ，∴复数3+i1−i(i 为虚数单位)的共轭复数为1−2i ．故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2. 已知全集U =R ，集合M ={x|−1<x <l}，N ={x|0<x <2}，则图中阴影部分表示的集合是( )A. {x|x ≤0或x ≥l}B. {x|x ≤−1或x ≥2}C. {x|0<x <l}D. {x|x −1<x <2} 【答案】B【解析】解：∵全集U =R ，集合M ={x|−1<x <l}，N ={x|0<x <2}，∴M ∪N ={x|−1<x <2}， ∴图中阴影部分表示的集合是： C U (M ∪N)={x|x ≤−1或x ≥2}． 故选：B ．求出M ∪N ={x|−1<x <2}，图中阴影部分表示的集合是C U (M ∪N)，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 已知函数f(x)={log 2x,x >4f(x+3),x≤4，则f(−1)=( )A. log 25B. log 26C. 3D. 2+log 23【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)={log 2x,x >4f(x+3),x≤4，则f(−1)=f(2)=f(5)=log 25； 故选：A ．根据题意，由函数的解析式分析可得f(−1)=f(2)=f(5)，进而计算可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11=22，则a3+a5+a10=()A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S11=22，∴S11=112(a1+a11)=11a6，=22，解得a6=2，∴a3+a5+a10=3a6=6．故选：C．由等差数列{a n}的前n项和为S n，S11=22，求出a6=2，再由a3+a5+a10=3a6，能求出结果．本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.为了得到y=sin(2x−π6)的图象，只需要将y=sin(2x+π3)()A. 向左平移π2个单位 B. 向右平移π2个单位C. 向左平移π4个单位 D. 向右平移π4个单位【答案】D【解析】解：∵函数y=sin(2x+π3)sin2(x+π6)，函数y=sin(2x−π6)=sin2(x−π12)，故把函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移|−π12−π6|=π4个单位，可得y=sin[2(x−π4)+π3]=sin(2x−π6)的图象，故选：D．由于把函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位，可得y=sin(2x−π6)的图象，从而得出结论本题主要考查函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，左加右减，属于中档题．6.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为lcm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为()A. 14(1−p)B. 11−pC. 11−4pD. 41−p【答案】A【解析】解：圆形钱币的半径为2cm，面积为S圆=π⋅22=4π；正方形边长为1cm，面积为S正方形=12=1．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是P=S圆−S正方形S圆=1−14π，则π=14(1−p)．故选：A．计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P，则π可求．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7.函数y=(e x+e−x)sin x的部分图象大致为()A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数f(−x)=−(e x+e−x)sin x=−f(x)，图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x>0且x→0，f(x)>0，排除A，故选：C．先函数的奇偶性和对称性，然后利用极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及极限思想是解决本题的关键．8.若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，则下列推理：①p∨q⇒￢r；②p⇒￢r；③￢r⇒q；④(￢p)∧((￢q)⇒r.其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，即为p∨q⇒￢r，⇔￢(p∨q)⇒r，⇔(￢p)∧((￢q)⇒r,可得①④正确；由p真，可得p∨q真，即有②正确；由q⇒￢r，可得③错误．故选：C．由复合命题的真假和充分必要条件的定义，可得p∨q⇒￢r，结合等价命题和复合命题的真值表，即可判断正确个数．本题考查复合命题的真假和充分必要条件的定义，考查判断能力，属于基础题．9.若用如图所示的程序框图寻找使1+12+13+⋯+1i>135成立的正整数i的最小值，则图中①②处应填入()A. S>135，输出i B. S>135？，输出i−1C. S>135，输出i−2 D. S<135？，输出i−1【答案】B【解析】解：由程序框图的功能是求使1+12+13+⋯+1i>135成立的正整数i的最小值，则图中①处应填入“S>135？”，②处应填入“i−1”．故选：B．根据题意，模拟程序的运行过程知该程序框图中①②处应填入的内容是什么．本题考查了算法和程序框图的应用问题，主要是对循环结构的理解和运用，是基础题．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 332B. 352C. 372D. 392【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为多面体ABCDEF，底面为矩形ABCD，AB=5，AD=3．侧面CDEF为等腰梯形，EF=1，侧面CDEF⊥底面ABCD，则该几何体的体积V=2×13×2×3×3+12×3×3×1=332．故选：A．由三视图还原原几何体，该几何体为多面体ABCDEF，底面为矩形ABCD，AB=5，AD= 3.侧面CDEF为等腰梯形，EF=1，侧面CDEF⊥底面ABCD.再由棱锥与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2过点F1的直线l与双曲线C的左支变于AB两点，△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，∠F1AF2=90∘，则双曲线C的离心率为()A. √52B. √102C. √3D. √10【答案】B【解析】解：设|AF1|=m，|BF1|=n，由双曲线的定义可得|AF2|=2a+m，|BF2|= 2a+n，由△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，可得12(2a+m)(m+n)−12m(2a+m)=3⋅12(2a+m)m，化简可得n=3m，由直角三角形ABF1可得(m+n)2+(2a+m)2=(2a+n)2，代入n=3m，化简可得m=a，在直角三角形AF1F2中，可得m2+(2a+m)2=4c2，即为a2+9a2=4c2，即c=√102a，则e=ca =√102，故选：B．设|AF1|=m，|BF1|=n，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理和面积公式，化简可得n=3m，m=a，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.若函数f(x)=(x−ax)e x在(0,1)内存在极值点，则实数a的取值范围是()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,0)【答案】A【解析】解：函数f(x)=(x−ax)e x，定义域：{x|x≠0}f′(x)=e x+xe x −ae x．x−ae xx2=e x(x3+x2−ax+a)x2在(0,1)内存在极值点则：f′(x)=e x+xe x −ae x．x−ae xx2=e x(x3+x2−ax+a)x2=0的实数根在(0,1)内，即：x3+x2−ax+a=0的实数根在区间(0,1)内，令g(x)=x3+x2−ax+a，可知：函数g(x)=x3+x2−ax+a在(0,1)存在零点，则根据函数g(x)零点大致区间可得：g(0).g(1)<0，得：2a<0，故：a<0∴实数a的取值范围是：a<0，故选：A．求函数的导数，函数导数f′(x)=0求极值点，极值点在(0,1)内存在，可由函数零点的判断方法可得到结论．本题主要考查函数极值点，利用函数极值点在间的关系，函数零点的判断是解决本题的关键.考查了导数的综合应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设(1−x)(1+x)5=a +a 1x +a 2x 3+a 3x 3+⋯+a 6x 6，则a 1的值为______ 【答案】4【解析】解：由(1+x)5展开式的通项得T r+1=C 5r x r， 则(1−x)(1+x)5展开式x 的一次幂的系数a 1=C 51−C 50=4， 故答案为：4．由二项式定理及展开式通项公式得：(1−x)(1+x)5展开式x 的一次幂的系数a 1=C 51−C 50=4，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．14. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 满足(2a +3b ⃗ )(a −b ⃗ )=−12，则a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ 【答案】2π3【解析】解：∵a ⃗ ,b ⃗ 都是单位向量，且(2a +3b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=−12； ∴2a 2−3b ⃗ 2+a ⋅b ⃗ =2−3+a ⋅b ⃗ =−12； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12；∴|a −b ⃗ |=√(a −b ⃗ )2=√1−1+1=1，(a −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=−12； 设a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cos θ=(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗|a ⃗ −b ⃗ ||b ⃗ |=−12； 又0≤θ≤π； ∴θ=2π3．故答案为：2π3．根据条件进行数量积的运算即可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =12，从而可求出|a −b ⃗ |=1,(a −b ⃗ )⋅b ⃗ =−12，从而可求出cos <a −b ⃗ ,b ⃗ >=−12，这样根据向量夹角的范围即可求出向量的夹角． 考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．15. 已知sin 2(α+π6)+cos 2(α−π3)=32，若α∈(0,π)，则α=______ 【答案】π6或π2【解析】解：由sin 2(α+π6)+cos 2(α−π3)=32得sin 2(α+π6)+cos 2(α+π6−π2)=32， 得sin 2(α+π6)+sin 2(α+π6)=32．得sin 2(α+π6)=34，得sin (α+π6)=±√32，∵α∈(0,π)，∴α+π6∈(π6,7π6)，∴α+π6=π3或α+π6=2π3，α=π6或α=π2．故答案为：π6或π2．根据α−π2=α+π6−π2以及诱导公式变形可得．本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．16. 如图，圆锥SO 的高SO =2，底面直径AB =CD =4，M ，N 分别是SC ，SD 的中点，则四面体ABMN 体积的最大值是______ 【答案】43【解析】解：当AB ⊥CD 时，四面体ABMN 体积取最大值，∵圆锥SO 的高SO =2，底面直径AB =CD =4，M ，N 分别是SC ，SD 的中点，AB ⊥CD ，以O 为原点，OA ，OD ，OS 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∴A(2,0，0)，B(−2,0，0)，S(0,0，2)，C(0,−2,0)，D(0,2，0)，M(0,−1,1)，N(0,1，1)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，1)， 设平面AMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −y +z =0n ⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,0，2)， 点B 到平面AMN 的距离d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=4√5，cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√6⋅√6=23， sin <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=√1−(23)2=√53，∴S △AMN =12×|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =12×√6×√6×√53=√5，∴四面体ABMN 体积的最大值是： V =13×S △AMN ×d =13×√5×4√5=43．故答案为：4．3当AB⊥CD时，四面体ABMN体积取最大值，圆锥SO的高SO=2，底面直径AB=CD=4，M，N分别是SC，SD的中点，AB⊥CD，以O为原点，OA，OD，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四面体ABMN体积的最大值．本题考查四面体的面积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=a cos B+2b sin2A2(1)求A(2)若b=4，AC边上的中线长为√7，求a．【答案】解：(1)∵c=a cos B+2b sin2A2∴sin C=sin A cos B+sin B(1−cos A)，∴sin(A+B)=sin A cos A+sin B(1−cos A)，∴2cos A sin B=sin B，∵sinB≠0，∴cosA=1，2∴A=π；3(2)设AC的中点为M，在△AMB中，由cos A=c2+AB2−BM2，得c=3，2c⋅AM在△ABC中，由a2=b2+c2−2bccosA=13，得a=√13．【解析】(1)利用正弦定理将等式中的边化为角，然后求出cosA即可；(2)利用余弦定理可得c的值，然后再次利用余弦定理可得a的值．本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度(单位：cm).经统计，高度均在区间[20,50]内，将其按[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗．(1)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？(2)用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记X X附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解(1)由题意知5a +0.04×2+0.07=15，解得a =0.01． 样本中优质树苗的个数为100×(0.04+0.01)×5=25， 所填表格为：甲地区 乙地区 合计 优质树苗 5 20 25 非优质树苗 50 25 75 合计 5545100k 2=100(5×25−50×20)225×75×55×45≈16.5>10.828，所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．(2)容量为100的样本中有25颗优质树苗，故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为14， 所以X ～B(4,14)，P(X =k)=C 4k(14)k (34)4−k ，k =0，1，2，3，4，所以X 的分布列为： X 01 2 3 4 P812562764271283641256EX =np =4×14=1．【解析】(1)由题意知5a +0.04×2+0.07=15，解得a =0.01.∴样本中优质树苗的个数为100×(0.04+0.01)×5=25，由此数据可得列联表，求得k 2，根据临界值表可得结果；(2)容量为100的样本中有25颗优质树苗，故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为14，X ～B(4,14)，根据二项分布得概率公式可求得分布列和期望． 本题考查了离散型随机变量的期望与方差、二项分布，属中档题．19. 在如图所示的几何体中，侧面ABCD 为矩形，侧面DEFG 为平行四边形，AB =1AD =2，AG//BF ，AB ⊥BF ，AG =3BF =5，二面角D −AB −F 的大小为60∘ (1)证明，平面CDE ⊥平面ADG(2)求直线BE 与平面ABCD 所成角的大小【答案】证明：(1)由AB ⊥BF ，CD//AB ，AG//BF ，得CD ⊥AG ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面ADG ， 平面CDE ⊥平面ADG ．解：(2)以A 为原点，AB ，AG 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，∵AB ⊥AD ，AB ⊥AG ，∴∠DAG 是二面角D −AB −F 的平面角， ∴∠DAG =60∘， ∴D(0,1，√3)，B(1,0，0)，G(0,3，0)，F(1,5，0)，由DE⃗⃗⃗⃗⃗ =GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得E(1,3，√3)， 设平面ABCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{x =0y +√3z =0，令z =−1，得n ⃗ =(0,√3,−1)， 设BE 与平面ABCD 所成角为θ， 则sin θ=|n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |⋅|BE⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，解得θ=30∘． 故直线BE 与平面ABCD 所成角的大小为30∘．【解析】(1)由AB ⊥BF ，CD//AB ，AG//BF ，得CD ⊥AG ，再由CD ⊥AD ，得CD ⊥平面ADG ，由此能证明平面CDE ⊥平面ADG ．(2)以A 为原点，AB ，AG 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面ABCD 所成角的大小．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 己知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，△PAB 的面积的最大值为√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上存在两点M ，N ，分别满足OM//PA ，ON//PB ，求|OM|⋅|ON|的最大值．【答案】解：(1)由OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，得−2a 2=−4，即a 2=2． 当P 为椭圆上、下顶点时，△PAB 面积最大，则12⋅2a ⋅b =√2，即b =1． ∴椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)设P(x 0,y 0)，k AP ⋅k BP =y 0x 0−a ⋅y 0x 0+a=b 2(1−x 02a 2)x 02−a 2=−b 2a 2=−12．设M(√2cos α,sin α)，N(√2cos β,sin β)， 由k OM ⋅k ON =sin αsinβ√2cosα⋅√2cosβ=k AP ⋅k BP =−12， 即sin αsin β+cos αcos β=0，∴cos(α−β)=0，得α−β=π2+kπ，k ∈Z ． ∴cos 2β=sin 2α，sin 2β=cos 2α.|OM|⋅|ON|=√2cos 2α+sin 2α⋅√2cos 2β+sin 2β=√1+cos 2α⋅√1+sin 2β=√(1+cos 2α)(2−cos 2α)≤32．等号成立时，cos 2α=12，比如M(1,√22)，N(−1,√22). 【解析】(1)由已知向量等式求得a ，结合三角形面积求得b ，则椭圆方程可求；(2)设P(x 0,y 0)，求得k AP ⋅k BP =y 0x 0−a ⋅y 0x 0+a =−12.再设M(√2cos α,sinα)，N(√2cos β,sin β)，由k OM ⋅k ON =k AP ⋅k BP 得到cos(α−β)=0，得α−β=π2+kπ，k ∈Z.则cos 2β=sin 2α，sin 2β=cos 2α.可得|OM|⋅|ON|=√2cos 2α+sin 2α⋅√2cos 2β+sin 2β，化为关于α的余弦求|OM|⋅|ON|的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．21. 已知a ≤8.函数f(x)=a1nx −x 2+5，g(x)=2x +a x(1)若f(x)的极大值为5，求a 的值(2)若关于x 的不等式f(x)≤g(x)在区间[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围，(1n2≈0.7)【答案】解：(1)函数f(x)=a1nx −x 2+5，函数的定义域为{x|x >0}，函数的f(x)的导数f′(x)=a x−2x =a−2x 2x ， 当a ≤0，则f′(x)<0，此时函数单调递减无极大值，∴a >0， ∴f(x)在(0,√a 2)上单调递增，在(√a 2,+∞)上函数单调递减，函数f(x)的极大值为：f(√a 2)=5， 解得：a =2e ；(2)关于x 的不等式f(x)≤g(x)在区间[1,+∞)上恒成立，即：a1nx −x 2+5−2x −a x ≤0在区间[1,+∞)上恒成立，令为ℎ(x)=a1nx −x 2+5−2x −a x ，x ∈[1,+∞)则有：ℎ′(x)=a x −2x −2+a x 2=−(2x 2−a)(x+1)x 2，①当 a ≤2时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在区间[1,+∞)上单调递减，ℎ(x)最大值=ℎ(1)=2−a ≤0，即：a ≥2，∴a =2；②当a >2时，ℎ(x)在区间[1,√a 2)上单调递增，在区间(√a 2,+∞)上单调递减， ℎ(x)最大值=ℎ(√a 2)=a 21n a 2−a 2+5−2√2a ≤0， 令a 2=t ∈(1,4]，即：t1nt −t +5−4√t ≤0，令u(t)=t1nt −t +5−4√t ，u′(t)=1nt −√t ，由u(t)在(1,4]上单调递增，且u′(1)<0，u′(4)>0，知存在t 0∈(1,4]使得且u′(t 0)=0，u(t)在区间(1,t 0)上单调递减，在区间(t 0,4]上单调递增，又且u(1)=0，u(4)=41n4−7=8ln 2−7<0，∴t1nt −t +5−4√t ≤0，在t ∈(1,4]上恒成立，∵已知a ≤8，故：2<a ≤8，即a 的取值范围是：a ∈(2,8]【解析】(1)f(x)的极大值为5，由函数极值的定义可得a 的取值，(2)不等式f(x)≤g(x)在区间[1,+∞)上恒成立，通过不等式变形分离参数a 求最值，或令新函数再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．考查利用导数研究函数的极值，最值，以及恒成立问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−√22t y =a +√22t(t 为参数，a ∈R)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cosθ(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 过点P(1,1)且与曲线C 交于AB 两点，求|PA|+|PB|【答案】解(1)由{x =−√22t y =a +√22t消去参数t 可得直线l 的普通方程为：x +y −a =0， 由ρsin 2θ=2cosθ得ρ2sin 2θ=2ρcosθ可得曲线C 的直角坐标方程为：y 2=2x ．(2)将P(1,1)代入x +y −a =0可得a =2，所以直线l 的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t (t 为参数)将其代入曲线C 的普通方程得：t 2+4√2t −2=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=−4√2，t 1t 2=−2<0，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√32+8=2√10．【解析】(1)消去参数t 可得直线l 的普通方程，根据互化公式可得曲线C 的普通方程．(2)根据直线参数方程中参数条的几何意义可得．本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化普通方程，参数t 的几何意义，属中档题．23. 设函数f(x)=|2x −3|+|x +2|(1)求不等式f(x)≤5的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)≤a −|x|在区间[−1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围【答案】解：(1)f(x)≤5即为|2x −3|+|x +2|≤5，当x ≥32时，2x −3+x +2≤5，解得32≤x ≤2；当−2<x <32时，3−2x +x +2≤5，解得0≤x <32；当x ≤−2时，3−2x −x −2≤5，解得x ∈⌀．可得不等式的解集为[0,2]；(2)关于x 的不等式f(x)≤a −|x|在区间[−1,2]上恒成立，可得|2x −3|+|x +2|+|x|≤a ，设g(x)=|2x −3|+|x +2|+|x|，即g(x)=x +2+|x|+|2x −3|，−1≤x ≤2，≤x≤2时，g(x)=x+2+x+2x−3=4x−1；当32时，g(x)=x+2+x+3−2x=5；当0<x<32当−1≤x≤0时，g(x)=x+2−x+3−2x=5−2x．可得g(x)的最大值为g(−1)=g(2)=7，可得a≥7．即a的范围是[7,+∞)．【解析】(1)运用绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；(2)由题意可得|2x−3|+|x+2|+|x|≤a，设g(x)=|2x−3|+|x+2|+|x|，对x讨论，去绝对值，由一次函数的单调性可得g(x)的最大值，可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
2019届重庆市第一中学高三下学期4月月考数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市第一中学高三下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ） A ．(0,1) B ．(2,2]-C ．(,2]-∞D ．(2,1)-【答案】B【解析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U . 【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =. 由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-. 所以(]2,2A B =-U 故选：B 【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A ．2B C ．14D 【答案】A【解析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z . 【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=. 所以由()2201913z ii +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3．设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4．已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标. 【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +. 根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +. 又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y = 即(1,2)Q 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5．我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A ．得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B ．得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C ．得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D ．所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24 【答案】D【解析】根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为12345,,,,a a a a a ,由等差数列的通项公式可得5113(51)12a a a =+⨯-=+，进而由等差数列的前n 项和公式可得1555602a a S +=⨯=, 解可得1a 的值，分析各个选项即可得答案． 【详解】根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为12345,,,,a a a a a ，则这5个数组成以3为公差的等差数列.所以5113(51)12a a a =+⨯-=+ 又5个人共分60个橘子，则有1555602a a S +=⨯=,即1524a a +=. 所以111224a a ++=，解得：16a =所以这5个人分得的橘子数分别为：6，9，12，15，18. 由此可得选项A ，B ，C 正确.选项D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为27，故D 错误. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，关键是建立等差数列的模型，分析其首项与公差，属于基础题．6．已知实数,x y 满足不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．3-C ．1D ．13【答案】A【解析】通过实数,x y 满足约束条件直接画出此二元一次不等式组表示的平面区域；平移目标函数23z x y =-，观察分析即可求出z 的最小值. 【详解】由不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩作出平面区域：将目标函数23z x y =-化为：233z y x =-. 要求23z x y =-的最小值，即求直线233zy x =-的截距的最大值.由图可知直线233zy x =-过点(2,2)A 时截距最大，z 值最小.即z 的最小值为：2- 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力与作图能力，以及表达式的几何意义．属于基础题. 7．为计算111123234567S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i ≥【答案】C 【解析】由1(1)(2)S S i i i =+++，根据循环，将选项中的条件代入逐一判断，从而判断出选项. 【详解】A ：5?i >，则运算出的结果为1111123234567678S =++⋯++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故错误.B: 5?i <,则1i =时就结束，得到1123S =⨯⨯，故错误.C ：4?i >，则5i =时结束，结果为111123234567S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯，正确.D ：4?i ≥，则4i =时结束，结果为111123234456S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故错误. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.8．某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（ ） A ．1124B ．38C ．512D ．15【答案】D【解析】根据所有的分配方案有66A 种，其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有124324C A A ⨯⨯ ，从而求得甲、乙两人恰好在同一年级的概率．【详解】将这6个人随机安排他们每人担任一个班的班主任的分配方案有66A 种. 其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有124324C A A ⨯⨯.则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是1243246615C A A P A ⨯⨯== 故选：D 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．9．如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，图中粗线的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．283π C ．16πD ．263π 【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由一个圆柱上叠放一个底面半径相同的圆锥的一半构成的几何体，由此求出几何体的体积． 【详解】根据三视图，该几何体是由一个圆柱上叠放一个底面半径相同的圆锥的一半构成， 圆锥、圆柱的底面半径为2，高都为2， 所以体积为11284242233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，属于中档题． 10．已知α为象限角，且满足sin 2cos 1a a +=，则22sin cos 2sin cos αααα⋅=-（ ）A ．6-B ．6C ．1223-D ．1223【答案】A【解析】由sin 2cos 1a a +=两边平方可以求出tan a 的值，然后将22sin cos 2sin cos αααα⋅-分子、分母同时除以2cos a 转化为tan a 的式子可求解. 【详解】α为象限角，则cos 0α≠ .由sin 2cos 1a a +=两边平方得：22sin 4sin cos 4cos 1αααα++=.即24sin cos 3cos 0ααα+=，所以4sin 3cos αα=-. 所以3tan 4α=-. 22223sin cos tan 462sin cos 2tan 13214αααααα-⋅===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式及应用，考查运算能力，属于中档题．11．四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB =，该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为6，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．9πC ．12πD ．18π【答案】D【解析】把四棱锥补成正四棱柱，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算． 【详解】由四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD .则可以把四棱锥补成正四棱柱，则四棱锥的外接球是正四棱柱的外接球， 所以正四棱柱的对角线长等于球的直径,设球的半径为R .,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 6.所以底面ABCD 截球所得圆的直径等于直线EF 被球面所截得的线段长. 由ABCD 为正方形，所以AC 也为底面ABCD 截球所得圆的直径.所以AC =.由ABCD 为正方形，则AB =又2PA AB =，所以PA =因此PC ===所以2PC R = ，即R =所以球的表面积为24182ππ⎛= ⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．属于中档题12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()(0)f x f x f --=，当[0,2]x ∈时，()x x f x e =，关于x 的不等式21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．211,2e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2313,2e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．211,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2313,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】判断出函数()f x 的周期性，得出不等式在[0,2]上有1个整数解，再根据()f x 在[0,2]上的单调性得出1个解为1，列出不等式组求出a 的范围． 【详解】 由条件由00(0)0f e==.又(4)()(0)f x f x f --=，则(4)()0f x f x --= 又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-.所以有(4)()f x f x -=-，则()f x 为周期为4T = 的周期函数.当[0,2]x ∈时，()x x f x e =,则1()xx f x e -'= 所以()f x 在[0,1) 上单调递增，在(1,2] 上单调递减.当[0,2]x ∈时,22(2)f e =, 10()(1)f x f e≤≤=. 由()f x 为偶函数，则当[2,2]x ∈-时，10()f x e≤≤.又()f x 为周期为4T = 的周期函数，所以10()f x e ≤≤由21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭有()1()()202f x f x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭.则1()02f x -<，所以()20f x a +>. 所以21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解.即()20f x a +>在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解. 所以()20f x a +>在一个周期[2,2]-上有且只有2个整数解 由()f x 为偶函数，所以()20f x a +>在[0,2]上有且只有1个整数解 所以(2)2(1)f a f ≤-<，即2112a e e-<≤ 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，函数周期的应用，根据整数解的个数求参数范围，属于难题．二、填空题13．设(1,2)a =r ，(1,)λ-=r b ，若//a b r r ，则a b ⋅=r r______. 【答案】5-【解析】先由向量平行求出参数λ的值，然后再利用向量的数量积的坐标公式求数量积. 【详解】由(1,2)a =r ，(1,)λ-=r b ，//a b r r.则1(1)20λ⨯--⨯=，解得：2λ=- .所以(1,2)=--rb ，则1(1)2(2)5a b ⋅=⨯-+⨯-=-r r故答案为：5- 【点睛】本题考查向量的平行的应用和求向量的数量积，属于基础题. 14．若对任意0x >，224xa x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围为______.【答案】1[,)2+∞【解析】由224x a x x ≤-+恒成立，只需求出224xx x -+的最大值，再由214242x x x x x=-++-，结合均值不等式可求出最大值，得到答案.【详解】 设2()24xf x x x =-+. 对任意0x >，224xa x x ≤-+恒成立.即max ()a f x ≥.211()42422x f x x x x x ==≤=-++-(当且仅当2x =时取等号） 所以12a ≥ 故答案为：1[,)2+∞【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数范围和根据均值不等式求最大值，属于基础题.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为12(c,0),F (c,0)(c 0)F ->，过点(3,0)M c 作该双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若||5OP b =，则双曲线C 的离心率为______.【解析】根据双曲线的几何性质有2(,0)F c 到双曲线的一条渐近线的距离为b ，由三角形相似可以求出||PM 的长，然后在直角三角形OPM 中，33tan 55PM b b POM a PO b ∠==== ，从而可以求出离心率. 【详解】2(,0)F c 到双曲线的一条渐近线0ay bx -=的距离为：d b ==如图过2F 作2F N OP ⊥ 交OP 于N 点，则2//NF MP .由2ONF OPM ≅△△ 可得，22133OF NF c OM PM c === 所以3MP b =,又||5OP b =.在直角三角形OPM 中，33tan 55PM b b POM a PO b ∠==== 即35b a =，所以229341125c b e a a ==+=+= 故答案为：345. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质和求离心率，属于中档题.16．已知n S 是各项为正数的数列{}n a 的前n 项和，且211n n n n a a S a a S -=+，则n S =______.【答案】122n +-【解析】先求出1a 的值，然后消去n S 得到数列{}n a 的递推关系()122n n a a n -=≥，可得{}n a 为等比数列，从而可求解n S . 【详解】当1n =时，321111a a a a -=+，解得：12a =(10a =或-1舍)则222n n n n a S a S -=+，即()()()1211n n n n S a a a +=+-因为0n a >，所以22n n S a =-……当2n ≥ 时，1122n n S a --=-……由—得()1222n n n a a a n -=-≥，即12n n a a -=所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 所以()12122212n n nS +-==--故答案为：122n +-. 【点睛】本题考查根据含n a 和n S 的递推关系求通项和等比数列的前n 项和，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设3C π=且1sin sin sin sin 442b A Cc A B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）已知函数()sin(3),,124f x x A x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域. 【答案】(1)12π; (2) 1[,1]2【解析】(1)由正弦定理将边化为角的正弦再利用两角和的正弦的公式展开可得到)2sin cos sin cos 1B C C B -=，然后由两角和的正弦公式逆用结合角的范围可求解.(2)由（1）可得到()f x 的解析式，根据角的范围可求值域. 【详解】(1)由条件1sin sin sin sin 442b A Cc A B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有： 1sin sin sin sin sin sin sin 442B AC C A B A ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 则1sin sin sin sin 442B C C B ππ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即22221sin cos sin cos 22222B C C C B B ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2sin cos sin cos 1B C C B -=即()2sin 2B C -= 由3C π=,则203B π<<,33B C ππ-<-<.所以4B C π-=,4B C π-=.7412B C ππ=+=所以712312A ππππ=--= (2)由（1）可知()sin(3)12f x x π=+当,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，53,3126x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(3)1212x π≤+≤ 所以函数()f x 的值域为1[,1]2. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦公式的应用，考查三角函数求值域，属于基础题. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面111A AC C ⊥底面ABC ，四边形11AAC C 为菱形，ABC V 是边长为2的等边三角形，160A AC ︒∠=，点O 为AC 的中点.（1）若平面11A B C 与平面ABC 交于直线l ，求证：//l AB ； （2）求二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】(1) 证明见解析； （25 【解析】（1）由条件有11//A B 平面ABC ，根据线面平行的性质可证.（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1） 证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC .所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C I 平面=ABC l 所以11//l A B ，所以//l AB .（2）由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒∠=所以1A BC V 为等边三角形且点O 为AC 的中点.. 则1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C I 底面ABC AC =. 所以1A O ⊥平面ABC .又ABC V 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 则BO AC ⊥.所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以())()((110,0,0,3,0,0,0,1,0,3,,3O BC C A设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. (()1113,0,3,0,2,0BA AC =-=u u u r u u u u r则11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v vu u u u v v ，即11133020x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 取()1,0,1n =r设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r.()()13,0,3,3,1,0BA BC =-=-u u u r u u u r则100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v ，即111133030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取()1,3,1m =u r所以5cos ,525n m n m n m⋅===⨯⋅r u rr u r r u r . 所以二面角11C A B C --的余弦值为5. 【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题. 19．某公司生产一种新产品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.（1）用每组区间的中点值代表该组数据，估算这批产品的样本平均数x 和样本方差的2s ；（2）从指标值落在[215,235]的产品中随机抽取2件做进一步检测，设抽取的产品的指标在[225,235]的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布()2,N μσ，μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，若产品质量指标值大于236.6，则产品不合格，该厂生产10万件该产品，求这批产品不合格的件数. 15012.2=，()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=，(33)0.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）200x =，2150s = ；（2）分布列见解析，25EX =（3）150 【解析】（1）利用频率分布直方图中的数据求出样本的平均数和方差.（2）先分别求出指标值落在[215,235]和[225,235]的产品件数，再得X 的取值为0，1，2，分别计算其概率，得出分布列和数学期望.(3)先计算出产品质量指标值大于236.6的概率，再求解产品的件数. 【详解】 （1）1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）指标值落在[215,235]的产品有()1000.080.0210⨯+=件. 产品的指标在[225,235]的件数为1000.022⨯=. 所以X 的取值为0，1，2()2821028045C P X C === , ()118221016145C C P X C ⋅===,()222101245C P X C === 所以X 的分布列为X 的数学期望28161182012454545455EX =⨯+⨯+⨯== (3)由（1）可知2150σ=，则12.2σ== 则这种产品的质量指标值服从正态分布()2200,12.2N产品质量指标值大于236.6的概率为()()10.9970.003236.6322P X P X u σ->=>+== 所以生产10万件该产品不合格的件数：50.003101502⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题和正态分布中的相关计算，解题时应利用直方图进行简单的计算，是中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为4，1F ，2F 分别为椭圆C 的左，右焦点，点E 是椭圆C 上的任意一点，12F F E △面积的最大为3，且取得最大值时12F EF ∠为钝角.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆222:()0O x y r r +=>，点M 为圆O 上任意一点，过点M 的切线分别交椭圆C 于,P Q 两点，且0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求r 的值.【答案】（1）2214x y += （2）255 【解析】(1)由条件2a =，当点E 在短轴的端点1B (或2)B 时，12F F E △的面积最大得max 1232S c b =⨯⨯=，又当12F F E △的面积取得最大值时12F EF ∠为钝角得 c b >，可解出椭圆方程.(2)分切线的斜率存在和不存在两种情况计算，由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y += 方程联立代入结合直线l 与圆O 相切计算可得答案. 【详解】(1)设()1,0F c -，()()2,00F c c >短轴的端点分别为12,B B .由椭圆的长轴为4，则2a =.当点E 在短轴的端点1B (或2)B 时，12F F E △的面积最大，则max 1232S c b =⨯⨯= ……当12F F E △的面积取得最大值时12F EF ∠为钝角. 即1145F B O ∠>o，所以11tan 1cF B O b∠=>，即c b >…………… 又2224a b c =+= ………由解得：1,3b c ==所以椭圆方程为：2214x y +=.(2)设圆O 上过点M 的切线为直线l .当直线l 的斜率不存在时，:l x r =±，则,,P r Q r ⎛⎛±± ⎝⎝ 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即22104r r ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：245r =.当直线l 的斜率存在时，设y kx m =+ 由直线l 与圆O相切得：r =即：222(1)m r k =+.设()()1122,,,P x y Q x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222148440k x kmx m +++-= 则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++ 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=所以()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210kx xkm x x m ++++=所以()22222448101414m km k km m k k --+⋅+⋅+=++即222544014m k k--=+，则22544m k --. 由222(1)m r k =+得()()2225141r kk +=+.所以245r =. 综上所述r. 【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考查方程联立韦达定理的舍而不求的思想方法，属于难题.21．已知函数()ln 2(,)x f x axe b x x a b R =--∈. （1）讨论0a =时，函数()f x 的单调性；（2）若2b =，函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0b ≥ 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0b < 时，()f x 在(0,)2b-上单调递增，在(,)2b -+∞上单调递减. （2）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(1)当0a =时，求出函数()f x 的导函数()f x '，讨论()0f x '>和()0f x '<，对b 进行讨论即可. (2)分离参数得方程()()2ln 0xx x a x xe+=>有两个根，设函数()()2ln ()0xx x g x x xe+=>，讨论()g x 的单调性，从而可得到答案. 【详解】(1) 当0a =时，()ln 2f x b x x =--，则()2()20b x b f x x x x+'=--=-> 当0b ≥ 时，()0f x '≤ 在(0,)+∞上恒成立，则此时()f x 单调递减.当0b < 时，由()0f x '<，即20x b +>，得2b x >- 由()0f x '>，即20x b +<，得02b x <<-. 综上所述，当0b ≥ 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0b < 时，()f x 在(0,)2b -上单调递增，在(,)2b-+∞上单调递减.. (2) 函数()f x 有两个零点，即方程()()2ln 0xx x a x xe+=>有两个根. 设()()2ln ()0xx x g x x xe+=> 则()()()()()()()()22212[11ln ]2[11ln ]21ln 1]()x x x x x xe e x x x x x x x x x x x g x x e x e xe ⎛⎫+-++ ⎪+-++-++-⎝⎭'===设()ln 1h x x x =+-，则1()10h x x'=+> 所以()h x 在()0,∞+ 上单调递增且(1)0h =.所以当1x > 时，()0h x >;当01x << 时. ()0h x <.所以当1x > 时，()0g x '< ，()g x 在()1,+∞上单调递减. 当01x << 时，()0g x '>,()g x 在()0,1上单调递增. 因此2()(1)g x g e≤=. 又当1x > 时，()2ln ()0xx x g x xe+=>且x →+∞时，()0g x →. 111112(ln )2(1)1()011e ee e e g e e e e e+-+==< 方程()()2ln 0xx x a x xe +=>有两个根.则20(1)a g e<<=所以函数()f x 有两个零点实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的含参数的单调性的讨论和根据函数的零点个数求参数的范围问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:(1)(2)9C x y -++=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （2）直线()3p R πθ=∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于,P Q 两点，求||||||OM OP OQ ⋅⋅的值.【答案】(1) 曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ-+-=,直线l 的普通方0y +-=.(2)3【解析】(1)利用极坐标和平面直角坐标的互化公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+= 直接进行计算.(2)将3πθ=代入真线l 的极坐标方程可得||OM 的值，将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程可得||||OP OQ ⋅的值，从而得出答案.【详解】(1)由曲线22:(1)(2)9C x y -++=，得222440x y x y +-+-=所以曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ-+-=.由直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππρθρθ+=所以直线l 0y +-=.(2)将3πθ=代入直线l 的极坐标方程可得2sin 3πρ=得ρ= .所以||OM =将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程可得()2140ρρ--=.设,P Q 两点的极坐标分别为12,,,33ππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则12||||4OP OQ ρρ⋅==.所以||||||OM OP OQ ⋅⋅=4==【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化和极坐标的几何意义的应用，属于中档题. 23．已知函数()|1|f x ax =-.（1）当1a =时，解不等式1()||2f x x -…； （2）若(1)f M ≤，(2)f M ≤，求证：13M ≥. 【答案】(1) 3|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭(2) 证明见解析. 【解析】（1）利用零点分段的方法分段打开绝对值，从而解不等式.（2）由条件有1a M -≤，12a M -≤，然后用绝对值的三角不等式可证明结论.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x =-，由1()||2f x x -…，则1|1|||2x x --… 即解不等式1|||1|2x x --≥，由101210111x x x x x x -≤⎧⎪--=-<<⎨⎪≥⎩所以当0x ≤时，0112x ≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，显然无解. 当1x ≥时，1112x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩ ，得1x ≥ 当01x <<时，011212x x <<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得：314x ≤< 所以不等式1()||2f x x -…的解集为3|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭（2）由(1)f M ≤，(2)f M ≤，即1a M -≤，12a M -≤ 所以()()32211222121M M M a a a a =+≥-+-≥---=所以31M ≥，即13M ≥【点睛】本题考查利用零点分段法解含绝对值的不等式和利用绝对值的三角不等式证明不等式，属于中档题.。
重庆市第一中学2021届高三下学期4月月考(理)数学试题
8．某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（）
A． B． C． D．
9．如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，图中粗线的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
（2）若 ， ，求证： .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先通过解不等式得出集合 ，然后再求 .
【详解】
由 得， ，即 .
由 得， ，即 .
所以
故选：B
【点睛】
本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.
2．A
【分析】
由 先求出复数 ，然后再求 .
【详解】
由 .
所以由 得：
即 ，故：
参考数据： ， ， ， .
20．已知椭圆 ，长轴长为4， ， 分别为椭圆 的左，右焦点，点 是椭圆 上的任意一点， 面积的最大为 ，且取得最大值时 为钝角.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知圆 ，点 为圆 上任意一点，过点 的切线分别交椭圆 于 两点，且 ，求 的值.
21．已知函数 .
（1）讨论 时，函数 的单调性；
A．得到橘子最多的诸侯比最少的多12个
B．得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人
C．得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12
D．所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24
6．已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为（）
A． B． C．1D．13
7．为计算 ，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考（理）数学试题
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秘密★启用前数学（理科）测试试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则||z =A ．0B ．12C ．1D ．322. 已知集合{}1A x y x==-，{}2230B x x x x Z =--<∈，，则()R C A B I = A ．{}1 B ．{}2 C ．{}21， D ．{}321，， 3. 若4log 3=a ，4.06.0=b ，2log 21=c ，则实数c b a ，，的大小关系为A. c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >>4. 下列说法正确的是A . 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ．B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件． C . 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”． D . 命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 5. 执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是 A ．5≤i B ．6≤i C ．7≤i D ．8≤i 6. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师 （第5题） 看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对 了，有且只有一人说对了。
”请问下列说法正确的是A .甲说对了B . 甲做对了 C. 乙说对了 D. 乙做对了 7. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以 盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。
右图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。
在ABC ∆内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为 A.21 B. 31C. 41 D. 51开始否是输出S 结束1i i =+0,1S i ==-12i S S =+8. 将函数()()1sin 22sin sin 322-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x f ππ的图像向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为A ．6πB ．32πC ．2πD ．3π9. 已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论： ①若m 、n 互为异面直线，ββαα//,//,//,//n m n m ，则βα//； ②若n m ⊥，α⊥m ，β//n ，则βα⊥； ③若n α⊥，α//m ，则n m ⊥；④若βα⊥，α⊥m ，m n //，则β//n . 其中正确的是A. ①②B.②③C. ③④D. ①③10. 在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且3=a ，A B B C sin )cos 3(sin sin 3+=，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为A ．21 B ．1 C ．23D ．211. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字 0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个 A. 71 B. 66 C. 59 D. 5312. 设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数()[]()⎩⎨⎧≤+>--=0,10,1ln ln 2x ax e x x x x f x，若关于x 的方程()1=x f 有且只有5个解，则实数a 的取值范围为A. ()1,-∞-B. ()e -∞-,C. (]1,-∞-D.(]e -∞-,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若实数y x ，满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =-的最大值是_____. 14. 已知平面向量,的夹角为3π1=a ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21，则()=⋅+2_____. 15. 在()0>⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a x n的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x的项的系数为______.16. 已知抛物线()04:2>=m mx y C 与直线0=--m y x 交于A 、B 两点（A 、B 两点分别在x 轴的上、下方），且弦长8=AB ，则过B A ，两点、圆心在第一象限且与直线0345=+-+y x 相切的圆的方程为______.三．解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分17. 已知数列{}n a 满足：111,2n n n a a a +≠=-()*∈N n ，数列{}n b 中，11n n b a =-，且124b b b ，，成等比数列. (1)求证：数列{}n b 是等差数列；(2)若n S 是数列{}n b 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。
该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X （N X ∈）个，以x （单位：个，100150,x x N ≤≤∈）表示当天的市场需求量，T （单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润. 需求量/个 [)100,110[)110,120[)120,130[)130,140[]140,150天数1525302010（1）当135x =时，若130X =时获得的利润为1T ，140X =时获得的利润为2T ，试比较1T 和2T 的大小； （2）当130X =时，根据上表，从利润T 不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天，（i ）求此时利润T 关于市场需求量x 的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii ）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,4=AB 060=∠DAB ,PD AP ⊥,,32=AP4=BP ,M 为AD 的中点.（1）求证：平面BPM ⊥平面APD ；（2）若点N 在线段BC 上，当直线PN 与平面PMC 所成角的正弦值为86时，求线段BN 的长.20. 已知点()1,0-D ，过点D 作抛物线()02:21>=p py x C 的切线l ，切点A 在第二象限.（1）求切点A 的纵坐标；（2）有一离心率为22的椭圆2C :()012222>>=+b a b ya x 恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆2C 的另一交点为点B ，记切线l 、OA 、OB 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若k k k 421=+，求椭圆2C 的方程.21．已知函数()42xe xf x -=，其中e 为自然对数的底数. （1）设函数()()()x f x x g '1+=（其中()x f '为()x f 的导函数），判断()x g 在()+∞-,1上的单调性； （2）若函数()()()41ln +-+=x af x x F 在定义域内无零点，试确定正数a 的取值范围.(二）选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:2cos .3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求1C 与2C 交点的直角坐标；（2）若直线l 与曲线1C ,2C 分别相交于异于原点的点,M N ,求||MN 的最大值.23．设函数()2121f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤-，求实数m 的取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且正数b a ,满足m b a =+，证明：122≥+ab b a .数学（理科）答案一．选择题CCABB ACDDC AA 二．填空题 13. 2 14. 5215. 16. ()()244122=-+-y x 三．解答题17. 解：（1）1111111121111111=---=----=---=-++n n n n nn n n n a a a a a a a b b∴数列{}n b 是公差为1的等差数列；（2）由题意可得()()311121,4122+=+=b b b b b b 即 ，所以11=b()21n +=∴n n S ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∴1112121n n n n n S 12111211131212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-⨯=n n n n n T n Λ 18.（1）130X =时，65051301=⨯=T 元；140X =时, 6605351351=⨯-⨯=T 元 ， ∴21T T >； （2）（i ）当130X =时，利润8390,100130=650130150x x T x -≤<⎧⎨≤≤⎩，当5708390570,130T x x ≥-≥≤<时，即即120 ，又570650>，所以利润T 不少于570元时，需求量150120≤≤x ，共有60天 ， 按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数：3216=⨯， （ii ）由题意可知=0123ξ，，，,其中()20103633===C C P ξ, ()2091361323===C C C P ξ,()2092362313===C C C P ξ ,()20133633===C C P ξ . 故ξ的分布列为P 012 3ξ201209 209 201()2320132092209=⨯+⨯+=∴ξE 19. （1）证明：由题意易得AD BM ⊥,且32=BM ，在APD Rt ∆中，()232422=-=PD ,060=∠∴PDA ,2=∴PM , 在PMB ∆中，222BP BM PM =+,MB PM ⊥∴ 又M PM AD =⋂，APD BM 面⊥∴, 又BPM BM 面⊂∴，∴平面BPM ⊥平面APD（2）由（1）可知APD BM 面⊥ ， 所以以点M 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()，3,1,0,0,0,0P M (),0,4,32C()0,,32a N 设()40≤≤a ，则()3,1,32--=a PN ，()3,1,0=MP ,()0,4,32=,设平面PMC 的一个法向量为()z y x ,,=()1,3,21,3,204320300-==-==⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y x y x z y MP m ，所以，则令由()()2433136cos ,4311213a m PN a ---∴==+++-+u r u u u r ， 解得2=a 或8=a （舍） 故2=BN20.解：（1）设切点),(00y x A 则有，p x y 2200=由切线l 的斜率为，p x k 0=得l 的方程为，p x x p x y 2200-=又点)1,0(-D 在l 上所以px 212=即，10=y 所以点A 的纵坐标.10=y（2）由（1）得)1,2(p A -，切线斜率，p k 2-=设),(11y x B ，切线方程为1-=kx y由22=e 得2122=a c 又222b a c -=，所以222b a =所以椭圆方程为122222=+by b x ，由⎩⎨⎧=+-=222221b y x kx y 得0224)21(222=-+-+b kx x k 22102102122,214k b x x k k x x +-=+=+∴又因为k k k 421=+，即k b kk k b k kk x x x x k x x kx x kx x x x y x y x x y x y 4122212-22142)(2)1()1(222210011010011010011100=--=++-=+-=-+-=+=+解得22=b ，所以4222==b a .所以椭圆方程为12422=+y x 21.解：（1）因为错误!未找到引用源。