导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

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导数及其应用

【考纲说明】

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】

一、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量，那么函数y 相应地有增量=f （x 0+）－f （x 0），比值叫做函

x ∆y ∆x ∆x y

∆∆数y=f （x ）在x 0到x 0+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我

x ∆x y ∆∆x x f x x f ∆-∆+)()(000→∆x x y

∆∆们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|。

0x x =即f （x 0）==。

0lim →∆x x y

∆∆0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指时，x y ∆∆有极限。如果不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，

0→∆x x y

∆∆或说无导数。

（2）是自变量x 在x 0处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。x ∆0≠∆x y ∆由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f （x 0+）－f （x 0）；

y ∆x ∆（2）求平均变化率=；

x y ∆∆x x f x x f ∆-∆+)

()(00（3）取极限，得导数f’(x 0)=。

x y

x ∆∆→∆0lim

二、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数

① ② ③; ④;

0;C '=()1;n n x nx -'=(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-⑤⑥

; ⑦; ⑧.

();x x e e '=()ln x x

a a a '=()1ln x x '=

()1

l g log a a o x e

x '=四、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

.)'

''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，

即：

.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

'

''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.

)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

‘=（v 0）。

⎪

⎭⎫ ⎝⎛v u 2''v uv v u -≠形如y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x

[x (ϕ])五、导数应用1、单调区间：

一般地，设函数在某个区间可导，

)(x f y =

如果，则为增函数；

'

f )(x 0>)(x f 如果，则为减函数；

'f 0)(

'

f 0)(=x )(x f 2、极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ(x)在(a ，b)内的极值；

②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

③将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4．定积分

(1)概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把

∑n

i f

1

＝n →∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：

，即

＝

⎰

b

a

dx

x f )(⎰

b a

dx

x f )((ξi)△x 。

∑=∞

→n

i n f

1

lim 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，

f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：

＝C ；

＝＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；

⎰dx 0⎰dx x m

1

11++m x

m dx ＝ln ＋C ；＝＋C ；

⎰x 1

x ⎰dx e x x e ＝＋C ；＝sinx ＋C ；＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。

⎰dx a x a a x

ln ⎰xdx cos ⎰xdx sin (2)定积分的性质

①（k 为常数）；

⎰⎰=b

a b

a

dx

x f k dx x kf )()(②

；

⎰⎰⎰±=±b

a b

a

b

a

dx

x g dx x f dx x g x f )()()()(③（其中a ＜c ＜b 。

⎰

⎰⎰+=b

a

c a b

c

dx

x f dx x f dx x f )()()()(3)定积分求曲边梯形面积