大学物理 第四章 机械振动和机械波
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第七章
本章内容
第一节
机械振动
动画
动 画 用 图
动力学方程
动力学方程
正X向 反X向
x
微分形式
微分方程
弹簧振子
x
动画
例
运动方程
最大
最大 最大 A A
振动曲线
特征参量
振幅、角频率
初相
相位
相位差
计算方法
例
简谐运动方程
x = A cos ( t﹢ )
振幅矢量
v
A
ut
ut
平 面 波
球 面 波
R1
O
R2
S2 S1
新波阵面
原波阵面
t+t 时刻
t 时刻
ut
障碍物的小孔成为新的波源
1 波的反射 波的反射定律
反射线与入射线和界面法线位 于同一平面内，并且入射线与法 线的夹角(入射角)等于反射线与 法线的夹角(反射角).这就是波的 反射定律. I 界面
N
i i
-5 5
2 3
x
t1
2 3
(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过 2 T 2 2 t s t t2 t1 ) 3 3 3 3
振动能量
谐振子能量
A
A
A
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
处于
与
之间
例
书例9
例
书例11
第一节
机械波的产生
振动的传播过程称为波动。
产生机械波的必要条件：
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
横波
质点的振动方向与波的传播方向垂直
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量表达式
续上
例
书例8
能量
能量
第三节
第三节
4-4
compose of simple harmonic motion
振动合成
振动合成
同向同频合成
同向同频
合成振幅
分振动
合振动
其中，合振幅
； 合振幅
若
若
则
则
为合振幅可能达到的最大值
值为合振幅可能达到的最小
若
则
若
则
若
为其它值，则
用惠更斯原理证明折射定律
r
R
用惠更斯原理证明折射定律
当波在第一种介质中通过距离 BB′时，波在同一时间内将在另 一种介质中通过距离AA′.二者之 比应等于波在两种介质中的波速u1、 u2之比，即有
i
BB' / AA' u1 / u2
因为
r
所以
BB' AB' sin i, AA' AB' sin r ' sin i BB u1 ' sin r AA u2
r1
r2
*
波源振动
P
y10 A10 cos(t 1 )
y20 A20 cos(t 2 )
y1 A1 cos(t 1 2π )
y A1 / r ) cos t r / )
其中
由此可写出球面简谐波的波动方程
号表示波的传播方向。
第一节
在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的 波源，在t时刻这些子波源发出的子波，经Δt时间后形成半径为 uΔt(u为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包 迹就是t+Δt时刻的新波面.这就是惠更斯原理.
波前 波面 波线
平面波（波面为平面的波）
波线（波射线） 球面波（波面为球面的波）
沿波的传播方向的射线。在各向同 性媒质中，波线恒与波面垂直。
第一节
平面简谐波
正向波
波函数
三种表达式
负向波
一般形式
例
x y A cos[ ( t ) 0 ] u y 0.02cos (5 x 200t ) 0.02 cos ( 200t 5 x ) x 0.02cos[200 ( t ) 0] 40
x W Wk Wp VA sin (t ) u
2 2 2
在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和 机械能都是时间t的周期性函数，它们同时最大——平衡位 置，同时最小（为零）——最大位移处。
单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度
( w)
。
W x 2 2 2 w A sin (t ) V u
能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度
w)
。
1 w T
T 0
x 1 A ω sin ω(t )dt A2 2 u 2
2 2 2
2 波的能流
单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积 u 的能流，以P表示。
P wuS
能流密度：
P / S wu
udt
2
1 HZ
uT 10 1 10 m
说明X-d点的相位比x点的相位落后
例
物理意义
若给定某点 P 的
，波函数变为 P 点处质点的
P点的
距原点为
处质点振动的初相
若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质 点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的
t1 时刻的
例
例
t
t A
t 0
o
0
x
x
矢量图法
x A cos(t 0 )
∴ 质点的投影点在轴上做简谐振动
旋转矢量
简谐运动方程
x = A cos ( t﹢ ) 旋转矢量 A
M M(t )M(t ) (t )
循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 初相 x X
t 以匀角速 t 逆时针转动 M ( t ) t t T t 时刻的
由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA=BB′， CC′=C＂B′，DD′=D＂B′，EE′=E＂B ′，…. 中心在A，C，D，E，…的一组圆柱面的包迹A′B′ 就是反射波的波前.
2 波的折射 波的折射定律 1）折射线、入射线和界面 的法线在同一平面内； I 界面
N
i i
A
'
R
sin i u1 2） sin r u2
质点振动方向 软绳 波的传播方向
抖动一下，产生一个脉冲横波
质点振动方向 软绳 波的传播方向
连续抖动，产生连续横波
纵波
质点的振动方向与波的传播方向平行
质点振动方向
软弹簧
抽送一下，产生一个脉冲纵波
波的传播方向 软弹簧
质点振动方向
波的传播方向
连续抽送，产生连续纵波
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气 中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。
I1S1 I 2 S2
所以
从而
I1 I 2
A1 A2
对球面波
仍有
I1S1 I 2 S2
即
s2
s1
r1
A A1 / r
r2
1 1 2 2 2 2 A1 u 4π r1 A2 2u 4π r22 2 2 A1 r2 所以 （振幅与半径成反比） A2 r1
令
A2 A, r2 r, r1 1(单位） 有
比较可知：
2 1 T 200 100
2
200
u 40
1 100HZ T
uT 40
1 0.4m 100
正向波 反向波
x y 0.2 cos[2 ( t ) ] 10
2
u 10 m / s
2 T 1s 2
机械波传播特征
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。 , 取决于波源振动频率。 单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。 或
几何描述
波面 波前
振动相位相同的点连成的面。 最前面的波面。
由旋转矢量法知t＝T/4时的相位
T/4
T 3 0 4 2
0
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为： x1 x1 t t 1 t 2 2 2 1 u T T x2 x2 t t 2 t 2 2 2 2 u T T 两点的相位差为其初相位差：
波叠加原理
过程分解
过程分解
两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相 同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处 的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这 一现象称为波的干涉。 波的相干条件 1）频率相同； 2）振动方向相同；
s1 s2
r1
r2
*
P
3）相位相同或相位差恒定。
s1 s2
振动相位
t t t A t
A
O
( t﹢ )
Biblioteka Baidu
M(t )
M(t )
M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
X
A
A
例
例
2 2 找特殊点， 1时，x 2 由旋转矢量法，知 1 t 3 4
3
例
例4-4 物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0 s， t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求 (1) t=0.5s时物体的位移； (2) 何时物体第一次运动到x=5cm处? (3) 再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处? 解 由已知条件，该谐振动在t=0时 刻的旋转矢量位置如图所示.由 图及初始条件可知 2 3 2 由于 T 2 s,
x2 x1 x2 x1 x 1 2 1 2 2 2 u
两点的波程差为：
x x2 x1
1 波的能量
波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动， 因而有动能，质元还要发生形变因而有弹性势能.动能与弹 性势能的总和即为该质元含有的波的能量. 设平面简谐波为
S
对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度， 以I表示。又称波的强度。
P 1 I wu A2 2u S 2
I A2 I 2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
3 波的振幅
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
x y A cosω (t ) u
O
x
x
x
在波线上坐标为x处取一个体积元△V，其质量dm=△V y x 该体积元的振动速度为 ω A sin ω (t ) t u
该体积元△V的动能为 1 1 x Wk m 2 VA2ω2 sin 2 ω(t ) 2 2 u 可以证明，因为介质形变，体积元△V的势能与动能相等 1 x 2 2 2 Wp Wk VA sin (t ) 2 u 体积元△V的机械能为
t0
-5
O
x
2 所以,该物体的振动方程为 x 0.1cos t 3
T
t0
(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为
t2
2 x 0.1cos 0.5 0.087 m 3
(2) 当物体第一次运动到x=5cm处时，旋 转矢量从初始位置转过的角度为π，如图 所示，所以有 T 即 t1 1s t1 2
波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向 发生改变，能绕过障碍物的现象.
波 的 衍 射
水 波 通 过 狭 缝 后 的 衍 射
· a· ·
·
障碍物的小孔成为新的波源
第一节
1 波传播的独立性 实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持 自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互 不影响，这称为波传播的独立性. 2 波的叠加原理 在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独 传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.
A
'
R
r
R
用惠更斯原理证明反射定律
用惠更斯原理证明反射定律 设平面波AB以波速v入射到 两种介质1和2的分界面MN上. 在不同时刻，波前的位置分别 为AB， CC＂， DD＂， EE＂， ….
当振动由点B传至点B′，由C＂，传至B′…时，在点A， C，D，E，…发出的次波分别通过了由半径AA′，CC′， DD′，EE′，…所决定的距离.
本章内容
第一节
机械振动
动画
动 画 用 图
动力学方程
动力学方程
正X向 反X向
x
微分形式
微分方程
弹簧振子
x
动画
例
运动方程
最大
最大 最大 A A
振动曲线
特征参量
振幅、角频率
初相
相位
相位差
计算方法
例
简谐运动方程
x = A cos ( t﹢ )
振幅矢量
v
A
ut
ut
平 面 波
球 面 波
R1
O
R2
S2 S1
新波阵面
原波阵面
t+t 时刻
t 时刻
ut
障碍物的小孔成为新的波源
1 波的反射 波的反射定律
反射线与入射线和界面法线位 于同一平面内，并且入射线与法 线的夹角(入射角)等于反射线与 法线的夹角(反射角).这就是波的 反射定律. I 界面
N
i i
-5 5
2 3
x
t1
2 3
(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过 2 T 2 2 t s t t2 t1 ) 3 3 3 3
振动能量
谐振子能量
A
A
A
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
处于
与
之间
例
书例9
例
书例11
第一节
机械波的产生
振动的传播过程称为波动。
产生机械波的必要条件：
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
横波
质点的振动方向与波的传播方向垂直
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量表达式
续上
例
书例8
能量
能量
第三节
第三节
4-4
compose of simple harmonic motion
振动合成
振动合成
同向同频合成
同向同频
合成振幅
分振动
合振动
其中，合振幅
； 合振幅
若
若
则
则
为合振幅可能达到的最大值
值为合振幅可能达到的最小
若
则
若
则
若
为其它值，则
用惠更斯原理证明折射定律
r
R
用惠更斯原理证明折射定律
当波在第一种介质中通过距离 BB′时，波在同一时间内将在另 一种介质中通过距离AA′.二者之 比应等于波在两种介质中的波速u1、 u2之比，即有
i
BB' / AA' u1 / u2
因为
r
所以
BB' AB' sin i, AA' AB' sin r ' sin i BB u1 ' sin r AA u2
r1
r2
*
波源振动
P
y10 A10 cos(t 1 )
y20 A20 cos(t 2 )
y1 A1 cos(t 1 2π )
y A1 / r ) cos t r / )
其中
由此可写出球面简谐波的波动方程
号表示波的传播方向。
第一节
在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的 波源，在t时刻这些子波源发出的子波，经Δt时间后形成半径为 uΔt(u为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包 迹就是t+Δt时刻的新波面.这就是惠更斯原理.
波前 波面 波线
平面波（波面为平面的波）
波线（波射线） 球面波（波面为球面的波）
沿波的传播方向的射线。在各向同 性媒质中，波线恒与波面垂直。
第一节
平面简谐波
正向波
波函数
三种表达式
负向波
一般形式
例
x y A cos[ ( t ) 0 ] u y 0.02cos (5 x 200t ) 0.02 cos ( 200t 5 x ) x 0.02cos[200 ( t ) 0] 40
x W Wk Wp VA sin (t ) u
2 2 2
在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和 机械能都是时间t的周期性函数，它们同时最大——平衡位 置，同时最小（为零）——最大位移处。
单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度
( w)
。
W x 2 2 2 w A sin (t ) V u
能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度
w)
。
1 w T
T 0
x 1 A ω sin ω(t )dt A2 2 u 2
2 2 2
2 波的能流
单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积 u 的能流，以P表示。
P wuS
能流密度：
P / S wu
udt
2
1 HZ
uT 10 1 10 m
说明X-d点的相位比x点的相位落后
例
物理意义
若给定某点 P 的
，波函数变为 P 点处质点的
P点的
距原点为
处质点振动的初相
若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质 点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的
t1 时刻的
例
例
t
t A
t 0
o
0
x
x
矢量图法
x A cos(t 0 )
∴ 质点的投影点在轴上做简谐振动
旋转矢量
简谐运动方程
x = A cos ( t﹢ ) 旋转矢量 A
M M(t )M(t ) (t )
循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 初相 x X
t 以匀角速 t 逆时针转动 M ( t ) t t T t 时刻的
由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA=BB′， CC′=C＂B′，DD′=D＂B′，EE′=E＂B ′，…. 中心在A，C，D，E，…的一组圆柱面的包迹A′B′ 就是反射波的波前.
2 波的折射 波的折射定律 1）折射线、入射线和界面 的法线在同一平面内； I 界面
N
i i
A
'
R
sin i u1 2） sin r u2
质点振动方向 软绳 波的传播方向
抖动一下，产生一个脉冲横波
质点振动方向 软绳 波的传播方向
连续抖动，产生连续横波
纵波
质点的振动方向与波的传播方向平行
质点振动方向
软弹簧
抽送一下，产生一个脉冲纵波
波的传播方向 软弹簧
质点振动方向
波的传播方向
连续抽送，产生连续纵波
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气 中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。
I1S1 I 2 S2
所以
从而
I1 I 2
A1 A2
对球面波
仍有
I1S1 I 2 S2
即
s2
s1
r1
A A1 / r
r2
1 1 2 2 2 2 A1 u 4π r1 A2 2u 4π r22 2 2 A1 r2 所以 （振幅与半径成反比） A2 r1
令
A2 A, r2 r, r1 1(单位） 有
比较可知：
2 1 T 200 100
2
200
u 40
1 100HZ T
uT 40
1 0.4m 100
正向波 反向波
x y 0.2 cos[2 ( t ) ] 10
2
u 10 m / s
2 T 1s 2
机械波传播特征
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。 , 取决于波源振动频率。 单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。 或
几何描述
波面 波前
振动相位相同的点连成的面。 最前面的波面。
由旋转矢量法知t＝T/4时的相位
T/4
T 3 0 4 2
0
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为： x1 x1 t t 1 t 2 2 2 1 u T T x2 x2 t t 2 t 2 2 2 2 u T T 两点的相位差为其初相位差：
波叠加原理
过程分解
过程分解
两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相 同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处 的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这 一现象称为波的干涉。 波的相干条件 1）频率相同； 2）振动方向相同；
s1 s2
r1
r2
*
P
3）相位相同或相位差恒定。
s1 s2
振动相位
t t t A t
A
O
( t﹢ )
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M(t )
M(t )
M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
X
A
A
例
例
2 2 找特殊点， 1时，x 2 由旋转矢量法，知 1 t 3 4
3
例
例4-4 物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0 s， t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求 (1) t=0.5s时物体的位移； (2) 何时物体第一次运动到x=5cm处? (3) 再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处? 解 由已知条件，该谐振动在t=0时 刻的旋转矢量位置如图所示.由 图及初始条件可知 2 3 2 由于 T 2 s,
x2 x1 x2 x1 x 1 2 1 2 2 2 u
两点的波程差为：
x x2 x1
1 波的能量
波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动， 因而有动能，质元还要发生形变因而有弹性势能.动能与弹 性势能的总和即为该质元含有的波的能量. 设平面简谐波为
S
对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度， 以I表示。又称波的强度。
P 1 I wu A2 2u S 2
I A2 I 2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
3 波的振幅
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
x y A cosω (t ) u
O
x
x
x
在波线上坐标为x处取一个体积元△V，其质量dm=△V y x 该体积元的振动速度为 ω A sin ω (t ) t u
该体积元△V的动能为 1 1 x Wk m 2 VA2ω2 sin 2 ω(t ) 2 2 u 可以证明，因为介质形变，体积元△V的势能与动能相等 1 x 2 2 2 Wp Wk VA sin (t ) 2 u 体积元△V的机械能为
t0
-5
O
x
2 所以,该物体的振动方程为 x 0.1cos t 3
T
t0
(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为
t2
2 x 0.1cos 0.5 0.087 m 3
(2) 当物体第一次运动到x=5cm处时，旋 转矢量从初始位置转过的角度为π，如图 所示，所以有 T 即 t1 1s t1 2
波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向 发生改变，能绕过障碍物的现象.
波 的 衍 射
水 波 通 过 狭 缝 后 的 衍 射
· a· ·
·
障碍物的小孔成为新的波源
第一节
1 波传播的独立性 实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持 自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互 不影响，这称为波传播的独立性. 2 波的叠加原理 在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独 传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.
A
'
R
r
R
用惠更斯原理证明反射定律
用惠更斯原理证明反射定律 设平面波AB以波速v入射到 两种介质1和2的分界面MN上. 在不同时刻，波前的位置分别 为AB， CC＂， DD＂， EE＂， ….
当振动由点B传至点B′，由C＂，传至B′…时，在点A， C，D，E，…发出的次波分别通过了由半径AA′，CC′， DD′，EE′，…所决定的距离.