微分方程模型―传染病PPT课件
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数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。
数学建模传染病模型ppt课件
2019 2
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方 程
dx x , x(0) x dt
0
(1)
(2)方程（1）的解为x(源自 ) x e0t
结果表明，随着 t 的增加，病人人数 x(t) 无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
2019 11
2019
-
12
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i (t )的增减性取决于 i0的大小(见图4）， 1 但其极限值 i () 1 随的增加而增加 (试 从的含义给以解释 )；当 1时病人比例 i (t ) 越来越小，最终趋于零 ，这是由于传染期内 经有效接触从而使健康 者变成的病人数不超 过原来病人数的缘故。
7
这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 t m与成反比，因为日接触率表示该地区的 卫生水平， 越小卫生水平越高。所 以改善
保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高 潮的到来。第二，当 t 时 i 1 , 即所有 人终将被传染，全变为病人，这显然不符合 实际情况。
2019 9
不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
di N Nsi Ni dt (8)
（4）式不变，于是（5）式应改为
di i(1 i) i , dt i(0) i0 (9)
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义 (10)
2019 1
不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方 程
dx x , x(0) x dt
0
(1)
(2)方程（1）的解为x(源自 ) x e0t
结果表明，随着 t 的增加，病人人数 x(t) 无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
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12
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i (t )的增减性取决于 i0的大小(见图4）， 1 但其极限值 i () 1 随的增加而增加 (试 从的含义给以解释 )；当 1时病人比例 i (t ) 越来越小，最终趋于零 ，这是由于传染期内 经有效接触从而使健康 者变成的病人数不超 过原来病人数的缘故。
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这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 t m与成反比，因为日接触率表示该地区的 卫生水平， 越小卫生水平越高。所 以改善
保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高 潮的到来。第二，当 t 时 i 1 , 即所有 人终将被传染，全变为病人，这显然不符合 实际情况。
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不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
di N Nsi Ni dt (8)
（4）式不变，于是（5）式应改为
di i(1 i) i , dt i(0) i0 (9)
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义 (10)
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不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
传染病传播模型PPT课件
模型的假设条件为
(1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移 出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占 的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。
(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。
(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N
不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。
在上述的假设条件下，人员流程图如下
由假设条件显然有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
N ds Nsi
dt
Ndi Nsi Ni
dt
N dr Ni
dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是
s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值 问题
(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。
(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且
新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，
则人口的平均寿命为 1/。
在上述的假设条件下，人员流程图如下
此时由假设条件有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
NdsNsiNNs
dt
Ndi NsiNiNi
dt
Ndr NiNr
dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR 模型如下
ds
dt di
dt dr
dt
si s, si i i, i r,
传染病传播模型ppt
通过模型模Байду номын сангаас，可以预测不同公共卫 生政策对疫情发展的影响，为政策制 定者提供理论支持和实践指导。
对疫情控制的实际应用
根据传染病传播模型，可以估算 疫情的传染系数和阻断系数，评 估疫情控制的难度和效果，为采
取有效防控措施提供参考。
通过模型模拟，可以针对不同疫 情情况和防疫需求，制定个性化 的防控方案，以达到最佳的防控
适用范围
不同城市模型适用于不同 的场景和情况，需要根据 具体情况选择合适的模型 进行描述和分析。
05
传染病传播模型的建议与应 用
对公共卫生政策制定的建议
根据模型预测结果，为政策制定者提 供有关疫情传播趋势和影响因素的深 入分析，有助于科学决策。
利用传染病传播模型，评估不同防控 策略的效果，为政策制定者提供量化 比较和优化选择，提高防控效果。
复合模型的不足
构建复杂，需要更多的数 据和计算资源支持
03
传染病传播模型的模拟与预 测
利用MATLAB进行模型模拟
MATLAB软件介绍
MATLAB是一种由MathWorks公司开发的数值计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分析等领域。
模型模拟步骤
步骤包括定义模型参数、构建微分方程、设置初始条件、进行模拟运算等。
传染病传播模型ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 传染病传播模型的建立 • 传染病传播模型的模拟与预测 • 传染病传播模型的灵敏度分析 • 传染病传播模型的建议与应用
01
引言
传染病传播模型简介
传染病传播模型是一种描述疾病传播过程的数学 模型
SIR 模型将人群分为易感者(Susceptible)、感染 者(Infectious)和康复者(Recovered)三个类别
传染病模型PPT
02
03
时间序列分析
通过对历史病例数据进行 时间序列分析，预测未来 一段时间内的病例数量。
机器学习算法
利用机器学习算法对历史 数据进行训练，预测未来 疾病的传播趋势。
贝叶斯推断
基于贝叶斯定理，利用历 史数据和先验知识，推断 未来疾病传播的概率分布 。
模拟与预测的应用场景
政策制定
通过模拟和预测，为政府和卫生部门提供决策依据， 制定有效的防控策略。
公共卫生管理
模拟和预测有助于公共卫生机构评估防控措施的效果 ，优化资源配置。
疫情预警
通过预测方法，提前预警可能的疫情爆发，为及时采 取防控措施提供时间保障。
05
传染病模型的优化与改 进
模型的改进方向
考虑更多影响因素
除了基本的传播方式，还应考虑 人口流动、环境变化、社会经济 因素等对传染病传播的影响。
概率论
传染病模型的预测结果存在不确定 性，因此需要使用概率论知识来评 估预测结果的可靠性和误差范围。
传染病模型的建立过程
数据收集
收集相关数据，包括疾病报告 数据、人口数据、地理信息等 ，用于参数估计和模型验证。
模型验证
使用历史数据对模型进行验证 ，评估模型的准确性和可靠性 。
确定模型目标
根据研究目的确定模型的目标 ，如预测疾病的传播趋势、评 估防控措施的效果等。
提高模型精度
通过增加数据来源和改进模型参 数调整方法，提高模型的预测精 度和可靠性。
动态建模
将传染病模型与时间序列分析、 机器学习等方法结合，实现动态 建模，更好地反映传染病传播的 时变特性。
模型的优化方法与技术
混合模型
结合不同模型的优点，构建混合模型，以提高预 测精度和可靠性。
[课件]微分方程模型——人口模型、传染病模型PPT
![[课件]微分方程模型——人口模型、传染病模型PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/166a93e29ec3d5bbfd0a7496.png)
x ( 2000 ) 274 . 5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
微分方程模型（14/33）
•更复杂的人口模型 • ---Logisitic模型
(t) N dN rN ( 1( )) Nm dt N(t ) N 0 0
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据
微分方程模型（10/33）
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
阻滞增长模型(Logistic模型)
放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）
经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等） 动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）
浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）
微分方程模型（16/33）
Logistic 模型在经济领域中的应用 ①动植物的生长规律 ②新产品的销售 ③广告的宣传作用
dhy0826126com微分方程模型233微分方程模型介绍微分方程模型介绍微分方程模型333微分方程模型介绍微分方程模型介绍微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段对于现实世界的变化人们关注的往往是其变化速度加速度以及所处位置随时间的发展规律其规律一般可以用微分方程或方程组表示微分方程建模适用的领域比较广利用它可建立纯数学特别是几何模型物理学如动力学电学核物理学等模型航空航天火箭宇宙飞船技术模型考古鉴定文物年代模型微分方程模型433微分方程模型介绍微分方程模型介绍交通如电路信号特别是红绿灯亮的时间模型生态人口种群数量模型环境污染模型资源利用人力资源水资源矿藏资源运输调度工业生产管理模型生物遗传问题神经网络问题动植物循环系统模型医学流行病传染病问题模型经济商业销售财富分布资本主义经济周期性危机模型战争正规战游击战模型等
传染病模型
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
Logistic 模型
1 1 t 1 i 1 e 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0 t i 1 ?
/Βιβλιοθήκη 型3di/dtdi i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
di 1 i[i (1 )] / dt
>1
i
1
di/dt < 0
i0
0
1-1/
1 i
i0
0
1 , 1 1 i ( ) 1 0,
微分方程模型
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 感染期内有效接触感染的 i(t )按S形曲线增长 健康者人数不超过病人数 i0 小
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
传染病模型—微分方程模型的应用
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i 0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
s0
i0
s
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t), s(t), r(t) 的两个方程
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i ss0 i0
D
0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im s 1/ , i im t , i 0
P2
P1
P3
s满足
s0
i0
s
1
ln
s s0
1
ln
s s0
0
i0 0, s0 1
x 1 ln(1 x ) 0
s0
i
1x
x<<s0 x(1 s0 2s02 ) 0
传染病模型ppt
谢谢您的观看
THANKS
xx年xx月xx日
传染病模型ppt
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目录
引言常见的传染病模型传染病模型的建立传染病模型的应用案例传染病模型的未来发展结论与展望
01
引言
传染病模型是对疾病传播过程进行数学描述的模型，它可以帮助我们理解疾病的传播机制和趋势，预测疫情的发展，评估防控措施的效果等。
传染病模型的概念
根据模型的复杂性和应用的场景，传染病模型可分为基本模型、复杂模型和网络模型等。
加强传染病模型的普及和应用，让更多的人了解和掌握传染病模型的应用方法和技巧，有利于提高疫情控制和公共卫生管理的科学化水平。
开展跨学科合作
传染病模型研究涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学、流行病学等。加强跨学科的合作和交流，可以促进传染病模型研究的发展和创新。
加强传染病模型研究的建议和展望
通过对防控措施进行模拟和比较，评估不同防控措施的效果和经济效益，为政策制定提供依据。
传染病模型在公共卫生领域的应用
研究疾病传播途径
通过模拟疾病传播过程，研究疾病的传播途径和影响因素，为防控策略的制定提供依据。
研究疾病变异情况
通过对病毒变异过程进行模拟，研究病毒变异情况及其对疾病传播的影响，为防控策略的制定提供参考。
03
描述性模型
02
01
用数学方程组描述疾病传播动态，如 SIR 模型。
确定性模型
考虑疾病传播中的随机因素，如传播链的随机断裂、免疫接种的随机性等。
随机模型
通过计算机模拟疾病传播过程，预测疾病传播趋势和公共卫生干预措施的效果。
模拟模型
数学模型
基于个体行为的模型，如 Agent-Based 模型。
《传染病数学模型》PPT课件
参数：每年AIDS报告人数或AIDS死亡报告 人数；每年HIV感染到AIDS或AIDS死亡的潜伏4
反向计算法中有许多不确定性来源：
• 首先是潜伏期分布中的不确定性，潜伏期分布的 估计受流行病学研究中的误差和不确定性的影响， 常用灵敏度分析来评价这些不确定性 。
• 另一问题是报告的疾病发病资料，不同的国家有 不同的传染病报告系统，其中有些可能不可靠， 报告滞后或不完整时有发生。
得在年龄a、时间t时各个变量S(a,t)、 L(a,t)、T(a,t)、C(a,t)和I(a,t)的函数
值。这些数值既可描述疫苗接种前人群中 HBV的动态传播过程，也可以预测不同接种
覆盖率VC(a,t)时免疫后人群HBV的变化趋
势，从而评价乙肝疫苗免疫的远期效果。
10
大规模免疫接种人群中HBV携带率动态变化图
传染病数学模型的应用
中国疾病预防控制中心 性病艾滋病预防控制中心
汪宁
1
概述
20世纪以来，传染病的防制工作取得重大进 展，但理解和控制传染病的传播仍是公共卫生的 重要问题。目前，传染病研究面临的挑战包括：
（1）如何评估传染病在人群中的流行； （2）如何理解疾病感染和传播的机制； （3）如何评价干预措施的效果。 运用数学模型的方法，准确评价和预测传染 病的流行动态有利于卫生保健部门提前作出正确 的决策，合理分配资源，有效地预防和控制疾病 的传播，同时也可以警示某传染病的严重程度， 引起公众对疾病危险性的认识。
3
其基本思想是运用由t时刻的期望累积病例数 A(t) 、s时刻的感染率g(s)和潜伏期分布函数F(t) 构成的卷积方程，即
A(t) 0t g(s) F(t s)ds
如果病例数A(t)已知（可从疾病报告获得）， 且潜伏期分布F(t)可经流行病学研究估计而得， 那么，通过对方程(1)反卷积可估计感染率g(s)； 如果已知感染率g(s)和潜伏期分布F(t)，那么病例 数A(t)可用卷积方程(1)估计或预测。
反向计算法中有许多不确定性来源：
• 首先是潜伏期分布中的不确定性，潜伏期分布的 估计受流行病学研究中的误差和不确定性的影响， 常用灵敏度分析来评价这些不确定性 。
• 另一问题是报告的疾病发病资料，不同的国家有 不同的传染病报告系统，其中有些可能不可靠， 报告滞后或不完整时有发生。
得在年龄a、时间t时各个变量S(a,t)、 L(a,t)、T(a,t)、C(a,t)和I(a,t)的函数
值。这些数值既可描述疫苗接种前人群中 HBV的动态传播过程，也可以预测不同接种
覆盖率VC(a,t)时免疫后人群HBV的变化趋
势，从而评价乙肝疫苗免疫的远期效果。
10
大规模免疫接种人群中HBV携带率动态变化图
传染病数学模型的应用
中国疾病预防控制中心 性病艾滋病预防控制中心
汪宁
1
概述
20世纪以来，传染病的防制工作取得重大进 展，但理解和控制传染病的传播仍是公共卫生的 重要问题。目前，传染病研究面临的挑战包括：
（1）如何评估传染病在人群中的流行； （2）如何理解疾病感染和传播的机制； （3）如何评价干预措施的效果。 运用数学模型的方法，准确评价和预测传染 病的流行动态有利于卫生保健部门提前作出正确 的决策，合理分配资源，有效地预防和控制疾病 的传播，同时也可以警示某传染病的严重程度， 引起公众对疾病危险性的认识。
3
其基本思想是运用由t时刻的期望累积病例数 A(t) 、s时刻的感染率g(s)和潜伏期分布函数F(t) 构成的卷积方程，即
A(t) 0t g(s) F(t s)ds
如果病例数A(t)已知（可从疾病报告获得）， 且潜伏期分布F(t)可经流行病学研究估计而得， 那么，通过对方程(1)反卷积可估计感染率g(s)； 如果已知感染率g(s)和潜伏期分布F(t)，那么病例 数A(t)可用卷积方程(1)估计或预测。
常微分方程全册ppt课件
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
微分方程模型—传染病
di/dt dt
i
>1
i0
>1
1-1/
di i[i (1 1 )]
dt
i
1
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
1 i0小 i(t)按S形曲线增长
t0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
SIR模型
思考：r(t)的方程？
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
感染期内有效接触感染的 人数不超过病人数
思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？
有治愈有免疫模型Susceptible Infective Removed
SIR模型 传染病有免疫性——病人治愈
后即移出感染系统，称移出者
肝炎、 SARS等
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
1 2
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
所有人被感染?
有治愈无免疫模型Susceptible Infective Susceptible
SIS模型 传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染
伤风、 痢疾等
传染病常微分方程
传染病常微分方程传染病常微分方程是研究传染病传播过程的数学模型。
它可以帮助我们了解疾病的传播规律以及采取相应的防控措施。
传染病的传播过程可以用一个简单的常微分方程来描述。
假设人群总数为N，其中感染者的人数为I。
那么传染病的传播速率可以用以下公式来表示：dI/dt = β * I * (N - I) / N其中，β表示传染率，即一个感染者每天能传染给多少人。
(N - I)/N 表示还未感染的人群比例，乘以I表示与感染者接触的人数。
dI/dt 表示感染者人数的变化率。
通过求解这个微分方程，我们可以得到传染病的传播过程。
初始时刻，感染者的人数为I0，那么在未来的某个时刻t，感染者的人数为I(t)。
通过对微分方程进行求解，我们可以得到传染病的传播曲线。
传染病的传播过程是一个动态的过程。
在传染病暴发初期，感染者的人数急剧增加，传播速度很快。
但是随着时间的推移，感染者的人数逐渐增多，未感染者的人数减少，传播速度逐渐减慢。
最终，感染者的人数趋于一个稳定的值。
通过对传染病常微分方程的研究，我们可以得出以下结论：1. 传染率β越大，传播速度越快。
2. 人群总数N越大，传播速度越快。
3. 初始感染者人数I0越大，传播速度越快。
了解传染病的传播过程对于制定防控策略非常重要。
通过对传染病常微分方程的研究，我们可以预测传染病的传播趋势，及时采取相应的防控措施，减少感染者的人数，保护人民的生命安全。
传染病常微分方程是研究传染病传播过程的数学模型。
通过对这个模型的研究，我们可以了解传染病的传播规律，预测传播趋势，及时采取有效的防控措施。
这对于保护人民的生命安全具有重要意义。
我们应该重视传染病的防控工作，共同努力，共克时艰。
《传染病数学模型》PPT课件
• 连续型HIV/AIDS传播动力学模型
24
25
• 变量和参数的含义
26
• 参数及初始值的确定
27
• 基本再生数
R0 k bD
28
• 数值模拟结果 初始时间选为2002年，终止时间选为2010 年。数值模拟结果见图（在图2.1中，30％ 或70％的干预表示传染性系数降低30％或 70％；在图2.2中，30％或70％的干预表示 共用注射器比例降低30％或70％。同时， 干预的时间定为2003年底）。
在参数的确定过程中，由于参考资料的缺乏，有些 参数的取值与实际情况相比会存在一定的差异。今后， 随着参考资料的不断充实和一些统计结果的出现，我们 将会对一些参数做必要的调整和完善。
在本模型中，我们仅仅考虑了共用注射器，而没有 考虑其他途径（如经性），这样做将会使得预测的结果 存在一定的偏差。
23
五、西昌市静脉吸毒人群HIV/AIDS流行趋势
7
三、流行传播的确定性模型
• 标准的流行传播确定性模型为房室模型 (compartment model)。
• 以乙型肝炎病毒（HBV）在人群中的感染和传 播为实例，建立动态模型。按照乙型肝炎感染 传播的特征可以把人群划分为五个部分：(1)
易感者，S(a,t)；(2)潜隐者（从感染发展为 传染的时期），L(a,t)；(3)HBV短期携带者， T(a,t)；(4)慢性HBV携带者，C(a,t)；(5)免 疫者，I(a,t) 。这里，“a”代表年龄，“t”
• 还要注意到在上述预测模型中没有考虑从一个社 区（国家）到另一个社区（国家）的移民（移入 或移出）所产生的影响。
总之，反向计算法仅提供疾病发病和感染流行的 粗病自然史指在没有干预的情况下疾病的演变 过程。
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25
• 变量和参数的含义
26
• 参数及初始值的确定
27
• 基本再生数
R0 k bD
28
• 数值模拟结果 初始时间选为2002年，终止时间选为2010 年。数值模拟结果见图（在图2.1中，30％ 或70％的干预表示传染性系数降低30％或 70％；在图2.2中，30％或70％的干预表示 共用注射器比例降低30％或70％。同时， 干预的时间定为2003年底）。
在参数的确定过程中，由于参考资料的缺乏，有些 参数的取值与实际情况相比会存在一定的差异。今后， 随着参考资料的不断充实和一些统计结果的出现，我们 将会对一些参数做必要的调整和完善。
在本模型中，我们仅仅考虑了共用注射器，而没有 考虑其他途径（如经性），这样做将会使得预测的结果 存在一定的偏差。
23
五、西昌市静脉吸毒人群HIV/AIDS流行趋势
7
三、流行传播的确定性模型
• 标准的流行传播确定性模型为房室模型 (compartment model)。
• 以乙型肝炎病毒（HBV）在人群中的感染和传 播为实例，建立动态模型。按照乙型肝炎感染 传播的特征可以把人群划分为五个部分：(1)
易感者，S(a,t)；(2)潜隐者（从感染发展为 传染的时期），L(a,t)；(3)HBV短期携带者， T(a,t)；(4)慢性HBV携带者，C(a,t)；(5)免 疫者，I(a,t) 。这里，“a”代表年龄，“t”
• 还要注意到在上述预测模型中没有考虑从一个社 区（国家）到另一个社区（国家）的移民（移入 或移出）所产生的影响。
总之，反向计算法仅提供疾病发病和感染流行的 粗病自然史指在没有干预的情况下疾病的演变 过程。
数模选修课传染病与微分方程稳定性PPT学习教案
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2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）
1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被
治愈的病人数占病人总数的比例为μ。 μ表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/μ就可 以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈 经历的时间。 根据假设5，Logistic模型被修改为：
若P0稳定，则应有：ltim
x1(t )
x10
,
lim
t
x2 (t )
x20 .
第24页/共33页
其次将方程组线性化：
x 1 (t ) x 2 (t )
f ( x1, x2 ) g( x1, x2 )
x 1 ( t x 2 (t
) )
f x1 ( P0 )(x1 gx1 ( P0 )(x1
i
i0
画出解的图象为 ：
1-1/σ i0
t
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模型结果分 析
σ=λ ∕ μ
i σ<1，t →+∞时 i(t)→0.
i0
0
第11页/共33页
t
3、SIR模型（免疫模型）
1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分 别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中 所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率λ，日治 愈率μ。 根据假设，模型被修正为 注意：此方程组无法求解 析解。
P3(0,0),
P4
N1(1 1 1 1 2
)
,
N2(1 2 1 1 2
)
p
P1
r1-r2(1- 2 )
2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）
1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被
治愈的病人数占病人总数的比例为μ。 μ表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/μ就可 以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈 经历的时间。 根据假设5，Logistic模型被修改为：
若P0稳定，则应有：ltim
x1(t )
x10
,
lim
t
x2 (t )
x20 .
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其次将方程组线性化：
x 1 (t ) x 2 (t )
f ( x1, x2 ) g( x1, x2 )
x 1 ( t x 2 (t
) )
f x1 ( P0 )(x1 gx1 ( P0 )(x1
i
i0
画出解的图象为 ：
1-1/σ i0
t
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模型结果分 析
σ=λ ∕ μ
i σ<1，t →+∞时 i(t)→0.
i0
0
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t
3、SIR模型（免疫模型）
1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分 别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中 所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率λ，日治 愈率μ。 根据假设，模型被修正为 注意：此方程组无法求解 析解。
P3(0,0),
P4
N1(1 1 1 1 2
)
,
N2(1 2 1 1 2
)
p
P1
r1-r2(1- 2 )
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t)
AIDS等
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病
接触率
建模 N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1
di dt
i (1 i )
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防控制传染病蔓延
三类人
已感染者(Infective, 病人) 未感染者(Susceptible，易感染者) 移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等)
短期预测模型
Malthus模 已感染人数 (病人) i(t) 型 假设 • 每个病人每天有效接触
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0>1-1/
s0i0r01
的估计
s0 i0 s1lnss 0 0 忽略i0
群体免疫
lns0 lns
s0 s
疫情实证分析(Kermack, P143图)
1904—1905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟 疫，平均每周死亡1.8万人 。 r-孟买死亡人数。
微分方程模型
引言 5.1 传染病模型 5.4 药物在体内的分布与排除（房室模型） 5.6 人口预测和控制
May. 05, 2003
• a disease that has rocked Asian markets, ruined the tourist trade of an entire region, nearly bankrupted airlines and spread panic through some of the world's largest countries.
di
dt
si i
ds
dt
si
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
R0=λS/=S表示平均每 个病人总传播人数。 R0<1, 传染病不蔓延
无法求出 i(t),s(t)
的解析解！！！
在相平面 s~i 上
i0s01(通r常 (0)r0很小研） 究解的性质
SIR模型
di
SIS模型
di/dt
dii(1i)i /
dt
i
dii[i(11)]
dt
i
>1
i0
>1
1
1-1/
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
t0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1i()
i0小
1
i(t)按S形曲线增长感人染数期不内超过有病效人接数触感染的
思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？
有治愈有免疫模型Susceptible Infective Removed
SIR模型 传染病有免疫性——病人治愈
后即移出感染系统，称移出者
肝炎、 SARS等
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
SIR模型
思考：r(t)的方程？
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
所有人被感染?
有治愈无免疫模型Susceptible Infective Susceptible
SIS模型 传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染
伤风、 痢疾等
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t)i(t) t
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
t i ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
Logistic模型（SI模型）
区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)
的图形，进行分析
D 0
s
1
SIR模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
di
dt
si
i
ds
dt
si
di
ds
1 1
s
i
s s0
i0
i
1
i(s)(s0i0)s1lnss0
D
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im
s1/,iim t ,i 0(反 证 )
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有 效接触人数，称为接触数。
SIS的解析解
试试看：解析解怎样求？
i(t)
i0
i0 (1 (e( )t
)e()t
1) (1
)
i0
i0t 1
dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')
P2
P1
P3
s 满s足 0i0s1lnss 0 0 0 s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 1/ ~ 传染病不蔓延 阈值
SIR模型
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
i ( 0 )
i 0
感染无治愈模型
Logistic模型
di
dt
i (1 i )
Logistic 模型
i 1
i ( 0 ) i0
i(t)
1
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
tm1lni10 1时， i1 2
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1?
(日接触率) tm
dt
si
i
ds
dt
si
消去dt
/
di
ds
1 1
s
i
s s 0
i 0
相轨线(有解析解)
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
相轨线 i ( s ) 的定义域
i(s)(s0i0)s1lnss0
i
D { s ,i( )s 0 ,i 0 ,s i 1 } 1
在D内作相轨线 i ( s )