菲涅耳公式-折反射定律

Chapter 1 理论基础

1.1 介质中的Maxwell ’s equations 及物质方程

微分形式=t =J+t ==0

B E D H D B ρ⎧∂∇⨯-⎪

∂⎪

⎪∂∇⨯⎨∂⎪

⎪∇⎪

∇⎩

（1-1）

传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）

00==()J=D E E P B H H M E

εεμμσ⎧=+⎪⎪

=+⎨⎪⎪⎩ （1-2）

麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。

1.2 积分形式及边界条件

由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell ’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。

积分形式

0L S L S S S d E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ⎧

=-⎪⎪

⎪=+⎪⎨

⎪

=⎪⎪

=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1-3）

得边界条件为21212121()0()()()0

n E E n H H n D D n B B ασ⎧⨯-=⎪

⨯-=⎪⎨

⋅-=⎪⎪⋅-=⎩

（1-4）

式（1-4）的具体解释依

次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）：

（1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。

（2）α为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，α=0，此时H 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。 （3）

σ为界面上的自由电荷面密度。

（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。

Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播

2.1 反射定律和折射定律

光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为 入射波

0exp[()]i i i i E E i t k r ω=-

反射波0exp[()]r r r r E E i t k r ω=- 折射波

0exp[()]t t t t E E i t k r ω=-

界面两侧的总电场为：

10020exp[()]exp[()]exp[()]i r i i i r r r t t t t E E E E i t k r E i t k r E E E i t k r ωωω⎧=+=-⋅+-⋅⎪⎨==-⋅⎪⎩

由电场的边界条件

21()0n E E ⨯-=，有

000exp[()]exp[()]exp[()]

i i i r r r t t t n E i t k r n E i t k r n E i t k r ωωω⨯-⋅+⨯-⋅=⨯-⋅欲使上式对任意的时间t 和界面上r 均成立，则必然有：

i r t ωωωω=== （1-5）

i r t k r k r k r ⋅=⋅=⋅ （1-6）

可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。

()0()0r i t i k k r k k r ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩ （1-7）

由于r 可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量()r i k k -和 ()t i k k -均与界

面的法线n 平行，由此可以推知，

i k 、r k 、t k 与n 共面，该平面称为入射面。由此可得

出结论：反射波和折射波均在入射面内。

上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得

cos(

)cos(

)cos(

)

2

2

2

i i r r t t k k k π

π

π

θθθ-=-=- （1-8）

又由于

1/i k n c ω=，1/r k n c ω=，2/t k n c ω=，得

12()sin sin i r i t n n θθθθ=⎧⎨

=⎩反射角等于入射角（折射定律） （1-9）

2.2 菲涅耳公式

折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和

入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。

电场E 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s ’分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p ’分量。

首先研究入射波仅含‘s ’分量和仅含‘p ’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。

（1）单独存在s 分量的情形

首先规定：电场和磁场的s 分量垂直于纸面， 向外为正，向内为负。

在界面上电场切向分量连续：

21()0n E E ⨯-=

另外由式（1-5）、（1-6），可得

000is rs ts E E E += （2-1）

在界面上磁场的切向分量连续：

21()0n H H ⨯-=

注意

1

H k E

μω

=

⨯，如图所示。所以同理有

000cos cos cos ip i rp r tp t

H H H θθθ-+=- （2-2）

非磁性各向同性介质中E 、H 的数值之间的关系：

00B n H E c E H μμ⎧==⎪⎨

⎪⊥⎩

那么式（2-1）整理为

101020cos cos cos is i rs r ts t n E n E n E θθθ-+=- （2-3）

联立式（2-1）（2-3）可得

012012cos cos cos cos rs i t

s is i t

E n n r E n n θθθθ-=

=

+

010122cos cos cos ts i

s is i t

E n t E n n θθθ==

+

（2）单独存在p 分量的情形

首先规定：p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。 根据E 、H 的边界条件得：