平面定义

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例4:已知:A､B､C､D､E五点,其中A､B､C､D共面,B､C､D､E共面, 4:已知:A､ 已知:A 五点,其中A 共面,B､ ,B 共面, 则A､B､C､D､E是否共面? 是否共面? 错解:∵A､ 错解:∵A､B､C､D共面,∴点A在B､C､D确定的平面内,又点B､C､ :∵A 共面,∴点 ,∴ 确定的平面内,又点B D､E共面, 共面, ∴点E也在B､C､D确定的平面内. 也在B 确定的平面内. ∴A､ 都在B ∴A､E都在B､C､D所确定的平面内. 所确定的平面内. 即点A 即点A､B､C､D､E五点一定共面. 五点一定共面.
变式训练2:求证 如果一条直线和两条平行直线都相交 那么这三条直线共面. 变式训练 求证:如果一条直线和两条平行直线都相交 那么这三条直线共面 求证 如果一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面 已知:a∥ 求证:直线 直线a､ ､ 共面 共面. 已知 ∥b,a∩l=A,b∩l=B, 求证 直线 ､b､l共面
一、教学目标： 教学目标： 1、知识与技能 、 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； ）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； ）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； ）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 ）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 、 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； ）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识。 ）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 、 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 教学重点、 二、教学重点、难点 重点： 重点： 1、平面的概念及表示； 、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 难点：平面基本性质的掌握与运用。
错因分析:错解中 误认为 三点确定一个平面,而题设中并没有说明 错因分析 错解中,误认为 ､C､D三点确定一个平面 而题设中并没有说明 ､C 错解中 误认为B､ ､ 三点确定一个平面 而题设中并没有说明B､ 三点确定一个平面.因此 三点共线时,A､ ､ ､ ､ 不一定共面 不一定共面. ､D三点确定一个平面 因此 当B､C､D三点共线时 ､B､C､D､E不一定共面 三点确定一个平面 因此,当 ､ ､ 三点共线时
平面” ①“平面”是平的 平面 是平的; 平面” ②“平面”无厚度 平面 无厚度; 平面” 可以向四面八方无限延展.这就是人们常说的平面 ③“平面”是无边界的 可以向四面八方无限延展 这就是人们常说的平面 平面 是无边界的,可以向四面八方无限延展 的“无限延展性”. 无限延展性”
题型三 多线共面问题 2:证明两两相交且不共点的三条直线在同一 例2:证明两两相交且不共点的三条直线在同一 平面内. 平面内. 已知:如图所示,l 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l 在同一平面内. 求证:直线l1､l2､l3在同一平面内.
分析:证明多线共面 一般先选取两条直线构造一个 分析 证明多线共面,一般先选取两条直线构造一个 证明多线共面 平面,然后证明其他直线都在这个平面上 平面 然后证明其他直线都在这个平面上. 然后证明其他直线都在这个平面上 证明:证法 同一法) 证法1:(同一法 证明 证法 同一法 证法2:(重合法 重合法) 证法 重合法 确定一个平面α. ∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面 ∴ 和 确定一个平面 l1∩l2=A,∴l1､l2确定一个平面 确定一个平面α. ∵l1∩l2=A,∴l1､l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. ∴ ∈ 确定一个平面β. ∵l2∩l3=B,∴l2､l3确定一个平面 ∴ ､ 确定一个平面 又∵l2α,∴B∈α. ∴ ∈ ∵A∈l2,l2α,∴A∈α. ∈ ∴ ∈ 同理可证C∈ 同理可证 ∈α. ∵A∈l2,l2β,∴A∈β. ∈ ∴ ∈ 又∵B∈l3,C∈l3,∴l3α. ∈ ∈ ∴ 同理可证B∈ 同理可证 ∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∈ ∈ ∈ 直线l1､ ､ 在同一平面内 在同一平面内. ∴直线 ､l2､l3在同一平面内 不共线的三个点A､ ､ 既在平面 既在平面α内 又在 ∴不共线的三个点 ､B､C既在平面 内,又在 平面β内 平面 内. 平面α和 重合 即直线l1､ ､ 在同一平面 重合,即直线 ∴平面 和β重合 即直线 ､l2､l3在同一平面 内.
正解:A､ 正解:A､B､C､D､E五点不一定共面. :A 五点不一定共面. (1)当 (1)当B､C､D三点不共线时,由公理可知B､C､D三点确定一个平 三点不共线时,由公理可知B 面α,由题设知A∈α,E∈α,故A､B､C､D､E五点共面于α; α,由题设知A∈α,E∈α,故 由题设知A∈α,E∈α, 五点共面于α; (2)当 (2)当B､C､D三点共线时,设共线于l,若A∈l,E∈l,则A､B､C､D 三点共线时,设共线于l,若A∈l,E∈l,则 l, ､E五点共面;若A､E有且只有一点在l上,则A､B､C､D､E五点 五点共面; 有且只有一点在l 共面; 共面;若A､E都不在l上,则A､B､C､D､E五点可能不共面. 都不在l 五点可能不共面. 综上所述,在题设条件下,A､ 综上所述,在题设条件下,A､B､C､D､E五点不一定共面. ,A 五点不一定共面.
规律技巧: 规律技巧: (1)同一法证明直线共面的步骤: (1)同一法证明直线共面的步骤: 同一法证明直线共面的步骤 ①证明其中两条直线平行或相交,即这两条直线确定一个平面α; 证明其中两条直线平行或相交,即这两条直线确定一个平面α; ②证明其余直线上均有两点也在平面α内,即其余直线也在平面α内,也 证明其余直线上均有两点也在平面α 即其余直线也在平面α 就是证明了这些直线共面. 就是证明了这些直线共面. (2)重合法证明直线共面的步骤: (2)重合法证明直线共面的步骤: 重合法证明直线共面的步骤 ①证明这些直线确定若干个平面; 证明这些直线确定若干个平面; ②利用公理及其推论证明这些平面重合,从而证明了这些直线共面. 利用公理及其推论证明这些平面重合,从而证明了这些直线共面.
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平 规律技巧 解决点共线或线共点的问题是平 面性质的应用.解决点共线一般地先确定一 面性质的应用 解决点共线一般地先确定一 条直线,再用平面的基本性质 证明其他的点 条直线 再用平面的基本性质,证明其他的点 再用平面的基本性质 也在该直线上.直线共点问题的步骤 一先说 也在该直线上 直线共点问题的步骤:一先说 直线共点问题的步骤 明直线相交,二让交点也在其他直线上 明直线相交 二让交点也在其他直线上. 二让交点也在其他直线上
证明:∵AB∩α=P,AB 证明:∵AB∩α=P,AB ∴P∈面 ∴P∈面ABC,P∈α,
⊂ 面ABC,
∴P在平面ABC与平面α的交线上. ∴P在平面ABC与平面α的交线上. 在平面ABC与平面 同理可证Q 同理可证Q和R均在这条交线上. 均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线. ∴P\,Q\,R三点共线. 三点共线
题型四
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多点共线问题
例3:如图,△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平 3:如图, ABC在平面α 如图 在平面 面α于P、Q\、R,求证:P、Q、R三点共线. R,求证:P、 求证:P 三点共线.
分析:由公理 知 两个平面相交有 分析 由公理3知,两个平面相交有 由公理 一条公共直线,要证 ､Q､R三点 一条公共直线 要证P､ ､ 三点 要证 共线,只要证明这三点是这两个 共线 只要证明这三点是这两个 平面的公共点即可. 平面的公共点即可
变式训练3:如图,已知平面α 变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中 3:如图 相交于l,设梯形ABCD中 l,设梯形ABCD ,AD∥BC,且 ,AD∥BC,且AB
⊂α,CD ⊂ β.
求证:AB､CD､ 相交于一点. 求证:AB､CD､l相交于一点. :AB
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB､ 证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB､ :∵梯形ABCD 是梯形ABCD的两腰,∴AB DC必相交于一点, AB∩DC=M,又 DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD 必相交于一点 β,∴M∈α,且M∈β,∴M∈α∩β.又 β,∴M∈α,且M∈β,∴M∈α∩β.又 ⊂ ∵α∩β=l,∴M∈l,∴AB､CD､l相交于一点. α∩β=l,∴M∈l,∴AB､CD､ 相交于一点.