振动理论11(2)-自激振动
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相平面
●不显含时间变量的系统称为自治系统，即时间不出现在运动微分方程中，只有时间的微分出现在形如下面的方程中
⏹其中函数表示单位质量物体上恢复力与阻尼力的合力●把上面的方程用两个一阶方程来表示
如果和为笛卡尔坐标，平面称为相平面. 系统的状态就可以用坐标和来描述，表示为相平面上的一个点
随系统的改变，相平面内的点移动，在相平面内产生一个曲线，称为相轨迹(trajectory).
●状态速度定义为
●当状态速度为零时即达到平衡态：速度和加速度
均为零
●利用第一个方程，用第二个方程除第一个方程，
●对于相平面上的每个点，如果是可确定的，迹的斜率是唯一的：
●相轨迹的走向总是顺时针方向，与轴正交。
●如果（即迹点在轴上）并且, 迹的斜率无限大, 所有跟这个点相关的迹均垂直于轴
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●如果，, 斜率不确定．这时的相点定义为奇异点.
奇异点与平衡状态相关，在该平衡状态里，速度和力均为零
关于奇异点表征的平衡是稳定的还是不稳定的，还需要进一步的讨论
例题
●确定单自由度振动的相平面:
●解由, 写成两个一阶方程:二式相除，
●分离变量并积分
●这是一族椭圆，大小由确定。
●这个方程是一个保守体系:
●奇异相点为
保守系统的自由振动
首先用相平面法研究最简单的机械系统，即保守系统。其动力学方程为
对应的相轨迹微分方程为
分离变量并积分
●为保守系统的势能
●积分常数
⏹系统的总机械能,取决于
初始条件
●上述相轨迹方程表示了系统的机械能守恒，即保守系统的能量积分
●也可写作
●对应于实际发生的运动，必须有(否则只是想像的)
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●相轨迹曲线相对横坐标轴对称
●与交点（动能为零）的●势能曲线的驻点对应横坐标轴上的奇点
●在势能取极小值的
⏹（有动能，有非零值）
，在相平面上对应奇点的封闭相
轨迹
⏹当（没有非零的值）时
，不存在对应的相轨迹
⏹这种类型的奇点是稳定的，称为中
心。它对应于系统的稳定平衡状态57
●在势能取极大值的
⏹，在区间内没有
对应的相轨迹
⏹在时，及处
处相接触
⏹当时，这两个分支则演
变为分布在轴的上方和下方的两支
曲线。这种类型的奇点是不稳定的
，称为鞍点。它对应于系统的不稳
定平衡状态。通过鞍点的相轨迹称
为分隔线，因为它将相平面分隔成
具有不同类型相轨迹的若干个区域58
●在势能曲线的拐点处
⏹相轨迹在的左半边具
有中心性质，在的右半边
具有鞍点性质，相轨迹不封闭。
这种奇点为退化的鞍点，也对应
于不稳定的平衡状态。
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沿封闭的相轨迹进行积分得到自由振动的周期
线性保守系统
●单位恢复力是位移的线性函数●对应的势能和相轨迹方程为
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●取正号时，相轨迹为椭圆族，奇点为中心，系统的自由振动为简谐振动；
●取负号时，恢复力变成排斥力，成为负刚度系统，相轨迹为双曲线族，不存在周
期运动。奇点是鞍点，平衡状态不稳定
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●系统的单位质量恢复力为坐标的非线性函数
●
考虑的情况。是硬弹簧，刚度随位移增大
而增大，
为软弹簧，刚度随位移减小而减小。●势能和相轨迹分别为
+
非线性弹簧
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●受上述非线性弹簧作用的系统的动力学方程为●
即Duffing
方程
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+
黏性阻尼
●切线斜率相同的相点连起来的曲线称为等倾线
●有阻尼的情况下，
●不同的值表示不同的相轨迹切线斜率
⏹对应的线为零斜率线
●可以使用等倾线方法确定有阻尼的相轨迹图，步骤如下：
⏹1. 在感兴趣的相平面区域，给定不同值画出若干等倾线；
⏹2. 在等倾线上画出小线段，其斜率为；
⏹3. 根据确定的斜率，利用外推方法画出相轨迹。
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●阻尼系数为正时，零斜率线在第二、四象限。
●阻尼较小时，相轨迹是朝原点趋近的螺线，围绕奇点
无穷尽地转动但始终达不到奇点，这类起点称为稳定焦点，对应于自由衰减振动
●阻尼较大时，相轨迹尚
未完成绕奇点转动一周
即接近奇点，成为直接
通往奇点的射线，但由
于相点在奇点处移动速
度为零，因此，需经过
无限长时间后才能到达
奇点，这类奇点称为稳
定结点。系统的运动为
衰减的非往复运动
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●若阻尼为负值，系统的总机械能不仅没有耗散，反而不断从外界获取能量，这种特殊情况称为负阻尼
●负阻尼系统的平衡状态不稳定，相轨迹为不断向外扩展的螺线或射线。
●零斜率等倾线出现
在第一、三象限。
这类奇点称为不稳
定焦点或不稳定结
点
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●
关于相平面法的分析表明，相平面内的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应●
保守系统在稳定平衡位置附近的等幅自由振动对应于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族
⏹密集的封闭相轨迹族
⏹其中一根对应相轨迹某一个实际的周期运动
⏹由初始运动状态确定⏹
对应着一个总机械能值
极限环
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