二次函数与幂函数教学设计.docx

幂函数与二次函数

高考考点：

1．求二次函数的解析式．

2．求二次函数的值域与最值．

3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关．题问

【复习指导】

本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性

质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问，题掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．

基础梳理

1．幂函数的定义

αx 是自变量，α为常

数．

(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数

一般地，形如y＝ x

2．幂函数的图象

1

在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝ x，y＝ x，y＝x

2，y＝x3，y＝x－1的图象分

2

别如右图．

3．幂函数的性质

3y＝ x1

2y＝ x

－ 1 y＝ x y＝ x2y＝ x

定义域R R R[0 ，＋∞){ x |x∈R 且

x≠0}值域R[0，＋∞)R[0 ，＋∞)

{ y |y∈R 且

y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

x∈[0，＋∞)x∈(0 ，＋∞)时，时，增减单调性增

增增

x∈(－∞， 0]x∈(－∞， 0)时，

时，减减定点(0,0) ， (1,1)(1,1) 4.二次函数的图象和性质

解析式f(x)＝ ax

2＋ bx＋ c(a>0)图象

定义域(－∞，＋∞)

2

值域4ac－ b

，＋∞

4a f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a<0)

(－∞，＋∞)

2

4ac－ b －∞，4a

b

在 x∈ －，＋∞ 上单调增递单调性2a

在 x∈

b

－∞，－

b

在 x∈ －∞，

－

2a

b

上单调减递2a 上单调增递

奇偶性当 b＝ 0 时为偶函数，

在x∈ －，＋∞上单调减递

2a

b≠0 时为非奇非偶函数

2

b4ac－ b

顶点－

2a ，

4a

对称性图象关于直线x＝

－

b

成轴对称图形

2a

5.二次函数解析式的三种形式

2 ＋bx＋c( a≠0) (1)一般式：f(x)＝ ax

2 ＋k(a≠0) (2)顶点式：f(x) ＝ a(x － h)

(3)两根式： f(x) ＝ a(x－ x1 )(x－ x2)( a≠0)

五个代表

函数y＝ x，y＝ x， y＝ x

2，y＝x3，y＝x1

－ 1可做为研究和学习幂函数图象和性的质

2

代表．

两种方法

函数 y＝ f(x) 对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y＝ f(x) 对定义域内所有x，都有f( x1)＝f(x2) ，那么函数y＝ f(x)的

图象关于x＝x1＋x2

对称．

2

(2)对于二次函数 y＝ f(x) 对定义域内所有 x，都有 f(a ＋ x)＝ f( a－ x)成立的充要条件是函数 y＝ f(x) 的图象关于直线 x＝ a 对称 (a 为常数 )．

双基自测

2

1． (2011·安徽)设f(x)是定义

在

R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝ 2x－ x，则f(1)

＝ ()．

A ．－3

B ．－ 1C． 1 D ． 3

解析∵f(x)为奇函数，∴f(1) ＝－ f(－ 1)＝－3.

答案A

n 在第一象限的图象．已知n 2.( 人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝x

1

取±2，±四个值，则相应于曲线C1， C2， C3， C4的n 值依次为

2

()．

1111

A ．－ 2，－，

， 2 B ． 2，，－

，－ 2

2222

1111

C．－

，－ 2,2， 2D． 2，2

，－ 2，－

22

答案B

3． (2011 ·浙江) 设函数 f(x) ＝－ x， x≤ 0，

若 f( α)＝ 4，则实数α等于 ()．2， x＞ 0.

x

A ．－ 4 或－ 2

B ．－ 4 或 2 C．－ 2 或 4D．－ 2 或 2

解析

α≤ 0，

或

α＞0，得α＝－4 或α＝2，故选

B.

由

α

2

＝4，

－α＝4

2

＝ 4，

答案B

2－ 2x＋ 2 的定义域和值域均为[1 ， b]，则 b 等于 ()．4．已知函数f(x) ＝ x

A ． 3

B ． 2 或 3C． 2 D ． 1 或 2

解析函数 f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2 在 [1 ， b]上递增，

f 1 ＝ 1，

f b ＝ b，即

b>1，

由已知条件

2－ 3b＋ 2＝ 0，

b

b>1.

解得 b＝ 2.

答案C

5．(2012 ·武汉拟模)若函数 f(x) ＝ (x＋ a)(bx＋ 2a)(常数 a、b∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞， 4]，则该函数的解析式f(x)＝ ________.

解析 f (x)＝ bx2＋( ab＋2a)x＋2a2

由已知条件ab＋ 2a＝ 0，又 f(x)的值域为(－∞， 4]，