三维磁数据反演

三维磁数据反演Li Yaoguo Douglas W. Oldenburg(UBC- geophysical inversion facility.dept. of Geophysics and Astronomy,Universityof British Columbia,Canada )摘要：我们提出一种反演地表磁数据（surface magnetic data）的方法来恢复三维磁化稀疏模型，为了使用最灵活的模型来表示地质的真实结构，我们将三维模型区域离散为一些长方形细胞（cell）。

每个细胞有一个固定的磁化系数。

细胞的个数一般远远大于获得的数据的个数，因此我们需要解一个欠定的问题。

通过极小化一个由模型目标函数（model objective function）和数据误差（data misfit）构成的全局目标函数（global objective function）来得到解。

这个算法可以将先验信息包含到模型目标函数（model objective function）中，通过利用一个或更多的合适的权重函数。

反演的模型参数可以是磁化系数也可以是其对数。

如果选择磁化系数，则需要一个正的常数来将提非唯一性并且来保持物理物理真实性。

我们的算法假设不存在剩余磁化，并且磁数据只是由人工磁场（induced magnetization）产生。

所有的最小化通过一个子空间法来计算，利用该方法在每磁迭代只需要很少的搜索向量。

这样就避免了直接解大规模方程组系统，因此由许多细胞（cell）组成的地球模型可以由台式工作站计算出来。

该算法用合成例子和真实例子通过了验证。

介绍磁法勘探已经被广泛使用有很多年了，百岁大量勘探区域的是海量的数据。

磁数据用来映射地震结构，尤其是在勘探的勘测阶段，但是当需要用于详细的探矿时，必须采用稳健有效的反演算法。

但是，势数据（potential data）反演的一个主要的困难是其内在的多解性。

根据Gauss定理，如果只知道边界面的场的分布，则有无穷多等效的源分布位于内部来产生已知的场。

任何地球表面测量的磁场可以由界面下无穷小的磁偶极子重新产生（any magnetic field measured on the surface of the earth can be reproduced by an infinitesimally thin zone of magnetic dipoles beneath the surface）.从数学的观点看，这儿意味着磁场数据中没有深度分辨率。

非唯一性的第二个原因是此法观测到有限个量并且是不精确的。

磁数据的非唯一性问题的严重性见图1-3（The gray scale in all figures indicates susceptibility in SI units for model sections and magnetic data in nT for data plots）. 具有相同磁化系数的一个三维dipping prism 产生的表面的磁场见图2，由441个数据组成。

三维磁化系数的切片见图3，这些切片能重新产生这441个数据。

这个结果与真实模型没有任何相似。

磁化系数集中在表面并且显示了负值的区域。

这个数学模型的解没用提供真实解结构的任何有用信息。

面对这种非常强的不唯一性。

之前的学者在反演次数据时一般采用两种方法。

第一种是参数反演，其中一些几何结构简单的模型的参数可以通过非线性反演得到，其值可以通过解一个超定的问题得到。

这种方法适合于异常来源于已知的简单物体的情形，但是需要震源的许多先验信息，这些先验信息表示成一个初始的参数，对参数值的初始猜测，and limits on the susceptibility allowed( Bhattacharyya,1980;Zeyen and Pous,1991). 非唯一性一般不是一个问题因为值考虑很少的可能的模型由于反演算法的束性。

一个相关的，但是独特的方法是Wang 和Hansen （1990）年提出的，假设 polyhedronal 产生异常的物体并且反演这些物体顶点的位置使用磁数据的谱。

该方法在原则上是一般的，但是在根据恢复的顶点构造causative body 和得到磁化系数分布时有一定的困难。

在反演磁数据的第二个方法中，地球被分成许多个具有固定大小的并且磁化系数未知的细胞。

接的非唯一性被认识到并且算法由最小化一个关于模型的目标函数产生了唯一的模型，这个目标函数的约束条件是拟合数据。

Green （1975）极小化一个赋权的模型范数关于一个参考模型，并且允许解释者通过根据获得的信息变换权重来进行反演。

Last 和Kubik(1983)选择极小化causative body 的全部量使得最终模型是紧的并且结构简单。

Gullien and Menichetti(1984)极小化causative body 的惯量的矩关于重力的中心或者穿过它的轴。

他们反演的结果由估计中心深度和causative 物体的倾角来支配。

这些方法具有优点但是对于我们要处理的问题不足够灵活。

This is especially true of methods that attempt to collapse the anomalous susceptibility in to a single body; 这样一个解很少是地质结构的充分表示。

In our inversion approach, we first make a decision about the variable in which the interpretation is to be made, that is, whether susceptibility, log susceptibility, or some function of susceptibility is sought. 然后我们构造一个多元的目标函数，这个目标函数能够灵活的产生不同类型的目标函数。

这种目标函数要使其能够修正数学数学可以接受的但是不需要的方面，如图3。

如磁化系数在地表的集中，额外的结构和负磁化系数的存在性。

我们的模型包括一个可选择的参考模型（optional reference model ）使得构造的模型和其逼近.这样可以惩罚三个方向的粗糙性，并且具有一个深度权重，这个权重用来设计关于深度的磁化系数的分布。

目标函数中的三维赋权函数可以用来包括关于模型的更多的信息。

这些信息可能有其他的地球物理勘探方法，地质数据，解释者对地质模型定性的或者定量的理解和磁化系数的关系获得，这些三维赋权函数可以用来回答由之前反演的磁化系数的存在性的问题。

负磁化系数通过变量的变换和解一个非线性的反问题来防止。

反演的数值解由划分地层为许多细胞来完成，这样可以构造相对复杂的地质结构。

解大规模矩阵系统的困难可以通过明确的用一个子空间法求解来避免。

本文首先列出了我们的反演方法并且根据合成的单个三维棱镜体的反演经验的估计深度权重参数。

两个合成模型的数据被用于反演。

本文最后反演一个关于铜-金斑岩沉积的真实的场数据，并且给出了后续的讨论。

反演方法在地表观测的每个磁异常数据可以由计算异常磁场到一个给定方向的投影得到。

令场源区域通过一个正交的三维网格被划分成一些长方形的细胞，假定没每个细胞内有固定的磁化系数值κ。

此外假设不存在剩余磁场，去磁作用可以忽略。

因此只考虑诱发的磁场（induced magnetization ）.这个磁化在每个细胞内是一样的，并且由磁化系数和诱发磁场H 的乘积得到。

一个地面位置的磁异常和地下磁化系数的关系为κG d = （1）其中T N d d d),,(1 =是数据向量，T N ),,(1κκκ =是细胞内的磁化系数。

矩阵G 的元素为ij g ，用来确定一个从j 个细胞对第i 个数据的磁化系数的分布 对于ij g 的闭形式的解首先是Bhattacharyya(1996)年提出，然后是Rao 和Babu(1991)将其简化成一个更适合计算机快速计算的形式。

函数ij g 是一个长方形细胞产生的磁场在一个方向上的投影，因此公式（1）对于计算不同的磁异常是有效的。

例如到竖直方向上的投影得到了竖直磁异常，而到周围地磁场的方向的投影得到了全部的磁异常。

因此，本文提出的方法可以用来反演不同类型的磁数据，因此在后面的文中我们指其为具有特殊方向的磁数据。

（ we simply refer to them as the magnetic data with the understanding that it is direction specific ）.我们的反演问题被构造成一个最优化问题，极小化关于模型的一个目标函数，并且约束条件是和公式（1）。

对于磁反演，第一个问题是考虑模型的定义。

两个选择κ和)ln(κ，但是原则上任何函数)(κg 都可以采用。

一般我们喜欢反演κ，因为场异常直接与磁化系数成比例，关于一个线性尺度变化。

但是依靠期望的磁化系数的动态范围，和与其值或者变化相关的物理解释，因此可能)ln(κ更加适合。

为了适合这个，对于模型我们引进一个普通的符号m ，它可能是κ，)ln(κ，或者其他的单调函数)(κg 。

定义了这个模型后，我们下面构造一个目标函数，当极小化这个目标函数时，产生一个地球物理上可以解释的模型。

目标函数的具体形式根据问题来决定，但是一般情况下我们需要灵活的选择一个参考模型0m 并且在三个空间方向上模型是相对光滑的。

这里我们采用一个右手笛卡尔（Cartesian ）正交坐标系，定义x 为正北，z 向下为正。

令模型目标函数为{}⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+-=V z z V y y V x x Vssmdvz m r m z w w dvy m r m z w w dvx m r m z w w dvm r m z w w m 2020202])()[(])()[(])()[(])()[()(ααααφ其中函数z y x s w w w w ,,,为和空间相关的权重函数，而z y x s αααα,,,为影响目标函数目标函数中不同元素的相对重要性的系数。

这里)(z w 是一个深度权重函数。

很容易将公式（2）写成mv ms mφφφ+=，其中ms φ是公式（2）中的第一项，mv φ为剩余的三项。

包括模型在三个方向上的变化。

公式（2）的目标函数的能够灵活的构造许多不同的模型。

参考模型0m 可能是一个一般的背景模型，该模型由之前的调查得到，或者为0模型。

参考模型可能一般包含于ms φ，but it can be moved if desired from any of the remaining terms.一般我们对于指定一点的模型的值比提供该点的梯度更有信心。