第3章 MATLAB的符号运算_微分方程求解_符号代数方程
Matlab中的符号计算与代数运算技巧
Matlab中的符号计算与代数运算技巧Matlab是一种强大的数值计算软件，广泛应用于数学、工程、科学等领域。
除了数值计算以外，Matlab还提供了符号计算和代数运算功能，使得用户可以进行高效、精确的数学推导和研究。
本文将介绍Matlab中的符号计算与代数运算技巧，帮助读者更好地利用这些功能。
首先，我们来了解一下Matlab中的符号表示方式。
Matlab使用符号对象来表示数学表达式，并可以进行各种数学运算。
符号对象可以用来表示方程、函数等复杂的数学结构，同时还可以进行求导、积分、求解方程等操作。
要创建一个符号对象，只需使用符号工具箱提供的`sym`函数即可，例如：```syms x y; % 创建符号变量x和ya = sym('a'); % 创建名为a的符号变量f = symfun(a*x^2 + y, [x,y]); % 创建一个符号函数对象```创建了符号对象后，我们就可以进行各种符号计算和代数运算。
下面介绍一些常用的符号计算技巧。
1. 简化表达式在Matlab中，我们可以使用`simplify`函数对表达式进行简化。
这个函数可以自动化简表达式，消除冗余的项、合并相同的项，并尝试将结果以最简形式展示出来。
例如，我们可以将表达式`(x+1)^2 - x^2 - 2*x - 1`简化为`0`：```expr = (x+1)^2 - x^2 - 2*x - 1;simple_expr = simplify(expr);disp(simple_expr);```2. 展开表达式使用`expand`函数可以将一个表达式展开为多项式的形式。
展开表达式有助于进行进一步的计算和分析。
例如，我们可以将`(x+y)^3`展开为`x^3 + 3*x^2*y +3*x*y^2 + y^3`：```expr = (x+y)^3;expanded_expr = expand(expr);disp(expanded_expr);```3. 因式分解对于一个多项式表达式，我们可以使用`factor`函数将其进行因式分解。
Matlab中的符号计算方法
Matlab中的符号计算方法在数学和科学领域，符号计算是一个重要的工具。
它可以帮助我们进行精确的数学计算和推理，而不仅仅是依赖计算机的数值近似。
Matlab作为一个强大的数值计算软件，也提供了丰富的符号计算功能，用于代数运算、微积分和代数方程求解等方面。
本文将介绍Matlab中的一些常用的符号计算方法和技巧。
一、符号变量在Matlab中，我们可以通过声明符号变量来表示符号对象。
符号变量通常用小写字母表示，例如x、y、z等。
使用符号变量，我们可以进行各种代数运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
下面是一些示例：syms x y zf = x^2 + y^2 - z^2;g = (x + y + z)^3;h = sin(x) * cos(y);通过声明符号变量，并使用这些变量进行计算，我们可以得到精确的结果，而不是使用数值近似。
二、符号表达式在Matlab中，符号表达式是由符号变量和运算符组成的一种数据类型。
使用符号表达式，我们可以构建复杂的代数表达式和方程。
例如，我们可以定义一个符号表达式f表示一个多项式函数，并对其进行运算：f = x^3 - 2*x^2 + x - 1;我们可以对符号表达式进行加减乘除等运算，并得到一个新的符号表达式。
三、代数方程求解在解决数学问题时，我们经常需要求解代数方程。
Matlab提供了强大的符号求解工具，可以帮助我们求解各种类型的代数方程。
例如，我们可以使用solve函数求解一元方程：syms xeqn = x^2 - 3*x + 2 == 0;sol = solve(eqn, x);通过solve函数，我们可以找到满足方程eqn的所有解，并将其存储到sol变量中。
除了一元方程，Matlab还支持多元方程的求解。
例如，我们可以使用solve函数求解一个二元方程组：syms x yeqn1 = x + 2*y == 5;eqn2 = x - y == 1;sol = solve([eqn1, eqn2], [x, y]);通过solve函数，我们可以找到满足方程组eqn1和eqn2的所有解，并将其存储到sol变量中。
Matlab符号计算
s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。
Matlab中的符号及符号表达式计算方法介绍
Matlab中的符号及符号表达式计算方法介绍概述：在数字计算和科学工程领域，Matlab是一种非常常用的工具。
它被广泛用于进行数据分析、数值计算和模拟。
除了传统的数值计算，Matlab还提供了符号计算功能，这使得用户可以进行符号表达式的建模和计算。
本文将介绍Matlab中的符号计算功能，包括符号和符号表达式的定义、建模和计算方法。
一、符号计算的定义和背景：符号计算是一种将数学问题表示为符号表达式进行求解的方法。
与传统的数值计算相比，符号计算不仅可以处理具体数值，还可以处理未知变量和符号表达式。
这意味着符号计算可以进行精确的数学求解，提供准确的符号化结果。
在Matlab中，符号计算可以通过Symbolic Math Toolbox实现。
通过该工具箱，用户可以定义符号变量、符号表达式和符号函数，并进行各种符号计算。
二、符号变量的定义和使用：在Matlab中，可以使用"syms"命令定义一个或多个符号变量。
符号变量是不具体数值的变量，可以代表任意数值或符号。
下面是一个示例：syms x y z; %定义符号变量x、y和z定义完成后，我们可以将符号变量用于构建符号表达式，并进行各种符号计算。
例如，可以定义一个简单的符号表达式，并计算其导数：f = x^2 + y^2 + z^2; %定义符号表达式fdf_dx = diff(f, x); %计算f对x的导数三、符号表达式的建模和操作：在Matlab中，可以使用定义的符号变量构建复杂的符号表达式，并进行各种符号操作。
例如，可以定义一个二次方程，并求解其根：syms a b c x;equation = a*x^2 + b*x + c; %定义二次方程roots = solve(equation, x); %求解方程的根除了求解方程的根，还可以进行符号表达式的展开、因式分解、合并等操作。
这些符号操作扩展了Matlab的数学建模能力，使得用户能够更加灵活和方便地进行符号计算。
Matlab_3_4
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
解非线性方程组的函数命令 解非线性方程组的函数命令fsolve 函数命令 其调用格式为： 其调用格式为： 解非线性方程组最简单的调用格式。 ◆ x=fsolve(fun,x0) ：解非线性方程组最简单的调用格式。
该式中除两个输入参数外，其余输入输出参数都可以缺省； 该式中除两个输入参数外，其余输入输出参数都可以缺省； ◆ [ x,fval,exitflag,output,jacob]=fsolve(fun,x0,options,P1,P2...)： 解 非 ：
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
d. 常微分方程的符号解 用来求常微分方程的符号解。 函数 dsolve 用来求常微分方程的符号解。
在符号方程中，用符号表达式中包含的字母“ 来代替微分运算， 在符号方程中，用符号表达式中包含的字母“ D”来代替微分运算，符 来代替微分运算 分别对应于第二、第三、 第 阶导数。 号 D2、D3、…DN 分别对应于第二、第三、…第 N 阶导数。因变量是 、 、 后面的变量， 位于 D后面的变量，缺省的自变量为 t。 后面的变量 。
10 − 1 0 A = − 1 10 − 2 0 − 2 10 9 B = 7 6
>> sym(A)\sym(B) ans = [ 473/475] [ 91/95] [ 376/475] >> vpa(ans,6) ans = [ .995789] [ .957895] [ .791579]
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
的根。 求方程组 x1 − 0.7 sin x1 − 0.2 cos x 2 = 0 的根。
x 2 − 0.7 cos x1 + 0.2 sin x 2 = 0
MATLAB符号运算运用
MATLAB符号运算运用1. 求解方程：MATLAB可以通过符号运算求解各种复杂方程。
例如，我们可以使用solve函数来求解一元一次方程，或者使用dsolve函数来求解微分方程。
例如，对于一个一元一次方程3*x - 2 = 0，可以使用下面的代码来求解：syms xeqn = 3*x - 2 == 0;sol = solve(eqn, x);在解得的结果sol中，将会包含方程的解。
2. 求导与积分：MATLAB使用diff函数进行符号求导，使用int函数进行符号积分。
符号求导与积分可以帮助我们对复杂函数进行分析和计算。
例如，对于一个函数y = x^2，我们可以使用下面的代码求解其导数和积分：syms xy=x^2;dy = diff(y, x);inty = int(y, x);在求导和积分的结果dy和inty中，将会包含函数的导数和积分结果。
3. 矩阵运算：MATLAB符号运算也可以应用于矩阵运算。
符号矩阵可以帮助我们进行矩阵的运算和分析。
例如，我们可以使用syms函数定义一个符号矩阵A，然后进行矩阵的加法、乘法等运算。
代码示例如下：syms a b c dA=[ab;cd];B=A^2;矩阵B将会是矩阵A的平方。
4. 求极限：MATLAB符号运算还可以用于求解各种数学函数的极限。
通过使用limit函数，我们可以计算函数在其中一点或者趋于其中一点时的极限值。
例如，对于一个函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，我们可以使用下面的代码计算其在x趋于1时的极限值：syms xf=(x^2-1)/(x-1);limit(f, x, 1);此时，将会输出函数在x趋于1时的极限值。
5. 求和与积：MATLAB符号运算还可以用于计算各种数学函数的求和与积运算。
通过使用symsum和symsum函数，我们可以计算符号函数的求和与积。
例如，对于一个求和函数sum(x, n, 1, inf)，我们可以使用下面的代码计算其无穷级数求和结果：syms n xf = sum(x, n, 1, Inf);symsum(f, n, 1, Inf);其中，将会输出求和结果。
第3讲matlab的符号运算
第三讲 MATLAB 的符号运算（注：文中红色字体为命令执行的结果，在Command 窗口中显示）3-1 符号对象的创建和使用1．符号运算入门符号运算的特点是，运算过程中允许存在非数值的符号变量。
先看如下示例： 函数2)(sin )(x x f =，用MATLAB 求它的微积分，命令如下：f=’sin(x)^2’; %定义符号函数f(x)dfdx=diff(f) %求dxx df )(的指令 intf=int(f) %求⎰dx x f )(的指令显示的计算结果为：dfdx=2*sin(x)*cos(x)intf=-1/2sin(x)*cos(x)+1/2*x 所以，x x dx x df cos sin )(2=，x x x dx x f cos sin )(2121-=⎰。
此例中，首先定义符号函数f=’sin(x)^2’，然后由符号运算获得2)(sin )(x x f =的微分和积分。
2．定义符号变量在使用符号变量之前，应先声明某些要用到的变量是“符号”变量。
声明符号变量的语句：syms 变量名列表或： sym(‘变量名’)其中各个变量名应该用空格分隔，而不能用逗号分隔。
如创建符号变量x 和a ：x=sym(‘x ’)a=sym(‘alpha ’)或用： syms x a %定义符号变量x 和a这里，变量x 和a 的类型是符号对象，它们被定义后，即可参与符号运算。
3．定义符号表达式和符号方程符号表达式和符号方程是两种不同的操作对象。
区别在于：符号表达式不包含等号（=），而符号方程须带等号。
它们的创建方式相同。
如：要考虑二次函数f=ax^2+bx+c ，可以创建符号表达式，赋值给符号变量f 。
f=sym(‘a*x^2+b*x+c ’)或：f=‘a*x^2+b*x+c’此例中，将符号表达式赋给符号变量f，但这不是必需的，引入符号变量是为了以后调用方便。
在这种情况下，没有创建对应于表达式中a、b、c、x项的变量，为了执行符号数学运算（如微分、积分等），必须显式地创建这些变量，可用下列命令创建：syms a b c x如下例中创建了符号表达式和符号方程，分别赋给相应的符号对象。
第3章 MATLAB的符号运算_微分方程求解_符号代数方程
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
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数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
23/46
df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
– 例：>>rho=1+sqrt(5)/2; >>sym(rho,’d’); ans= 2.1180339887498949025257388711907
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符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
matlab符号运算求解微分方程
matlab符号运算求解微分方程在科学研究和工程技术领域，微分方程是一种常见的数学模型，用于描述存在着变化和相互关联的自然现象。
然而，微分方程通常需要采用解析或数值方法才能得到精确的解。
而作为一种强大的数学计算软件和编程语言，MATLAB的符号计算工具可以提供一种方便有效的方式来求解微分方程。
符号计算是一种基于数学公式和符号代数方法的计算技术，相比于数字计算，它更加精确和高效。
在MATLAB中，通过Symbolic Math Toolbox可以轻松实现符号计算，包括求解微分方程、计算积分、求解方程等。
下面我们将从三个方面介绍如何使用MATLAB求解微分方程。
一、符号变量的定义和使用在MATLAB中，我们首先需要定义符号变量。
通过声明符号变量，我们可以让MATLAB知道我们要处理的变量是符号变量，而不是数字变量。
定义符号变量可以使用syms函数。
例如，我们要定义一个符号变量x，只需要在MATLAB命令窗口中输入以下代码：syms x接下来，我们可以使用符号变量x来表示各种函数表达式和微分方程中的未知函数。
例如，我们可以定义一个函数表达式f(x)：f(x) = x^2 + 2*x + 1我们可以使用f(x)来表示这个函数，在MATLAB命令窗口中输入f(x)，就可以得到函数的值。
同时，符号变量也可以用来表示微分方程中的未知函数。
例如，我们可以定义一个一阶常微分方程：syms y(x)ode = diff(y,x) == x其中，y(x)表示未知函数，而ode表示微分方程。
diff函数用于求解函数y(x)对x的导数。
我们可以使用dsolve函数来求解微分方程。
例如，我们可以在命令窗口中输入以下代码：dsolve(ode)通过这个函数调用，MATLAB将给出微分方程的解析解。
二、符号运算和微分方程求解在MATLAB中，我们可以使用符号运算来对方程进行化简和求解。
符号运算包括：1. simplify：对表达式进行化简；2. collect：将表达式中相似的项进行合并；3. factor：将表达式进行因式分解；4. expand：将表达式展开；5. subs：用指定的符号代替表达式中的变量。
MATLAB符号运算运用
s2 = 1/6*pi^2 >>s3=symsum(x^k,'k',0,inf)
s3 = -1/(x-1)
%计算级数的前10项和 %计算级数和 %计算对k为自变量的级数和
【例】求ex的泰勒展开式
>> syms x
syms a b c x
%创建多个符号变量
f2=a*x^2+b*x+c
%创建符号表达式
f2 =
a*x^2+b*x+c
syms('a','b','c','x')
f3=a*x^2+b*x+c;
%创建符号表达式
3.1.3 符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。 例如，
>>A=sym('[a,b;c,d]') A= [ a, b] [ c, d] >>syms a b c d
(2) 关系运算符
在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、 “小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的 概念。 运算符“= =”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行 “相等”、“不等”的比较。当为“真”时，比较结果用1
2. 函数运算
(1) 三角函数和双曲函数 三角函数包括sin、cos、tan；双曲函数包括sinh、cosh、 tanh；三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外，其 余的asin、acos、atan函数在符号运算中与数值计算的使用 方法相同。
2. fourier反变换 语法： f=ifourier (F) %求频域函数F的fourier反变换f(t) f=ifourier (F,w,t)
实验三MATLAB的符号运算
实验三 MATLAB 的符号运算一 实验目的：1.掌握符号对象的创建及符号表达式化简的基本方法；2.掌握符号微积分、符号方程的求解的基本方法。
二 实验装置：计算机三 实验内容：1.符号对象的创建(1) 建立符号变量使用sym 函数把字符表达式'2*sin(x)*cos(x)'转换为符号变量。
2.符号表达式的化简(1)因式分解对表达式f=x 3-1 进行因式分解。
(2) 符号表达式的展开对符号表达式f=cos(x+y)进行展开。
（3）符号表达式的同类项合并对于表达式f=（2x 2*(x+3)-10)*t ，分别将自变量x 和t 的同类项合并。
（4）符号表达式的化简（5）符号表达式的分式通分对表达式 进行通分。
（6）符号表达式的替换用新变量替换表达式a+b 中变量b 。
3.符号微积分(1) 符号极限计算表达式 的极限。
(2)符号微分计算表达式f=sinx 的微分。
(3)符号积分。
例：简化32381261+++=xx x f 22x y y x f +=xtgx x lim 0→()⎰+dzz x31计算表达式 的积分。
(4)符号求和计算表达式 4.符号方程的求解求解代数方程组 四 实验要求:1．按照要求预习实验；2．在MATLAB 中运行实验程序验证仿真结果；3. 按照要求完成实验报告。
.10005∑k⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+-043035218472z y x z y x z y x。
第3讲 MATLAB语言的符号运算
2、微分
Matlab求微分的函数是diff()
说明：
①用diff(f)求 f 对预设独立变量的一次微分；
② diff(f,t)求 f 对独立变量 t 的一次微分;
③用diff(f,n)求 f 对预设独立变量的n次微分 ④diff(f,t,n)求 f 对独立变量 t 的n次微分; ⑤ f 可以是标量、向量、矩阵。
调用格式如下：
通过F=fourier(f)求时域函数f的Fourier变换
①如果采用F=fourier(f)的格式，默认积分变量是x;
③invfourier()为Fourier反变换。
②如果采用F=fourier(f,u)的格式，指定u为积分变量；
例：计算时间函数的 >>syms t w
f (t ) e
(t ) y (t ) x (t ) x(t ) y
[x,y]= dsolve(‘Dx=y’,Dy=-x’) [f,g]= dsolve(‘Df=3*f+4*g’,’Dg=-5*f+2*g’)
⑥ 2个微分方程，给定初始条件 [x,y]= dsolve(‘Dx=y’,Dy=-x’,’x(0)=0’,’y(0)=1’)
3.4 微分方程求解
符号运算中的微分方程求解函数可利用如下格式
dsolve(‘方程1’，‘方程2’，…) 函数格式说明： ①可多至12个微分方程的求解； ②默认自变量为x，并可任意指定自变量t,u等；
③方程的各阶导数项以大写字母“D”作为标识，后接 数字阶数，再接解变量名；
④初始条件以符号代数方程给出，如果初始条件项缺 省，其默认常数为C1,C2,…等； ⑤返回变量的格式为：[Y1,Y2,…]=dsolve(…)
3.6 符号表达式的运算
第三章-matlab符号运算
例3-1 符号对象和普通数据对象之间的差别
>> sqrt(2)
ans = 1.4142
>> a=sqrt(sym(2))
％返回数值结果 ％符号变量
a= 2^(1/2)
％返回符号结果
>> double(x)
％求符号的值
ans =
1.4142
>> sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3) ％符号表达式
参进制数形式
A为指数形式
A为浮点数形式，将数值表示为 '1.F'*2^(e) 或 者 '-1.F'*2^(e) 的格式，其中 F 为13 位十六进 制数，e 为整数
例： >> t=0.1 t= 0.1000 >> sym(t) %有理数形式 ans = 1/10
例： syms x y z
（3）默认符号变量
一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变 量的系数，而用排在后面的字母表示变量。 例如：
f=sym(‘ax2+bx+c’) 表达式中的a, b, c通常被认为是常数，用作变量的 系数；而将x看作自变量。
3、 符号表达式的生成
符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。
例： f=sym(‘cos(alpha)*b*x1+14*y’) findsym(f) %alpha，b，x1, y findsym(f, 2) %x1, y
subs 函数：将符号表达式中的符号变量用数值代替。
– subs( f )：显示符号表达式f。
– subs( f, new )：用new替代符号表达式f的系统默认变量。 默认变量的选择规则为：对于只包含一个字符的变量， 选择靠近 x 的变量作为默认变量；如果有两个变量和 x 之间的距离相同，则选择字母表后面的的变量作为默认 变量
第三讲MATLAB的符号运算
④计算所需的时间较长。
• Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用
Maple软件实现符号计算的。
• Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件
的主导地位。
2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x'
由符号变量构成的符号函数和 符号方程
• 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函
数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
• 包括：符号函数和符号方程。判断看带不带等
号。 例：syms x y z; f1=x*y/z;
f2=x^2+y^2+z^2; f3=f1/f2;
e1=sym('a*x^2+b*x+c')
factor(x^3-y^3)
• simplify( ) 该函数是一个强有力的具有
普遍意义的工具，它利用Maple化简规则 对表达式进行简化。
例：S=sym('[(x^2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16)]')
simplify(S)
• simple( ) 用几种不同的算术简化规则对
符号表达式进行简化，使其用最少的字 符来表示。
行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。
• 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简
化、提取分子和分母、倒数、反函数。
• 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。
• 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后
三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。
MATLAB第三讲符号运算及绘
化简根号表达式
使用`sqrt`函数化简根号表达式，例如 `sqrt(x^2)`化简为`abs(x)`。
符号函数的计算
1 2
符号函数的求值
使用`subs`函数将符号表达式中的变量替换为具 体数值进行计算，例如`subs(expr, x, 2)`。
符号函数的复合
使用函数句柄和参数列表定义符号函数，例如`f = @(x) x^2 + 2*x + 1`。
符号方程求解
使用solve函数求解代数方程，例如 solve(x^2 - 4*x + 4)。
绘图实例
线性图
使用plot函数绘制线性图，例如plot(x, y)。
柱状图
使用bar函数绘制柱状图，例如bar(x, y)。
散点图
使用scatter函数绘制散点图，例如scatter(x, y)。
曲面图
使用surf函数绘制曲面图，例如surf(x, y, z)。
三维等高线图
使用contour函数绘制三维等高线 图，可以展示三维空间中数据点的 等高线分布。
图形标注与修饰
标题和轴标签
使用title和xlabel、ylabel、 zlabel函数添加标题和轴标签，
以解释图形含义和坐标轴意义 。
网格线和参考线
使用grid on和hold on命令添 加网格线和参考线，以增强图 形可读性和比较不同数据系列 。
趋势。
条形图
使用bar函数绘制条形图， 可以展示分类数据的大
小比较。
饼图
使用pie函数绘制饼图， 可以展示各类数据占总
体的比例。
绘制三维图形
三维散点图
使用scatter3函数绘制三维散点 图，可以展示数据点在三维空间
MATLAB符号运算与符号方程求解
2．建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种
方法： (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
.
9.1.2 符号表达式运算 1．符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、
(5) limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边 趋近于a。
.
例9-1 求下列极限。 极限1： syms a m x; f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a 极限2： syms x t; limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)
symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。 2．符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用
numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式 为： [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。 例9-7 求下列级数之和。
.
9.3.2 函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调
用格式为： taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项
MATLAB中的符号运算
k
2 4
x2
2x 1
3
3x 4
在必要时，numden将表达式合并、有理化并返回所得的分 子和分母。进行这项运算的MATLAB语句是：
m= ' x^2 ' % create a simple expression m= x^2 [n，d]=numden(m) % extract the numerator and denominator n= x^2 d= 1 f= ' a*x^2/(b-x) ' % create a rational expression f= a*x^2/(b-x) [n，d]=numden(f) % extract the numerator and denominator n= a*x^2 d= b-x
diff( ' sin(omega) ' ， ' omega ' ) % specify the independent variable ans= cos(omega)
符号表达式运算
一旦创建了一个符号表达式，或许想以某些方式改变它； 也许希望提取表达式的一部分，合并两个表达式或求得表 达的数值。有许多符号工具可以帮助完成这些任务。 所有符号函数(很少特殊例外的情况)作用到符号表达式和 符号数组，并返回符号表达式或数组。其结果有时可能看 起来象一个数字，但事实上它是一个内部用字符串表示的 一个符号表达式。可以运用MATLAB函数isstr来找出像似 数字的表达式是否真是一个整数或是一个字符串。
g=' 3*x^2+5*x-4 ' g= 3*x^2+5*x-4
% create another function
matlab第三章符号运算
将表达式中的括号进行展开
将表达式进行分解
嵌套
集项 化简 化简
horner(表达式)
collect(表达式) simplify(表达式) simple(表达式)
将一般的表达式变换为嵌套的形式
将表达式按某一个（或某几个）变量的 幂进行集项 利用各种恒等关系、函数关系将表达式 化简 通过各种方式将表达式化简，使之成为 书写长度最短的简化形式
Taylor展开：taylor(f,n,x0)
f e x 在 x0 0 作5阶Taylor展开，在 x0 1 例18：将
作4阶Taylor展开。
解： syms x f=exp(x); p50=taylor(f,5,0); p41=taylor(f,4,1); p50,p41 p50 =1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4 p41 =exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x1)^2+1/6*exp(1)*(x-1)^3
2 2
将符号形式转换为数值形式：eval 例4：黄金分割数 r 1 5 的符号表达式r='(1+sqrt(5))/2' 2 r =(1+sqrt(5))/2 eval(r) ans = 1.6180 例5：syms x p3 p3=x^3-4*x+5; sym2poly(p3) ans = 1 0 -4 5
x2 y m 例20：求方程组 x y n
解：syms x y m n f1=('x^2-y=m');
f2=('x+y=n');
[x,y]=solve(f1,f2,x,y) x = -1/2-1/2*(4*n+1+4*m)^(1/2) -1/2+1/2*(4*n+1+4*m)^(1/2) y = n+1/2+1/2*(4*n+1+4*m)^(1/2)
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1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
2、函数命令syms格式 syms s1 s2 s3;创建3个符号对象
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符号常量
符号常量是一种符号对象。数值常量如果作为函数命令 sym（）的输入参量，这就建立了一个符号对象——符 号 常量 例如：sym(1/8)
y + y sin(2x) + 0, y x=
1, y = 1 x
见example3_15
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14
符号运算实现各种变换
ztrans(f) —— Z变换 例：>>zf=ztrans(2^n)
zf=1/2*z/(1/2*z-1) iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 例：>>sf=laplace(t^5)
的反函数
见example3_10
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10
Matlab符号微积分运算（P55）
符号极限运算limit（f，x，a） x->a 符号微分运算diff（f，x，n）
符号积分运算int（f）
函数命令findsym（f,n） 在微积分、函数表达式化简、解方程中，确定自变量 是必不可少的。在不指定自变量的情况下，按照数学 常规，自变量通常都是小写英文字母，并且为字母表 末尾的几个如t、w、x、y、z等等。在matlab中，用 此函数确定一个符号表达式中的自变量。
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例1：试证明 lim(1+ 1 )n e
n
n
例2：试求
mx lim
ma =?
xa x a
例3：试求
sin x lim
=?
x0 x
1
1
例4：试求 lim e x = ?, lim e x ?
x0
x+ 0
见example3_11
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11
例5：已知函数
f = ax 求
df d 2 f ,
第3章 MATLAB的符号运算
1
MATLAB符号运算入门
科学与工程技术的数值运算固然重要，但自然科学 理论分析各种各样的公式、关系式及其推导就是符 号运算要解决的问题。它与数值运算一样，都是科 学计算研究的重要内容。Matlab数值运算的对象是 数值，而matlab符号运算的对象则是非数值的符号 对象。符号对象就是代表非数值的符号字符串。
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符号运算与数值运算的区别
例求解: f = 2
1
中f的值 。
其中 =（1 5）/ 2
数值运算 ：
>>rho=(1+sqrt(5))/2
rho=1.6180 >>f=rho^2-rho＋1 f=2.000
符号运算： >>rho=sym(‘(1+sqrt(5))/2
’) rh0= (1+sqrt(5))/2 >>f=rho^2-rho＋1 f=(1/2+1/2*5^(1/2))^2+1/2
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8
符号表达式的化简 1、 factor()
符号表达式因式分解的函数命令 2、expand()
将符号表达式展开 3、collect()
符号表达式的合并 格式1：collect（E，v） 按v变量合并 格式2：collect（E）按默认变量合并 4、simplify() ,simple() 将将符号表达式运用多种恒等式变换进行综合化简 格式1：simplify（E） ,simple（E） 格式2：[R,HOW]＝simple（E）
-1/2*5^(1/2))
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2
例1：求解一元二次方程x2 + 2x 2 + 0的解。
solve()
见example3_1
例2：对于数学表达式x2 y + yx x2 2x 合并关于
x 的同类项。
见example3_2
例3：对于数学表达式 (x2 +1)(x 2)(x + 3)
collect()
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
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df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
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9
例5：试对 e1 = sin2 x cos2 x e2 = ecln( + )
进行综合化简。
例6：试对 e1 = ln x ln y e2 = 2 cos2 x sin2 x
e3 = cos x j sin x
e4 = x3 3x2 + 3x 1 e5 = cos2 x sin2 x
进行综合化简。
ab
例7：求以下矩阵行列式的值 p =
det()
cd
见example3_4 6
3
Matlab符号运算的几个基本概念
符号对象（P49）：
符号对象是symbolic math toolbox定义的一种新的数据 类型（sym类型），用来存储代表非数值的字符符号（通 常是大小写的英文字母及字符串）。符号对象可以是符号 常量（符号形式的数），符号变量，符号函数以及各种符 号表达式（符号数学表达式，符号方程与符号矩阵）
例：f=sym('a*x^2+b*2+c')
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
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数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
>> A=sym(A) A= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
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5
数值转化为符号
sym(‘数值变量‘,’f’)－返回浮点表示形式 sym(‘数值变量‘,’r’)－返回有理数表示形式[分式] sym(‘数值变量‘,’e’)－返回有理数表示形式[精确 误差] sym(‘数值变量‘,’d’)－返回十进制小数表示形式
Matlab符号微分方程的求解
dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…’初始条件部分’,’指定独立变量部分’)
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例1：对以下方程联立方程组
y2 z2 x2 y+z a x2 bx c
求a＝1，b＝2，c＝3时的x，y，z
见example3_14
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13
例2：求微分方程组的通解
dx + 2x dy + y t
0
0
4sin t
例11：计算广义积分 4xtdx = ? 2
见example3_13
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12
Matlab符号方程求解
Matlab符号代数方程的求解
格式1：solve(‘eqn1’,’eqn2’,…’eqnN’,’v1’,’v2’,…’vN’) 对方程组eqn1,eqn2,…eqnN按照变量v1,v2,…vN联立求解
见example3_9 19/46
Matlab两种特性的符号运算
复合函数的运算与函数命令compose
求复合函数
例1：已知 f = ln( x ) 与 g = u cos y
求：f
(
g ( x)),
f
(
g
(
z
t
))
见example3_10 反函数的运算与函数命令finverse
例2：求 y = ax b
例1：已知 f = axn by + k 试对其进行符号变量替换：
a = sin(t),b ln(w).k = ce dt 符号常量替换：n = 5, k
与数组数值替换：k = 1:1: 4
见example3_6 15/46
例2：已知 f = a sin x k
试求当：a = 1:1: 2, x 0 : : 时函数f的值。 63 见example3_7
sympow(s,p), (s^p)
见example3_5
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7
Matlab符号运算的基本内容
符号变量代换及其函数subs（P54）（重点）
格式：subs(s,old,new) 功能：将符号表达式S中的old变量替换为new。old一定 是符号表达式s中的符号变量，而new可以是符号变量、 符号常量、双精度数值与数值数组等。 格式：subs(s,new) 功能：用new置换符号表达式s中的自变量
dt
dt
dy + 5x 3y + t2 dt
dsolve()默认独立 自变量为t
例3：求微分方程组的通解以及满足所给初始条件的特解
dx dt
=
y,
x
t=0
0
dy = dt
x, y t=0
1
见example3_15
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例4：求欧拉方程的通解