混沌优化算法算例
配电网无功补偿优化的混沌遗传算法
现， Logistic 映射是通z李 倍周期分岔达到混沌 的， Logistic 映射的在一定范围内能不重 利用
复地遍历所有状态 ， 直到退出混沌。
(8) 重复(3)至(7)， ( ( 直到终止条件得以满
足。
[Key words]: GA;reactive power optimization;
Ue，。 U91 ‘ 二 二 ‘ ， U: 。 :
Q 。 :。‘Q . i ‘Q ‘ 。 ， 二 ，: 二 T, 。 。‘界:， ， 。‘T, ，: 。
式中:
L ogistic 映射研究的是混沌映射， 也就是
一个混沌序列， 它可以用非线性差分方程描述 ，
V口 :
D ist r ib ut on N et w or k B a s ed O n C G A i
科杖妞济市婚 2006 年 4 月
配电网 无功补偿优化的 混沌遗传算法
邓建斌 摘 要 : 遗传算法是一种模拟生物进化 过程的优化算法，可用于求解包含 离散化变量 的复杂优化 问题 ，文章将遗传算法应用于配电 网无功优化 ， 介绍了混沌遗传算法的具体步骤 ， 并将该算法对 IEEE30 节点 系统进行 了无功优 化计算， 将结果与遗传算法得到的结果进行比 较，表明混沌遗传算法应用于无功优化是合理 "J 行的。 关键词 :遗传算法; 无功优化 ; 配电网 Reactive Power Optimization of 陈少华 ( 广东工业大学 510090 ) 选中的多对个体交叉。
distribution network
1 引言
Q , Q;- 。 s,- g 为发电 机无功出力的上下限值。
U, 二 U 。 为节点电压幅值的上下限值。 2.3 功率约束方程 在电力系统无功优化模型中 ，考虑节点 有功功率和无功功率平衡约束 ， : 即 P = U; J工r Uj (Cy cos 3V+ B, sin Sy) 7 . J
混沌映射优化粒子群
混沌映射优化粒子群
混沌映射优化粒子群算法是一种基于混沌映射的粒子群优化算法。
混沌映射，如Logistic 映射，被用于生成随机数序列，以增加算法的随机性和多样性。
该算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，每个粒子仅具有两个属性：速度和位置。
然后通过迭代找到最优解。
在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。
在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。
混沌映射优化粒子群算法的具体步骤如下：
1. 初始化粒子群，包括每个粒子的位置和速度。
2. 采用混沌映射生成随机数序列，用来更新每个粒子的速度和位置。
3. 根据粒子的当前位置和历史最优位置来更新粒子的历史最优位置。
4. 根据所有粒子的历史最优位置来更新全局最优位置。
5. 根据更新后的速度和位置，继续迭代。
该算法具有简单、容易实现并且没有许多参数的调节等优势，已被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域。
混沌系统的控制与优化研究
混沌系统的控制与优化研究混沌系统，指的是表现出无规律、不可预测的行为的系统。
它在自然界和人工系统中都有广泛的应用，包括气象、金融、通信、力学等领域。
混沌系统不仅具有复杂性，还常常表现出一些有用的性质，如随机性、自适应性、非线性响应等。
因此，对混沌系统的控制和优化研究一直是科学家们关注的重要问题。
控制混沌系统的一种常用方法是李雅普诺夫控制，即通过改变系统初始状态或者外部控制信号来驱动系统走向目标状态。
其基本思想是运用某种方式使系统导向一个特定的不动点或周期状态；通过李雅普诺夫指数分析系统的稳定性，计算出李雅普诺夫指数，并在这个指数为正时，对系统进行恢复控制。
除了李雅普诺夫控制，还有很多其他方法被用来控制混沌系统。
例如，反馈线性化控制（Feedback Linearization Control）可以通过反馈线性化、状态反馈等方式，使混沌系统变得可控。
另外，使用非线性控制器、基于模糊逻辑的控制、基于神经网络的控制等方法也是控制混沌系统的有效手段。
对混沌系统的优化研究主要集中在优化目标函数的选择、优化算法的设计、优化问题的收敛性等方面。
目标函数的选择是混沌系统优化问题中的重要因素，通过适当的选择可以更好地反映实际问题。
而优化算法的设计则涉及到了模型、参数的选择以及方程求解等问题，需要科学家们在理论上做足功夫。
同时，优化问题的收敛性也是优化研究中不可忽视的问题，通过理论分析和实验验证，得出收敛性的规律性和影响因素，为混沌系统的优化研究提供重要的参考。
总的来说，混沌系统的控制和优化研究是一个充满挑战和未知的领域。
科学家们需要在理论和实践中探索通往成功的方法。
只有不断探索，才能走出一条科学研究的新路，为人类社会的发展做出积极贡献。
混沌优化算法
混沌优化算法1. 简介混沌优化算法（Chaos Optimization Algorithm，简称COA）是一种基于混沌理论的全局优化算法。
它通过模拟混沌系统中的非线性动力学过程，实现对目标函数的最小化或最大化。
COA算法具有快速收敛、全局搜索能力强等特点，在解决复杂优化问题方面具有很大的潜力。
2. 混沌理论基础混沌理论是描述非线性系统动力学行为的数学理论。
在混沌系统中，微小的初始条件差异会导致系统演化出完全不同的结果，这种现象被称为“蝴蝶效应”。
混沌系统具有无序、不可预测、灵敏依赖于初始条件等特点。
3. COA算法原理COA算法基于混沌系统中的非线性动力学过程，通过引入粒子群搜索和随机扰动机制来实现全局优化。
3.1 粒子群搜索COA算法中，将待求解问题看作一个目标函数在多维空间中的最小值寻找问题。
每个个体（粒子）代表一个潜在解，并通过自身的经验和群体的协作来搜索全局最优解。
粒子群搜索算法的核心思想是模拟鸟群觅食的行为，每个粒子根据自身经验和邻居的信息更新自己的位置。
3.2 随机扰动COA算法引入随机扰动机制，通过在搜索过程中引入一定程度的随机性，增加算法的多样性，从而避免陷入局部最优解。
随机扰动可以通过改变粒子个体位置、速度等方式实现。
3.3 算法流程COA算法流程如下：1.初始化种群：随机生成一定数量的粒子，并初始化其位置和速度。
2.计算适应度：根据目标函数计算每个粒子的适应度。
3.更新全局最优解：根据适应度更新全局最优解。
4.更新个体最优解：根据适应度更新每个粒子自身的最优解。
5.更新速度和位置：根据粒子群搜索和随机扰动更新粒子的速度和位置。
6.判断终止条件：如果满足终止条件，则输出全局最优解；否则，返回步骤3。
4. COA算法特点COA算法具有以下特点：•全局搜索能力强：COA算法通过引入粒子群搜索和随机扰动机制，能够在解空间中进行全局搜索，避免陷入局部最优解。
•快速收敛：COA算法通过模拟混沌系统的非线性动力学过程，具有快速收敛的特点，能够在较短时间内找到较优解。
混沌映射优化算法
混沌映射优化算法混沌映射优化算法是一种基于混沌理论的全局优化方法，它利用混沌映射的随机性和无序性，对目标函数进行搜索，以找到全局最优解。
该算法具有收敛速度快、全局搜索能力强等特点，在工程领域中得到了广泛应用。
算法原理混沌映射优化算法的核心思想是通过混沌映射函数对搜索空间进行分割和扰动，以实现全局搜索。
具体步骤如下：1. 初始化：设定初始种群大小、迭代次数、混沌映射函数等参数。
2. 种群初始化：根据设定的初始种群大小，在搜索空间内随机生成一组初始解。
3. 混沌扰动：利用混沌映射函数对初始解进行扰动，得到新的一组解。
4. 适应度评估：计算每个解的适应度值，即目标函数在该解下的取值。
5. 繁殖操作：根据适应度值对解进行排序，并选择较优的一部分作为父代，通过交叉和变异操作产生新的子代。
6. 更新种群：将父代和子代合并更新种群，并进入下一轮迭代。
7. 终止条件：当达到设定的迭代次数或满足停止条件时，停止迭代并输出最优解。
算法优点混沌映射优化算法具有以下优点：1. 收敛速度快：由于混沌映射函数的随机性和无序性，搜索过程中可以充分利用搜索空间的信息，从而加快收敛速度。
2. 全局搜索能力强：该算法可以避免陷入局部最优解，从而实现全局最优解的搜索。
3. 适用范围广：混沌映射优化算法不依赖于目标函数的具体形式和搜索空间的维度，适用于各种类型的优化问题。
应用领域混沌映射优化算法在工程领域中得到了广泛应用，主要包括以下方面：1. 机器学习：该算法可以应用于神经网络、支持向量机等机器学习模型的参数调节和特征选择等问题。
2. 控制系统设计：混沌映射优化算法可以应用于控制系统参数调节、控制器设计等方面。
3. 信号处理：该算法可用于信号降噪、图像处理等领域中的优化问题。
4. 金融风险管理：混沌映射优化算法可以应用于投资组合优化、风险控制等方面。
总结混沌映射优化算法是一种基于混沌理论的全局优化方法，具有收敛速度快、全局搜索能力强等特点，在工程领域中得到了广泛应用。
混沌优化算法算例
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y智能优化课程设计课程名称：智能优化算法论文题目：混沌优化算法院系：班级：设计者：学号：第一章混沌理论概述引言混沌是指确定动力系统长期行为的初始状态,或系统参数异常敏感, 却又不发散, 而且无法精确重复的现象, 它是非线性系统普遍具有的一种复杂的动力学行为。
混沌变量看似杂乱的变化过程, 其实却含有内在的规律性。
利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性可以进行优化搜索, 其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间, 然后利用混沌变量进行搜索。
但是, 该算法在大空间、多变量的优化搜索上, 却存在着计算时间长、不能搜索到最优解的问题。
因此, 可利用一类在有限区域内折叠次数无限的混沌自映射来产生混沌变量,并选取优化变量的搜索空间, 不断提高搜索精度等方法来解决此类难题。
混沌是非线性科学的一个重要分支, 它是非线性动力系统的一种奇异稳态演化行为, 它表征了自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象的本质特征。
因此, 混沌科学倡导者Shlesinger和著名物理学家Ford 等一大批混沌学者认为混沌是20 世纪物理学第三次最大的革命, 前两次是量子力学和相对论, 混沌优化是混沌学科面对工程应用领域的一个重要的研究方向。
它的应用特点在于利用混沌运动的特性, 克服传统优化方法的缺陷, 从而使优化结果达到更优。
1.混沌的特征从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。
混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌，而随机过程则是由外部特性的噪声引起的。
混沌有着如下的特性:（1）内在随机性混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的，形势复杂的运动。
第一，混沌是固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的，内在因素决定的，并不是在外界干扰下产生的，是系统的内在随机性的表现。
混沌优化算法及其在组合优化问题中的应用
混沌优化算法及其在组合优化问题中的应用混沌优化算法是一种基于复杂非线性系统的自适应优化方法，它使用混沌动力学来模拟复杂系统的行为，以解决复杂优化问题。
混沌优化算法具有自我组织、分布式、可扩展和高效性等特点，在复杂优化问题中得到广泛应用。
混沌优化算法是根据混沌理论的原理开发出的一种新型的进化计算算法，它将混沌理论中的多种元素如混沌映射、混沌动力学、时变环境、信息传输等应用于优化问题的求解中。
它具有自适应性强、非线性、分布式、可扩展など特点，能够同时处理多个变量和多个约束。
混沌优化算法在组合优化问题中得到了广泛应用，其优势在于它可以找到给定问题的最优解，而不受约束条件的影响。
组合优化是一种复杂的优化问题，因为它涉及到许多变量的搜索，其中一些变量之间存在着相互关系，因此需要有一种特殊的优化方法来处理这种情况。
混沌优化算法正是针对这种非线性、非凸、非可微、非稳定的组合优化问题而设计的。
混沌优化算法是一种自适应优化技术，它能够在给定的变量空间中快速搜索出最优解。
它主要利用混沌系统动力学的结构特性，建立一种模拟现实环境的模型，然后将该模型用于优化问题的求解。
在混沌优化算法的运行过程中，通过迭代计算，不断改变变量的值，最终找到最优解。
混沌优化算法能够有效处理多变量、非凸的优化问题，而且具有自适应特性、可扩展性、可并行性等优点，因此在组合优化问题中得到了广泛应用。
例如，它可以用于求解资源分配、交通流量模拟、工程优化等组合优化问题。
混沌优化算法作为一种新兴的优化算法，是一种有效的复杂优化算法，可以用于处理复杂的组合优化问题，具有自适应性、可并行性、可扩展性等特点，因此被广泛应用于工程优化、资源分配、交通流量模拟等复杂的组合优化问题。
基于Kent映射的混合混沌优化算法_刘建军
化算法中初始变量的选取
［ ０］ １
等相结合后的混合算法均获得
一些良好的效果 。 以 上 各 种 改 进 或 混 合 算 法 仍 存 在 不 足 之 处 ， 如基于梯度 类 混 合 算 法 要 求 目 标 函 数 可 微 等 。 为 使 算 法中变量的分布 具 有 更 好 遍 历 性 、 算 法 收 敛 快 及 得 到 高 精 度的全局 最 优 解 ， 本 文 在 变 尺 度 混 沌 优 化 算 法 的 基 础 上 ， 提出一种改进的 混 合 混 沌 优 化 算 法 。 改 进 算 法 既 引 入 了 遍 历性更好的 Ｋ ｅ ｎ ｔ映射来生成初始变 量 ， 又 引 入 了 稳 定 变 化 的尺度因 子 ， 在 算 法 末 期 加 入 Ｎ ｅ ｌ ｄ ｅ ｒ ｅ ａ ｄ单 纯 形 搜 索 策 －Ｍ
）， 当 ａ ＝ ０ 其中控制参数 ａ ∈ （ ． ４ 时 ， 其概率密度函数 ０， １ ）内服从均匀分布 ， 即 在（ ０， １ （ ） ４ ｘ）＝ １ ρ（ ， 此时 ， 它 的 Ｌ 大 指 数 约 为 于 经 典 的 ａ ｕ ０ ｎ ｏ ｖ ． ６ ９ ６ ｙｐ ａ ｕ ｎ ｏ ｖ指数可以用来 刻 画 初 Ｌ ｏ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ映射 的 ０ ． ６ ９ １。 而 Ｌ ｙ ｐ ｇ （ ） ２ 始状态微小 不 确 定 性 的 发 散 比 率 ， 因 此 ，Ｋ ｅ ｎ ｔ映 射 比 Ｌ ｏ － ｓ ｔ ｉ ｃ映射具 有 更 好 的 遍 历 性 。 图 １ 是 将 Ｋ ｅ ｎ ｔ映 射 与 Ｌ ｏ ｉ － ｇ ］ 上的概率分布 直 ｓ ｔ ｉ ｃ映射各迭代 ２ ０ ０ ０ ０ 次得到的 ［ ０，１ ｉ ｇ 方图 。 图 中 显 示 Ｌ ｏ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ映射在区间 ［ ． ０ １ ２ ５］ 和 ０，０ ｇ ［ ］ 上取值概率较高 。 而 Ｋ ｅ ｎ ｔ映 射 在 各 区 间 分 布 ０ ． ９ ８ ７ ５， １ 相对较均匀 。
混沌摆计算公式
混沌摆计算公式混沌摆是一种简单但具有复杂运动的物理系统，它在物理学中被广泛研究和应用。
混沌摆的运动规律是非线性的，它可以在给定的一定能量范围内产生复杂的、似乎是随机的运动。
在混沌摆的运动中，无论系统的初始条件有多么微小的变化，最终结果都会有显著的差异，这种现象被称为混沌现象。
混沌摆的运动可以用一系列的公式来描述。
其中最常用的是通过混沌摆的换能方程来描述其运动。
换能方程是描述能量在混沌摆中转换的方程，它是混沌摆动力学的核心。
混沌摆的换能方程通常表示为：d^2θ/dt^2 + 2ξω dθ/dt+ ω^2 sin(θ) = γcos(ωd t)其中，θ是摆锤的偏离角度，t是时间，ω是摆锤的固有频率，ξ是摆锤的阻尼系数，γ是外加力的振幅，ωd是外加力的频率。
这个方程可以通过求解非线性微分方程来得到摆锤的运动轨迹。
然而，由于这个方程是非线性的，求解起来非常复杂。
一般情况下，只能通过数值计算的方法来获得摆锤的运动轨迹。
通过计算混沌摆的运动轨迹，可以得到摆角与时间的关系。
这可以用来研究混沌摆的运动特性，例如其周期性、相空间的分布等。
在研究混沌摆的运动中，还常常使用混沌图来分析其运动特性。
混沌图是摆锤的摆角关于时间的图形表示，它可以显示出摆锤的运动特性和轨迹的分布。
除了数学模型和混沌图，混沌摆的研究还常常涉及到动力学系统的分析方法，如相空间、相图、Lyapunov指数、分岔等等。
这些方法可以帮助研究人员深入理解混沌摆的运动特性和混沌现象的本质。
总之，混沌摆的运动可以通过非线性微分方程和计算方法进行描述和分析。
研究混沌摆的运动特性，需要使用数学模型、计算方法和动力学分析等工具。
这些工具可以帮助研究人员深入理解混沌摆的复杂运动，并从中挖掘出更多有趣的物理现象和应用价值。
混沌算法 python
混沌算法 python
混沌算法是一种基于混沌理论的算法，其基本思想是利用混沌系统的特性来解决一些复杂的问题。
在Python中实现混沌算法需要使用到一些数学库，如NumPy和Matplotlib等。
下面是一个简单的Python代码示例，演示了如何使用Logistic映射来生成混沌序列：python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义Logistic映射函数
def logistic(x):
return 4 * x * (1 - x)
# 生成混沌序列
x = 0.5
xs = [x]
for i in range(1000):
x = logistic(x)
xs.append(x)
# 绘制混沌序列的图像
plt.plot(xs)
plt.show()
在这个示例中，我们首先定义了Logistic映射函数，该函数将一个介于0和1之间的数映射到另一个介于0和1之间的数。
然后，我们使用该函数生成了一个混沌序列，该序列由1000个数字组成。
最后，我们使用Matplotlib库将该序列绘制成图像。
需要注意的是，混沌算法的应用非常广泛，不仅可以用于生成混沌序列，还可以用于加密、图像处理、优化问题等领域。
但是，由于混沌算法的复杂性和不确定性，在使用时需要特别小心，避免出现不可预测的结果。
混沌粒子群原理+csdn
混沌粒子群原理+csdn
混沌粒子群算法（Chaotic Particle Swarm Optimization，CPSO）是一种基于混沌理论和粒子群优化算法的启发式优化算法。
混沌粒子群算法结合了混沌系统的随机性和粒子群算法的协作搜索
机制，能够有效地克服传统粒子群算法的局部收敛问题，提高全局
搜索能力。
在混沌粒子群算法中，混沌系统被引入到粒子群优化的过程中，通过混沌映射生成具有随机性和确定性的序列，用于初始化粒子群
的位置和速度。
这样可以增加粒子群的多样性，有利于跳出局部最
优解，提高全局搜索能力。
同时，混沌系统的非线性特性也有助于
加速收敛过程，提高算法的收敛速度。
CPSO算法的基本原理是模拟鸟群觅食的行为，每个粒子代表一
个潜在的解，粒子根据个体经验和群体协作不断调整自身位置和速度，以寻找最优解。
在混沌粒子群算法中，粒子的位置和速度的更
新公式与传统粒子群算法相似，但是引入了混沌映射生成的随机数，使得粒子在搜索过程中具有更大的多样性和随机性。
CPSO算法在优化问题中具有较好的收敛性和全局搜索能力，尤
其适用于高维、非线性、多峰和多模态的优化问题。
在实际应用中，CPSO算法已经被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模式识别、
控制系统等领域，并取得了良好的效果。
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术平台上查找相关文章和资料，以便深入了解该算法的原理、优缺
点以及应用实例。
希望我的回答能够帮助到你。
群混沌优化方法
机 制的研 讨。 混沌 是非线性动力学系统在 一定条件下所表现 的
一
种 运 动 形式 ， 系 统处 于 非 平衡 过 程 中所 呈 现 的随 机 行 为 ； 是 产
生混 沌 的 机 制 往往 又 是 简 单 的 非 线 性 ， 丝毫 不 带 随机 因素 的 是
固 定规 则 。 沌具 有 （） 混 １ 随机 性 ： 沌 的表 现 同 其 他 随机 变量 相 混 同 ， 显 得没 有 规 律 而 杂 乱 。 （） 历 性 ： 沌 能 不 重 复地 历 经 都 ２遍 混
值 区 间 ， 后 利用 混沌 变 量 进行 搜 索 。 如 果搜 索 空 间 相对 较 大 然
图 １ 沌迭 代 运 动 轨 迹 ． 混
混 沌 运动 随 机性 强 ， 始值 不 同 时 ， 初 混沌 优 化算 法 收敛 速 度
和 搜 索 精 度 差 别很 大 ，收 敛 稳 定 性不 强 。Ｑ Ｃ Ａ 算法 采 取 群 ＰＯ 并 行 机 制 ， 服 了混 沌 随机 性 的影 响 ， 高 了搜 索 效 率 。 于 １ 克 提 对 ＂ １
时 ， 索 时 间就 过 于 长 。文 献 ［】 出 了变 尺 度优 化 方 法 ， 不 搜 ７提 它 断缩 小优 化 变 量 的 搜 索 空间 ， 并不 断改 变 ” 次搜 索 ” 调节 系 二 的
数 。 该算 法 在 保 证真 正最 优 点 仍 然 在缩 小后 的空 间 中 ， 必 须 就
动 点 和零 点 ， 此若 要 由此 映 射 产生 混 沌 ， 因 必须 注 意 以下 ２点 ： （） １迭代 的初 始 值 不 能 为 ０； （） 始 值 不 能取 为无 穷 多个 不 动 点 的任何 一个 ， 则为 稳 ２初 否 定 轨 道 ， 能产 生 混 沌 ， 不 不动 点 为方 程 ｘ ｉ （／ 的解 。 ＝ｓ ２ｘ） ｎ
混沌麻雀搜索优化算法
混沌麻雀搜索优化算法一、本文概述随着和计算智能的快速发展，优化算法在众多领域，如机器学习、数据挖掘、模式识别、控制工程等，都发挥着越来越重要的作用。
近年来，群体智能优化算法因其强大的全局搜索能力和鲁棒性受到了广泛关注。
其中，麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm, SSA）作为一种新兴的群体智能优化算法，凭借其独特的搜索机制和高效的求解能力，在众多优化问题中展现出良好的应用前景。
然而，传统的麻雀搜索算法在面对复杂多变的问题时，仍存在一定的局限性，如易陷入局部最优、搜索精度与速度之间的矛盾等。
为了解决这些问题，本文提出了一种混沌麻雀搜索优化算法（Chaotic Sparrow Search Optimization Algorithm, CSSOA）。
该算法将混沌理论引入麻雀搜索算法中，通过对搜索过程中的种群初始化、搜索策略、位置更新等环节进行改进，有效提高了算法的搜索效率和全局优化能力。
本文首先简要介绍了麻雀搜索算法的基本原理和研究现状，然后详细阐述了混沌麻雀搜索优化算法的设计思路、实现方法以及性能评估。
通过与其他群体智能优化算法的比较，验证了CSSOA在解决多模态函数优化问题、约束优化问题以及工程实际问题中的有效性和优越性。
对混沌麻雀搜索优化算法的未来研究方向和应用前景进行了展望。
本文旨在为相关领域的研究人员和实践者提供一种新型的群体智能优化算法，并为解决复杂优化问题提供新的思路和方法。
二、混沌理论基础混沌理论，起源于20世纪60年代，是一种研究非线性动态系统行为的科学。
混沌现象普遍存在于自然界中，如天气变化、股市波动、生态系统等。
混沌理论的核心在于揭示看似无序、随机的现象背后隐藏的有序性和规律性。
混沌系统具有对初始条件的敏感性，即微小的初始差异可能导致系统行为的巨大变化，这种现象被称为“蝴蝶效应”。
混沌麻雀搜索优化算法（CMSOA）借鉴了混沌理论的核心思想，将其应用于优化问题的求解过程。
基于混沌优化算法的车辆路径规划问题研究
方向 ： 智能算法与优化调度 。Ｅ－ａｌｏｗ ｉｌ ＠１３ ｃｒ。 ｍ ｉ ｕ ｅｗｍｑ ６ ．ｏ ： ｎ 通信作者 简介 ： 李志凌（ ９ ６ ， １７ ～） 陕西宝鸡人 ， 讲师 ， 硕士， 研究方 向： 计算机仿真与应 用。
（） ： ４ 路径方案 ： 是否经过路段 ｌ 若是则 ，
通则将 己 １ 否 则记 Ｘ 为 ＋。 。 为 ， ｏ
（ ）通 过 智 能 交 通 系统 ＩＳ和 全 球 定 位 系 统 ２ Ｔ （ Ｐ ）可 以采 集 网络 中交 通 状 况 的详 细 信 息 。通 ＧＳ ，
过对交 通 流的评 估 与 预测 ， 得 到 各路 段 的评价 信 可
问题 ， 析 了问题 的数 学 模 型 ， 出 了一种 Ｃ Ａ求 分 提 Ｏ 解 算 法 ， 通过 具 体 的算 例 ， 并 进行 了仿 真验 证 。
记 为 １否则 记为 ０ ； 。
２ ９期
欧 微， ： 等 基于混沌优化算 法的车辆路径规划 问题研究
７５ ３３
则 考 虑节 点 连 通 关 系 约 束 和 路 段 通 行 能 力 差
异 的 Ｖ Ｐ可 以描 述 为 ： Ｒ
解 码 时可 知 ， 该方 案 为从 需 要经 过 节点 Ⅳ２ Ⅳ 。 和 ５ ２ ２ 程序 初始 化 ．
的方法 进 行求 解 … 。传统 的 Ｖ Ｐ对 现 实 交通 环 境 Ｒ
１ 问题描述
本 文考虑 网络 节 点 不完 全 连 通 ， 且路 段 通 行 能 力存 在差 异 的 Ｖ Ｐ问题 ， 过 程 可 描述 为 ： Ｒ 其 在某 个
进行 了一 定 的 简 化 ， 假 设 交 通 网络 中所 有 节 点 如
交通 子 网 中 ，存 在 一 个 配 送 中心 和若 干 个 需 求 节
混沌优化算法求解Kepler方程
混沌优化算法求解Kepler方程杨玲玲;马良【摘要】Employing the property of ergodicity,randomness and regularity of chaotic movements chaos optimization algorithm for the Kepler's equation was presented and implemented. The time complexity of the method is relatively small and the algorithm is not difficult to realize, which gives advantage in computing efficiency. Comparing with the results of a series of tests and experiments, the numerical results verify the effectiveness of the method for solving the Kepler's equation.%利用混沌运动的遍历性、随机性及规律性等特点,对Kepler方程设计了一种混沌优化算法,对其进行求解,并在计算机上予以实现.该算法易于实现且时间复杂度较小,在计算效率上有一定优势.经过一系列数值实验测试,验证了混沌优化算法对Kepler方程求解的可行性,并将计算结果与已有解法所得结果相比较,表明了该算法对此方程的有效性.【期刊名称】《上海理工大学学报》【年(卷),期】2012(034)006【总页数】3页(P517-519)【关键词】Kepler方程;混沌;算法【作者】杨玲玲;马良【作者单位】上海理工大学管理学院,上海200093;上海理工大学管理学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】O221 问题的提出1619年Kepler首次推导出了Kepler方程，该方程在物理、数学领域，特别是在经典天体力学研究中都起着重要作用.在天体力学和轨道计算中，求解Kepler方程是经常遇到的问题，即在给定平近点角M（0≤M≤π）和偏心率e后去求偏近点角x［1］.在椭圆轨道情况下，0≤e≤1.由于方程中含有超越函数sin x，因此，Kepler方程是个超越方程，这意味着x无法用代数方法求出，只能用数值分析或级数求解，这就要求Kepler方程在实际求解中应尽可能地接近真值.超越方程常用迭代方法求解，目前应用较多的数值迭代方法是不动点迭代法或牛顿迭代法，但前者收敛速度慢，后者在选取初值上要求较高，而且每次都要计算导数值［2］.在实际应用中，由于对上千万年的天体轨道作积分需要反复求解Kepler方程，计算量大且耗时，因此，研究快速求解Kepler方程的方法具有重要的意义［3］.本文试图使用一种智能优化算法——混沌优化算法求解Kepler方程，探索从新的角度求解此类问题.2 现有解法尽管Kepler方程的提出已近4个世纪，但因其重要性而一直是研究的重要课题.每10～20年就会提出一个新的求解方法.Ng［4］在1979年提出一立方收敛的方法.1983年Danby和Burkardt提出了具有立方收敛性的Halley方法.同时，他们基于该方法提出了四次方和五次方的收敛性方法［5］.Colwell，Battin和Vallado分别提出的方法也是以迭代或级数展开为基础的经典方法［6］.3 算法设计混沌运动具有遍历性、随机性及规律性等特点，它能在一定范围内，按其自身规律不重复地遍历所有状态［7］.李兵和蒋慰孙［8］选用Logistic映射做算法式中，μ为控制参量，取μ＝4.设0≤a0≤1，n＝0，1，2，…，当μ＝4时，系统完全处于混沌状态，运用载波的方式将混沌状态引入至优化变量中，同时将遍历范围放大到优化变量的取值范围，然后利用混沌变量进行搜索［8］.文献［8］中介绍了算法的基本步骤.针对Kepler方程设计下面的算法.Step 1 等价转换式（1）.将求解式（1）的问题转化为求x，使得目标函数F（x）＝（x－esin x－M）2 的值最小.Step 2 确定x的取值范围.已知0≤x≤2π，进一步来说，在文献［9］中得出结论因为f′（x）＝1－ecos x≥0恒成立，0≤e≤1，函数f（x）单调递增，同时故可得出M≤x≤M＋e.f（x）的图像如图1所示.图1 f（x）的图形Fig.1 Graph of f（x）Step 3 初始化.设置k＝1，a0，最大迭代次数n.Step 4 根据式（4），产生混沌变量ai.通过式（6），利用载波方式将混沌变量放大到相应优化变量在Step 2中所得到的取值范围.Step 5 如果F（xi）＜F＊，那么F＊＝F（xi），x＊＝xi；否则，放弃xi.Step 6 如经若干次搜索后保持不变，则按式（7）进行第二次载波.式中，x＊为当前最优解；α为较小的调节常数，本文中取小于1的常数.Step 7 如果F［x（k）］＜F＊，那么F＊＝F［x（k）］，x＊＝x（k）；否则，放弃x（k）.Step 8 当达到最大迭代次数时，终止搜索，输出最优解x＊，F＊.不难估算，该算法的时间复杂度为O（n），n为最大迭代次数.4 数值测试为检验求解效果，进行了一系列数值测试计算，并与已有方法进行比较.实验所用的硬件为Pentium（R）4CPU 2.80GHz，256MB内存的微机，软件为Windows XP操作系统和Matlab7.0运行环境.在现有文献中，大多数计算实例是在M＝0和e＝1附近进行的，因为，在这一点有f′＝f″＝0，在运用传统方法时容易导致解法不收敛，本文首先求解了这类情况，现列出部分结果.表1和表2分别列出了迭代次数为1 000和10 000时，在临界情况（零平近点角和等于1的偏心率，即M＝0，e＝1）附近的测试结果，混沌初值a0＝0.201 7.表1 最大迭代次数为1 000时的结果Tab.1 Results of n＝1000从表1和表2中可以看出，迭代次数越大，求解精度越好.由于算法的时间复杂度较低，算法的运行时间基本可以忽略不计.文献［10］中指出，用改进的牛顿法求解时可能收敛至一个或多个错误的值，例如，当M＝1.347，e＝0.66，迭代序列在 0.448 902，0.354 721，0.469 946和0.362 751这4个值上循环，而此时的正确解是1.958 11［10］.所以，本文也对该情况进行了求解，求解结果为表2 最大迭代次数为10 000时的结果Tab.2 Results of n＝10 000e M＝0.001F ＊1.814 320 220 821 478e－0151.047 868 416 809 741e－0139.401 719 068 406 652e－0134.577 591 317 492 144e－0131.578 420 258 579 867e－012本文还测试了文献［3］和文献［10］中的一些算例，结果如表3所示.表3 部分算例测试结果Tab.3 Part of test resultsM，e x＊F＊3.750 033 759 361 120e－0112.893 544 567 408 272e－0161.044 569 588 834 414e－0172.919 886 554 764 162e－0143.156 692 685 024 609e－0102.767 126 519 921 110e－011测试结果表明，混沌优化算法对于Kepler方程求解的有效性，该算法较低的时间复杂度提升了运算的效率，且免除了多次求导的复杂运算，避免了在临界状态容易不收敛的缺点.5 结论常见的求解Kepler方程的方法是简单迭代法、牛顿法等经典方法，本文运用智能优化方法——混沌优化算法求解该问题.算法的时间复杂度较低，具有较高的运算效率，同时避免了传统方法中多次求导等复杂计算，且取得了满意的结果.对于Kepler方程，本文所给出的混沌优化算法是一种简单而又快速地获得有效解的途径.【相关文献】［1］周庆林，黄天衣.Kepler方程的解法［J］.天文学报，1988，29（1）：106－112.［2］束雄英，李红.Kepler方程的一种迭代加速［J］.航空计算技术，2005，35（1）：41－44. ［3］王玉诏，钟双英，孙威，等.Kepler方程的六阶迭代解法［J］.江西科学，2009，27（6）：790－792.［4］Colwell P.Solving Kepler’s equation over three centuries［M］.Richmond：Willmann－Bell，1993.［5］Danby J M A，Burkardt T M.The solution of Kepler’s equation［J］.Celestial Mechanics，1983，31（2）：317－328.［6］Davis J J.Sequ ential solution to Kepler’equation［J］.Celest Mech Dyn Astr，2010，108（7）：59－72.［7］苗东升.系统科学大学讲稿［M］.北京：中国人民大学出版社，2007.［8］李兵，蒋慰孙.混沌优化方法及其应用［J］.控制理论与应用，1997，14（4）：613－615. ［9］Smith G R.A simple，efficient starting value for the iterative solution of Kepler’s equation［J］.Celestial Mechanics，1979，19（2）：163－166.［10］岳锦海，黄天衣.椭圆Kepler方程求解中的非线性现象［J］.南京大学学报（自然科学版），1998，34（1）：21－28.。
基于混沌算法的水库防洪优化调度
２ｏ．Ｏ ０７Ｎ ． ４
海
河
水
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基 于 混沌 算 法 的水 库 防 洪优 化 调 度
邱 林 ， 文君 ， 晓楠 ， 可 荣 李 陈 富
（． 北 水 利 水 电 学 院 ， 南 郑 州 １ 华 河
பைடு நூலகம்
４ ０ １ ；． 安 理 工 大 学 水 电 学 院 ， 西 西安 ５ ０ １ ２西 陕
调度 的数 学模 型进 行求解 ．生成 比较 理想 的水 库 防 洪调 度方 案 ．使水 库按 照最 优调 度方 式进 行调 度 蓄 水 和泄水 ． 而获得 最 大防洪 效益 。 从
水 库 防 洪 优 化 调 度 方 法 主要 有 ：动 态 规 划 法
每一 个分 支 。 具有 精致 的 内在结 构 ， 其 能把 系统 的运 动 吸 引并 束缚 在 特 定 的范 围 内 ， 其 “ 按 自身规 律 ” 不
重 复地遍 历所 有状 态 ，因此 利用 混沌 变 量进 行优 化
（ Ｐ ， 步优 化 算法 （ Ｏ 和遗 传 算 法 。动 态 规 划 Ｄ ）逐 Ｐ Ａ） 是解 决 多 阶段 决 策过 程 最 优 化 的一 种 数 学方 法 ， 但 是 使 用 动 态 规 划 时 状 态 空 间 和 决 策 空 间 约束 在 优 化 过程 中容 易 产生 “ 数灾 ” 维 。为 了克 服动 态规 划 的 “ 数 灾 ” 就 产 生 了 逐 步 优 化 算 法 （ Ｏ ， 以将 维 ， Ｐ Ａ） 可 多 阶段 问题 化为 两 阶段 问题 ，Ｏ Ｐ Ａ算 法 对单 库 求 解 非 常方 便 ， 水库 数 目增 加时 ， 但 收敛 速 度 大 大降 低 。 由于 动态 规 划 和逐 步优 化 算 法存 在 不 足 ， 传 算 法 遗 的 出现 为 水 库 优 化 调 度 问题 的求 解 提 供 了一 种 新 思 路 。它 克 服 了动 态规 划 和 逐 步优 化 算 法 的不 足 ， 但 是 遗 传 算 法 局 部 寻 优 能 力 差 ，容 易 出现 早 熟 现
混沌模拟退火粒子群优化算法
． 体极值 ｐ ｅｔ另一个极值是整个种群 目前找到 的最优解 ， ｂｓ， 即全局 ２ ２ 混沌粒 子群 优化 算 法 ． １ 极值 ｇ ｅｔ ｂｓ。粒子在找 到上 述两个 极值 后 ， 据下 式来 更新 自 己 根 ２ ２． 混沌优化算法
的速 度 和 新 的 位 置 ：
Ｖｋ ＋ ｌ
＝ Ｗ
领域 目前 主要有两种算法 ： 蚁群算法 和粒子群优 化算法 。文 中主 收 敛 到 全 局 最 优 解 。
要讨论粒子群优化算法 。
２． ． 基于模拟退火思想 的粒子群优化算法 １２ 关于基于模拟退火思想 的 Ｐ Ｏ算法 ， Ｓ 文献 ［ ］ ２ 中提 出 了 ４种
１ 粒 子群优 化算 法 （Ｓ９ Ｐ Ｉ）
混 沌 模 拟 退 火 粒 子 群 优 化 算 法
颜 琳 莉
摘 要 ： 于模 拟退火思想 的粒 子群 优化算 法和 混沌粒子群优 化算法， 出 了混沌模 拟退 火粒子群优化算 法， 基 提 编写 了其
具体流程 图， 并通过 两个算例 ， 验证 了该算法 的效 率和有效 性， 结果表 明该方法 可行 ， 具有广泛 的应用前景 。
关键 词 ： 子 群 ， 拟 退 火 ， 化 算 法 粒 模 优 中 图分 类 号 ： Ｕ３ ８ Ｔ １ 文献标识码 ： Ａ
一△ ｋ ｝ ａｄ ｍ［ ， 】 其 ｒｎｏ ０ １ 区间 内 现实 中提 出的优化 问题 日趋 复杂 ， 统算法 已不能满 足当前 （ Ｔ ） ＞ｒｎ ｏ ０ １接收 ｚ ， 中，ａｄｍ 是［ ，】 法 的改进
２． ． 模拟退火优化算法 １１
其中 ， ． 为第 ｋ个粒 子在第 ｍ 维 度上 的速度 ； ． 为第 ｋ 可以避免演化算法陷入局部最优 的缺点 。 通常 ， 基于混沌动 态的搜索过程分为 如下两个 阶段 ： 个粒子在第 ｍ 维度上 的位置 ； １ｒ 为 ０和 １ 间的随机 数 ； ｒ，２ 之 Ｃ， １基 于确定性迭代式 产 生的遍历 性轨 道对整 个解 空间进行 ） Ｃ 为算法 的学习 因子 ， 负常 数 ， 常 取值 相 同 ， ２ 非 通 介于 ０和 ４之 考察 。当满足一定终止条件 时 ， 认为搜 索过程 中发 现的最佳状态 间， 通常取 Ｃ ＝Ｃ ＝２ Ｗ 为惯性权重 ， ｌ ２ ； 用来 控制和提高优化效率 。 （ ｅｔ ｏＦ ｒ已接近问题的最优解 （ Ｂ ｓ ｔ ａ） 只要遍历性 搜索轨道 足够长 ，
多目标优化问题求解的混沌兔群算法研究
多目标优化问题求解的混沌兔群算法研究绪论多目标优化问题是实际工程中常见的一类问题。
传统的优化算法如遗传算法、粒子群算法等在解决多目标优化问题时存在一些不足。
为了提高多目标优化问题的求解效果，研究者提出了一系列的改进算法。
本文将关注于混沌兔群算法在多目标优化问题中的应用与研究。
一、多目标优化问题简介多目标优化问题是指在约束条件下，同时优化多个目标函数的问题。
例如，在设计一辆汽车时，需要在保证安全性和燃油经济性的前提下，尽量提高车辆的加速性能。
多目标优化问题的特点是目标函数之间存在冲突，无法简单地通过权衡各目标函数来得到最优解。
二、混沌兔群算法的原理与特点1. 混沌理论混沌理论是非线性动力系统理论的重要内容，它描述了一类对初值极其敏感的非线性动力学系统行为。
混沌系统具有随机性、非周期性和敏感性等特点，可以提供一些随机性的元素来增加算法搜索的多样性。
2. 兔群算法兔群算法是一种仿生优化算法，模拟了兔群觅食的行为。
算法中的每个兔子代表一个候选解，根据适应度评估函数选择更优的解，并通过更新算子进行解的更新。
兔群算法具有全局搜索能力，但在处理多目标优化问题时效果有限。
3. 混沌兔群算法混沌兔群算法结合了混沌理论和兔群算法，旨在提高多目标优化问题的求解效果。
在混沌兔群算法中，通过引入混沌序列来增加算法的多样性，增加解的搜索空间，从而提高解的搜索能力。
三、混沌兔群算法在多目标优化问题中的应用混沌兔群算法在多目标优化问题中展现了良好的应用潜力。
以下举例说明混沌兔群算法在两个典型多目标优化问题中的应用：1. 机器学习中的特征选择问题在机器学习中，特征选择问题是指从原始数据集中选择出最具代表性的特征子集，以提高学习模型的性能。
特征选择过程中需要同时考虑降低特征数量和提高学习模型的性能。
混沌兔群算法可以根据混沌序列的随机性，对特征子集进行多样化的搜索，从而提高特征选择的准确性和效率。
2. 路径规划问题在智能交通系统中，路径规划问题是指根据交通网络、车辆行驶规则和实时交通信息等因素，选择出最优的行驶路径。
混沌优化的原理
混沌优化的原理
混沌优化算法是一种基于混沌理论的优化算法，其原理可以概括为以下几个步骤：
1. 初始化：选择合适的初始种群，种群中的个体表示待优化问题的解，一般采用随机生成的方法。
2. 混沌映射：将种群中的每个个体进行混沌映射操作，即通过某个混沌系统（如Logistic映射、Henon映射等）将原始的解
映射到一个新的解空间中。
3. 评估适应度：计算每个个体的适应度值，即待优化问题的目标函数值。
适应度值可以反映一个个体的优劣程度。
4. 选择：根据适应度值选出优秀个体，作为下一代种群的基础，一般使用轮盘赌选择法或锦标赛选择法。
5. 交叉：通过交叉操作产生新的个体，交叉可以通过交换两个个体的部分基因片段来实现，也可以通过某种交叉方式生成新的解。
6. 变异：对部分个体进行变异操作，即对解进行微小的扰动，以增加解的多样性。
变异可以通过改变个体的某些基因值来实现。
7. 更新种群：将选择和交叉变异操作得到的个体替换原来的种群，形成新的种群。
8. 终止条件：检查是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或找到满足精度要求的解。
9. 输出结果：输出最优解及其对应的适应度值，作为优化问题的近似解。
混沌优化算法通过不断地混沌映射、适应度评估、选择、交叉和变异等操作，在解空间中搜索全局最优解。
其基本原理是通过混沌系统的非线性、随机和混沌性质，增加了搜索的多样性和随机性，从而提高了算法的全局搜索能力。
混沌变异粒子群优化算法及其应用研究
混沌变异粒子群优化算法及其应用研究1 简介混沌变异粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，在解决复杂优化问题方面具有较强的优势。
随着信息技术的发展和应用范围的扩大，混沌变异粒子群优化算法在各个领域得到广泛的应用。
2 粒子群优化算法粒子群优化算法是一种基于群体智能的随机搜索算法，通过模拟鸟群捕食的行为，来进行全局搜索。
算法核心是通过一群粒子的互相信息交流来查找最优解。
由于该算法不依赖于梯度信息，因此能够处理非线性、非单峰的复杂优化问题。
3 混沌变异粒子群优化算法混沌变异粒子群优化算法是一种改进的粒子群优化算法。
它在原有算法的基础上加入了混沌搜索和变异操作，以增强算法的局部搜索和全局搜索能力。
混沌搜索可以使算法更快地逼近最优解，而变异操作则可以增强算法的多样性和搜索能力。
4 应用研究混沌变异粒子群优化算法在各个领域都有广泛的应用。
比如，在机器学习领域中，该算法可以用于神经网络权值优化、特征选择等问题。
在图像处理领域中，该算法可以用于图像分割、边缘检测等问题。
在智能控制领域中，该算法可以用于优化控制器参数、交通信号灯优化等问题。
此外，混沌变异粒子群优化算法还可以应用于许多其他领域，如金融投资、电力系统运行等。
5 结论混沌变异粒子群优化算法是一种效果良好的优化算法，在解决复杂优化问题方面具有较强的优势。
它在原有粒子群优化算法的基础上加入了混沌搜索和变异操作，以增强算法的局部搜索和全局搜索能力。
该算法已在各个领域得到广泛应用，随着信息技术的发展和应用范围的扩大，该算法有望在更多领域得到应用。
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H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y智能优化课程设计课程名称：智能优化算法论文题目：混沌优化算法院系：班级：设计者：学号：第一章混沌理论概述引言混沌是指确定动力系统长期行为的初始状态,或系统参数异常敏感, 却又不发散, 而且无法精确重复的现象, 它是非线性系统普遍具有的一种复杂的动力学行为。
混沌变量看似杂乱的变化过程, 其实却含有内在的规律性。
利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性可以进行优化搜索, 其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间, 然后利用混沌变量进行搜索。
但是, 该算法在大空间、多变量的优化搜索上, 却存在着计算时间长、不能搜索到最优解的问题。
因此, 可利用一类在有限区域内折叠次数无限的混沌自映射来产生混沌变量,并选取优化变量的搜索空间, 不断提高搜索精度等方法来解决此类难题。
混沌是非线性科学的一个重要分支, 它是非线性动力系统的一种奇异稳态演化行为, 它表征了自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象的本质特征。
因此, 混沌科学倡导者Shlesinger和著名物理学家Ford 等一大批混沌学者认为混沌是20 世纪物理学第三次最大的革命, 前两次是量子力学和相对论, 混沌优化是混沌学科面对工程应用领域的一个重要的研究方向。
它的应用特点在于利用混沌运动的特性, 克服传统优化方法的缺陷, 从而使优化结果达到更优。
1.混沌的特征从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。
混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌，而随机过程则是由外部特性的噪声引起的。
混沌有着如下的特性:（1）内在随机性混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的，形势复杂的运动。
第一，混沌是固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的，内在因素决定的，并不是在外界干扰下产生的，是系统的内在随机性的表现。
第二，混沌的随机性是具有确定性的。
混沌的确定性分为两个方面，首先，混沌系统是确定的系统;其次，混沌的表现是貌似随机，而并不是真正的随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响是确定出现的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这和随机系统不同。
第三，混沌系统的表现具有复杂性。
混沌系统的表现是貌似随机的，它不是周期运动，也不是准周期运动，而是具有良好的自相关性和低频宽带的特点。
（2）长期不可预测性由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可长期预测将来某一时刻之外的动力学特性。
即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
在此以经典的logistic映射为例：x(n+1)=μx(n)(1-x(n))n=0,1,2,3…0＜x0＜10＜μ≤4（1-1）对于初值为 0.6，在参数μ取值由2.6开始，间隔3e-4 到 4 结束，迭代 200 次的结果实验仿真如图1-1 所示，发现随着参数μ的增加，迭代序列经历了 2 周期、4 周期、8 周期、…无穷周期的过程，，从仿真的结果验证了系统状态长期的不可预测性。
图1-1附Matlab仿真程序：mu=2.6:3e-4:4;k=length(mu);x=linspace(0.6,0,k);for n=1:kx(n+1)=mu(n)*x(n)*(1-x(n));plot(mu,x(1,:),'k.');xlabel('\mu');ylabel('x(n)');end（3）对初值的敏感依赖性随着时间的推移，任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化，即对初始条件的敏感依赖性。
及时初始数据又很小的偏差，在迭代几次后其差距会很大。
（4）普适性当系统趋于混沌时，所表现出的特性具有普适性，其系统不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而改变，即使是不同的混沌映射，其混沌状态从外表上是类似的。
（5）分形性分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特((B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
所谓分形是指 n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数 n 的非整数维数，这种点集叫分形体。
分维就是用非整数维—分数维来定量的描述分形的基本特性。
（6) 遍历性遍历性也称为混杂性。
由于混沌是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。
所以，随着时间的推移，混沌运动的轨迹决不逗留于某一状态而是遍历区域空间中的每一点，即只要时间充分长，混沌会不重复的能走过每一点。
（7）有界性它的运动轨线始终局限于一个确定的区域内，这个区域称为混沌吸引域。
因此总体上讲混沌系统是稳定的。
(8)分维性混沌系统的运行状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。
(9)统计特性对于混沌系统而一言，正的Lyapunov指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。
但是由于吸引子的有界性，轨道只能在一个局限区域内反复折叠，但又永远不相交，形成了混沌吸引子的特殊结构。
第二章最优化理论最优化理论是应用相当广泛的理论，它具有讨论决策问题的最佳选择问题的特性，是构造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际计算就显得十分重要。
同时最优化问题广泛见于工程设计，经济规划，生产管理，交通运输，国防等重要领域。
例如，在工程设计中，怎样选择设计参数，使得设计方案既满足设计要求，又能降低成本。
在资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益。
在生产计划安排中，确定怎样的比例才能提高质量，降低成本。
在城建规划中，怎样安排布局才能有利于城市发展。
在区域经济规划中，如何发挥地区优势，挖掘潜力，发展生产力。
在作战指挥中，如何合理运用火力，制订作战方案，使之有效地消灭敌人，保存自己等等。
混沌优化理论在某种程度上，优化算法就是运筹学，即讨论决策问题的最佳选择问题。
通过适当的数学建模，决策问题可以等价于研究在状态空间中寻求全局最小值或者最大值（当然最大值可以通过转化化为最小值来处理），即：Minf(x)S．t.g(x)≤0x∈Ω(2-1)其中，x 是决策变量，是一个矢量，其维数等于决策问题的参量个数。
f(x)是决策问题的数学模型，也是决策问题的目标函数。
g(x) ≤0是决策问题的约束条件，Ω是问题的可行域。
对于Maxf（x），可取Minh（x）=c-Maxf（x），转化为最小值处理。
第三章 混沌优化应用本章用Matlab 仿真了三个3变量的最优化函数问题。
测试函数1：Max f(x) =s.t.1232221≥++x x x4232221≤++x x x0,,321>x x x (3-1)Matlab 仿真程序主程序M 文件，main ：for k=1:10for a = 1: 3X(a, 1) = rand(1);TempX(a) = 2 * X(a, 1); endif myjudge(TempX(1), TempX(2), TempX(3)) == 1 elsereturn; endfor g = 1:3MaxX(g) = TempX(g); endMaxF = myfunction(MaxX(1), MaxX(2), MaxX(3)); for i = 2:5000 for j =1:3X(j, i) = 4 * X(j, i - 1) * (1 - X(j, i - 1)); TempX(j) = 2 * X(j, i); endif myjudge(TempX(1), TempX(2), TempX(3))==1TempF = myFunction(TempX(1), TempX(2), TempX(3)); if TempF > MaxF MaxX(j) = TempX(j); MaxF = TempF; end end end %二次载波 for i = 1:3X(i, 1) =rand(1); end23223133222221233123221232x x x x x x x x x x x x +++for i = 2:5000for j = 1:3X(j, i) = 4 * X(j, i - 1) * (1 - X(j, i - 1));endendfor i = 1:5000for j = 1:3TempX(j) = MaxX(j) + 0.001 * X(j, i);endif myjudge(TempX(1), TempX(2), TempX(3))==1TempF = myfunction(TempX(1), TempX(2), TempX(3));if TempF > MaxFMaxX(j) = TempX(j);MaxF = TempF;endendendMaxF = vpa(MaxF, 4);for i = 1:3MaxX(i) = vpa(MaxX(i), 4);endsubplot(2,2,1)plot(k,MaxX(1));subplot(2,2,2)plot(k,MaxX(2));subplot(2,2,3)plot(k,MaxX(2));subplot(2,2,4)plot(k,MaxF);xlabel('k')ylabel('Max')endMatlab仿真程序，函数程序M文件，myjudge：function myjudge=myjudge(x1,x2,x3)a=x1^2+x2^2+x3^2;if x1>0&&x2>0&&x3>0&&a>=1&&a<=4myjudge=1;elsemyjudge=0;endMatlab仿真程序，函数程序M文件，myfunction：function myfunction=myfunction(x1,x2,x3)myfunction=(x1^2*x2*x3^2)/(2*x1^3*x3^2+3*x1^2*x2^2+2*x2^2*x3^3+x1^3*x2^2*x3^2)end仿真结果：如图3-1,图3-2,图3-3所示，MaxF=0.1537；MaxX（1）=0.7380；MaxX（2）=0.4167；MaxX（1.3390）。
与标准值一致。
图3-1图3-2图3-3测试函数2：Min f(x)=946822223213121232221+---++++x x x x x x x x x xs.t. 032321≥+---x x x0,,321≥x x x (3-2) 已知其最优解为; 1x =4/3, 2x =7/9, 3x =4/9.最优值为:Min f(x)=1/9Matlab 仿真程序主程序，M 文件，main ：for k=1:100 for z=1:100 for a = 1: 3X(a, 1) = rand(1);TempX(a) = 2 * X(a, 1); endif myjudge(TempX(1), TempX(2), TempX(3)) == 1 break end endfor g = 1:3MaxX(g) = TempX(g); endMaxF = myfunction(MaxX(1), MaxX(2), MaxX(3)); for i = 2:5000 for j =1:3X(j, i) = 4 * X(j, i - 1) * (1 - X(j, i - 1)); TempX(j) = 2 * X(j, i); endif myjudge(TempX(1), TempX(2), TempX(3))==1TempF = myFunction(TempX(1), TempX(2), TempX(3)); if TempF > MaxF MaxX(j) = TempX(j); MaxF = TempF; end end end %二次载波 for i = 1:3X(i, 1) =rand(1);endfor i = 2:5000for j = 1:3X(j, i) = 4 * X(j, i - 1) * (1 - X(j, i - 1));endendfor i = 1:5000for j = 1:3TempX(j) = MaxX(j) + 0.0001 * X(j, i);endif myjudge(TempX(1), TempX(2), TempX(3))==1TempF = myfunction(TempX(1), TempX(2), TempX(3));if TempF > MaxFMaxX(j) = TempX(j);MaxF = TempF;endendendMaxF = vpa(MaxF, 4);for i = 1:3MaxX(i) = vpa(MaxX(i), 4);endMax(k)=MaxF;MaxX1(k)=MaxX(1);MaxX2(k)=MaxX(2);MaxX3(k)=MaxX(3);endsubplot(2,2,1)plot(MaxX1(1,:));subplot(2,2,2)plot(MaxX2(1,:));subplot(2,2,3)plot(MaxX3(1,:));subplot(2,2,4)plot(Max(1,:));xlabel('k')ylabel('Max')grid onsz=subs(Max)[m,n]=max(sz);B=Max(n);B1=MaxX1(n);B2=MaxX2(n);B3=MaxX3(n);Matlab仿真程序，函数程序M文件，myjudge：function myjudge=myjudge(x1,x2,x3)a=-x1-x2-2*x3+3;if x1>0&&x2>0&&x3>0&&a>=0myjudge=1;elsemyjudge=0;endMatlab仿真程序，函数程序M文件，myfunction：function myfunction=myfunction(x1,x2,x3)myfunction=1-(2*x1^2+2*x2^2+x3^2+2*x1*x2+2*x1*x3-8*x1-6*x2-4*x3+9)end仿真结果：由于取myfunction=1-f(x),故仿真结果为myfucntion的最大值。