概率论与数理统计习题解答(第8章)

第八章 假 设 检 验

三、解答题

1. 某种零件的长度服从正态分布，方差σ2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为

32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23

在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，

则需要检验的是：

00:μμ=H 01:μμ≠H

由于2

σ已知，选取n

X Z σμ0

-=

为检验统计量，在显著水平α = 0.01下，0H 的拒绝域为：

}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α

查表得 2.575829005.0=Z ，现由

n =6, 31.1266711

∑===n

i i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ

计算得：

3.058156

1.13

2.5

-31.126670

==

-=

n

X z σμ

005.0Z z >

可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。 EXCEL 实验结果：

2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：

54，67，68，78，70，66，67，65，69，70

已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？

解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数

),(~2σμN X ，则需要检验的是：

0:μμ=H

1:μμ≠H

由于方差未知，选取n

s X T 0

μ-=

为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，0H 的拒绝域为：

)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α

查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由

n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.1555556111

22

∑==--=n i i x x n s ， 计算得

2.453357610

35.1555556724.670=-=

-=

n

s

X t μ

)9(025.0t t >

可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。

3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值11958=x ，样本均方差316=s ．设发热量服从正态分布，在显著性水平α = 0.05下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于12100？

解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量),(~2σμN X ，

则需要检验的是： 00:μμ≤H 01:μμ>H

此为右边检验，由于方差未知，应选用t 统计量检验，在显著水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≥-=

)1(0

n n s x t t αμ=}

{)124(05.0-≥t t 由表得}{714.1)23(05.0=t ，现有n =24，11958=x ，316=s ，121000=μ计算得到

-2.201440

=-=

n

s

x t μ<1.714

可知，t 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0 ，认为该试验物发热量的平均值不大于12100。

4. 某种电子元件的寿命（以小时记）服从正态分布．现测得16只元件的寿命如下所示：

159 280 101 212 224 379 179 264 222

362

168

250

149

260

485

170

问在显著性水平α = 0.05下，是否可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该电子元件的寿命 ),(~2σμN X ，则需要检验的是：

H 0 ：225≥μ H 1 ：225<μ

此为左边检验，由于总体服从正态分布且方差未知，故选用t 检验，在显著性水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≤-=

-)1(0

n n s x t t αμ=}

{)116(05.0--≤t t 查表得7531.1)15(05.0-=-t 有n =16，x =(159+280+……+170)/16=241.5，2

s =9746.8，

2250

=μ

，计算得到

n

s

x t μ0

-=

=0.668518> - 1.7531

可知，t 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝H 0 ，可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时。

5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均

成绩为66.5，标准差为15分．

(1) 问在显著水平α = 0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ (2) 在显著水平α = 0.05下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为162 解: (1):按题意需检验

H 0 ：70=μ H 1 ：70≠μ

此为双边检验，由于方差未知，应选用t 检验，在显著水平为α = 0.05下，H 0 的拒绝域为

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≥-=)1(20

n n s x t t αμ=}

{)136(025.0-≥t t =}{0301.2≥t

现有n=36，5.66=x ，s=15，

700

=μ

计算得到

4.10

=-=

n

s

x t μ<2.0301

可知，t 为落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

（2）按题意需检验

H 0 ：2

2

16=σ H 1 ： 2

2

16≠σ 取检验统计量20

2

2

)1(σ

χs n -=

，在显著水平为α = 0.05下，H 0 的拒绝域为

}{}{

)1()1(2

222

12

-≥-≤-n n χ

χ

ααχχ

即 }{

}

{

)35()35(2025

.022975

.02χ

χ

χχ≥≤

计算得

569.20)35(2975

.0=χ

，203.53)35(2025

.0=χ

由n =36，5.66=x ，s=15，

2

2

016=σ，而σ

χ20

2

2

)1(s n -=

=

16

1615

1535⨯⨯⨯=30.76172，由于

20.569<30.76172<53.203 ，则统计量2

χ为落入拒绝域中，不能拒绝H 0 ，可以认为这次考试考生的成绩的方差为2

16。

6. 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差σ2 = 5000 (小时2)的正态分布, 现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化．现随机的取26只电池，测出其寿命的样本方差S 2 = 9200(小时2)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（显著性水平α = 0.05）? 解：按题意需检验