概率论与数理统计习题解答(第8章)

第八章 假 设 检 验
三、解答题
1. 某种零件的长度服从正态分布，方差σ2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为
32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23
在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，
则需要检验的是：
00:μμ=H 01:μμ≠H
由于2
σ已知，选取n
X Z σμ0
-=
为检验统计量，在显著水平α = 0.01下，0H 的拒绝域为：
}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α
查表得 2.575829005.0=Z ，现由
n =6, 31.1266711
∑===n
i i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ
计算得：
3.058156
1.13
2.5
-31.126670
==
-=
n
X z σμ
005.0Z z >
可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。

EXCEL 实验结果：
2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：
54，67，68，78，70，66，67，65，69，70
已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？
解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数
),(~2σμN X ，则需要检验的是：
0:μμ=H
1:μμ≠H
由于方差未知，选取n
s X T 0
μ-=
为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，0H 的拒绝域为：
)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α
查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由
n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.1555556111
22
∑==--=n i i x x n s ， 计算得
2.453357610
35.1555556724.670=-=
-=
n
s
X t μ
)9(025.0t t >
可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。

3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值11958=x ，样本均方差316=s ．设发热量服从正态分布，在显著性水平α = 0.05下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于12100？
解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量),(~2σμN X ，
则需要检验的是： 00:μμ≤H 01:μμ>H
此为右边检验，由于方差未知，应选用t 统计量检验，在显著水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≥-=
)1(0
n n s x t t αμ=}
{)124(05.0-≥t t 由表得}{714.1)23(05.0=t ，现有n =24，11958=x ，316=s ，121000=μ计算得到
-2.201440
=-=
n
s
x t μ<1.714
可知，t 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0 ，认为该试验物发热量的平均值不大于12100。

4. 某种电子元件的寿命（以小时记）服从正态分布．现测得16只元件的寿命如下所示：
159 280 101 212 224 379 179 264 222
362
168
250
149
260
485
170
问在显著性水平α = 0.05下，是否可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该电子元件的寿命 ),(~2σμN X ，则需要检验的是：
H 0 ：225≥μ H 1 ：225<μ
此为左边检验，由于总体服从正态分布且方差未知，故选用t 检验，在显著性水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≤-=
-)1(0
n n s x t t αμ=}
{)116(05.0--≤t t 查表得7531.1)15(05.0-=-t 有n =16，x =(159+280+……+170)/16=241.5，2
s =9746.8，
2250
=μ
，计算得到
n
s
x t μ0
-=
=0.668518> - 1.7531
可知，t 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝H 0 ，可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时。

5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均
成绩为66.5，标准差为15分．
(1) 问在显著水平α = 0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ (2) 在显著水平α = 0.05下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为162 解: (1):按题意需检验
H 0 ：70=μ H 1 ：70≠μ
此为双边检验，由于方差未知，应选用t 检验，在显著水平为α = 0.05下，H 0 的拒绝域为
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≥-=)1(20
n n s x t t αμ=}
{)136(025.0-≥t t =}{0301.2≥t
现有n=36，5.66=x ，s=15，
700
=μ
计算得到
4.10
=-=
n
s
x t μ<2.0301
可知，t 为落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

（2）按题意需检验
H 0 ：2
2
16=σ H 1 ： 2
2
16≠σ 取检验统计量20
2
2
)1(σ
χs n -=
，在显著水平为α = 0.05下，H 0 的拒绝域为
}{}{
)1()1(2
222
12
-≥-≤-n n χ
χ
ααχχ
即 }{
}
{
)35()35(2025
.022975
.02χ
χ
χχ≥≤
计算得
569.20)35(2975
.0=χ
，203.53)35(2025
.0=χ
由n =36，5.66=x ，s=15，
2
2
016=σ，而σ
χ20
2
2
)1(s n -=
=
16
1615
1535⨯⨯⨯=30.76172，由于
20.569<30.76172<53.203 ，则统计量2
χ为落入拒绝域中，不能拒绝H 0 ，可以认为这次考试考生的成绩的方差为2
16。

6. 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差σ2 = 5000 (小时2)的正态分布, 现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化．现随机的取26只电池，测出其寿命的样本方差S 2 = 9200(小时2)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（显著性水平α = 0.05）? 解：按题意需检验
H 0 ：50002
=σ H 1 ： 50002≠σ
取检验统计量为σ
χ20
2
2
)1(s n -=
，在显著水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为：
}{}{
)1()1(2
2
222
12
-≥
-≤
-n n χ
χ
ααχχ
即}{
}
{
)25()25(2025
.022975
.02χ
χ
χχ≥
≤
计算得 11972.13)25(2975
.0=χ
，64647.40)25(2025
.0=χ
由n =26，
50002
0=σ，92002
=s ，则465000
9200
25)1(20
2
2
=⨯=
-=
σ
χs n >40.64647落入了
H 0的拒绝域，应该拒绝H 0，即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。

7. 对7岁儿童作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响（显著性水平α = 0.05）？（提示：先做方差齐性检验，再做均值检验.）
性别 人数(n ) 平均身高(x ) 标准(S ) 男 384 118.64 4.53 女
377
117.86
4.86
解：设男孩的身高服从),(~2111σμN X ，女孩身高服从),(~2
222σμN X 。

根据题意需对量
总体的均值进行比较，由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即检验σ21
和σ2
2
是否有显著差异，然后再检验μ1
和μ2
是否有显著差异。

（1）检验假设
H 0 ：σσ2221= H 1 ： σσ2221≠
由于μ1
，μ2
未知，选取统计量F =
s
s 22
21
，在显著水平α = 0.05下，拒绝域为：
}{}
{)11()11(212212
1--≥--≤-n n F n n F
F F ，，αα 即}{}{)376383(F )76,3383(F 025.0975.0，
≥≤ F F 计算得
817555.0)376383(975
.0=，F
，223391.1)76,3383(025.0=F
拒绝域为}{}{223391.1817555.0≥≤F F 。

由观测数据得到n 1=384，n 2=377，64.1181=x ，
86.1172=x ，s 1=4.53，s 2=4.86，F =868808.086
.486.453.453.42
2
2
1=⨯⨯=s
s 未落入拒绝域，不能拒绝H 0 ，
在0.05的显著水平下，可以认为性别对儿童身高的方差无显著差异。

（2） 根据（1）的结论，可以在σ
σ22
21=的条件下检验假设
H 0： μ
μ2
1= H 1：μμ2
1≠
选t=
n
n S x
x 2
1
2
1
1
1
+
-ω
为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，H 0的拒绝域为：
}
{}{)759()2(025.0212
t n n t
t t ≥=-+≥α计算得
963094.1)759(025
.0=t。

计算
s ω再求出t 得
377
1
3841237738486.486.4)1377(35.435.4)1384(86
.11764.1181
1
2
)1()1(2
1
2
1
22
2
2
1
1
2
1
+
⨯-+⨯⨯-+⨯⨯--=
+
⨯
-+-+--=n
n n n s
n s n x
x t =2.290739963094.1>⇒t
可知，t 落入H 0的拒绝域中，故在0.05显著水平下应拒绝H 0 ，认为性别对儿童身高有显著差异。

8. 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产品尺寸的方差σ2不得超过0.1，为检验该自动车床的工作精度，随机的取25件产品，测得样本方差S 2 = 0.1975，86.3=x ．问该车床生产的产品是否达到所要求的精度（显著性水平α = 0.05）? 解：按题意需检验
H 0：1.02
≤σ H 1：1.02>σ
取统计量σ
χ20
2
2
)1(s n -=
，在显著性水平α = 0.05下，H 0的拒绝域为：
}{}
{
)125()1(205
.022
2
-≥
=-≥
χ
χ
χχ
α
n 计算得41503.36)24(205
.0=χ
由观测数据n =25，2
s = 0.1975，86.3=x ，1.02
0=σ，
得4.471
.0)125()1(2
20
2
2
=⨯-=-=
s s n σ
χ>36.41503落入H 0的拒绝域中，故在0.05的显著水
平下应拒绝H 0 ，认为床生产的产品没有达到所要求的精度。

9. 一台机床大修前曾加工一批零件，共1n =10件，加工尺寸的样本方差为
)(25221mm s =.大修后加工一批零件，共122=n 件，加工尺寸的样本方差为)(42
22mm s =.
设加工尺寸服从正态分布，问此机床大修后，精度有无明显提高（显著性水平α = 0.05）？
解：按题意需检验
H 0：σσ2221≥ H 1：σσ2221<
取检验统计量S
S
F 22
21
=，在显著性水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为：
}{}{)119()11(95
..02
1
1，，F
n n F F F ≤=--≤-α
计算得
2735.2)119(95
.0-=，F。

由观测数据n 1 =10，n 2 =12，252
1=S ，42
2=S ，则25.64
25
22
21=
=
S
S
F >-2.2735未落在H 0的拒绝域中，故在0.05显著水平下，应接受H 0，可认为此机床大修后，精度有明显提高。

10. 由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A 和B 两套数学试卷进行测试，成绩如下表:
试卷A 78 63 72 89 91 49 68 76 85 55 试卷B
71
44
61
84
74
51
55
60
77
39
假设学生成绩服从正态分布，试检验两套数学试卷是否有显著差异（显著性水平α = 0.05）．
解：本题中的每一行数据虽然是同一张试卷的成绩，但10个数据的差异是由10个不同学生造成的， 因此表中的每一行都不能看成是一个样本的观察值，
再者，对每一对数据而言，他们是同一个学生做不同试卷的成绩，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此,我们不能用两独立样本均值的t 检验法作检验。

而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两套试卷本身的差异所引起的。

所以，构
造新的随机变量,Y X Z -=有),,(~2
σμN Z 其中,,2
22
1221σσσμμμ+=-=则
n
i Y X Z i i i ,....,2,1,=-=为Z 的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。

如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异
n
Z Z Z ...,21属于随机误差，随机误差
可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。

故问题可以转化为检验假设
0:,0:10≠=μμH H
设n Z Z Z ...,21的样本均值为,z 样本方差为2
s ，采用单个正态分布均值的t 检验，拒绝域为：
,2622.2)9()9(/0
025.02/==≥-=t t n
s z t α
由667
.42,
11,102===s z n
可得
2622.2325.5>=t ，所以拒绝0H ，在显著性水平α = 0.05下，可以认为两套数
学试卷有显著差异。

错误解法：设试卷A 的成绩服从),(~2
11σμN X ，试卷B 的成绩服从),(~2
22σμN X ，
根据题意，需要进行两总体的均值比较，但由于两总体方差未知，需要首先进行方差齐性检验，即
σ21和σ2
2是否有显著差异，然后再检验μμ2
1和是否有显著差异。

（1）检验假设
H 0: σσ2221= H 1:σσ2
221≠
由于μμ2
1和未知，选取统计量S
S y
x F 22
=，在显著性水平α = 0.05下，拒绝域为：
}{}
{)11()11(212212
1--≥--≤-n n F n n F
F F ，，αα 即}{}{)99(F )9,9(F 025.0975.0，
≥≤ F F 计算得
248386.0)99(975
.0=，F
，025994.4)99(025.0=，F 。

拒绝域为}{}{025994.4248386.0≥≤F F 。

由观测数据得到n 1=10，n 2=10，6.72=x ，
6.61=y ，
0444.1982
=S x ，
8222.2172
=S y ，909202.08222
.2170444
.19822==
=
S
S
y
x F ，由于
0.248386<0.909202<4.025994则F 未落入H 0的拒绝域中，不能拒绝H 0 ，在0.05的显著水平下，可以认为两试卷成绩的方差无显著差异。

（2）根据（1）的结论，可以在σσ2
221=的条件下检验假设
H 0 ：μμ21= H 1 ：μμ21≠
选统计量
n
n S y
x t 2
1
1
1
+
-=
ω
为检验统计量，在显著性水平α = 0.05下，H 0 的拒绝域为：
}
{}{)18()2(025.0212
t n n t
t t ≥=-+≥α，计算得
100922.2)18(025
.0=t
计算得
705751
.11
1
2
)1()1()
(2
1
2
1
2
22
1=+
⨯
-+-+--=
n
n n
n S n S n y
x y x t <2.100922
可知，t 为未落入H 0的拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0 ，认为两套试卷的成绩无显著差异。

四、应用题
1. 某部门对当前市场的价格情况进行调查．以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上，售价分别为（单位：元/500克）
3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88
3.22
3.28
3.34
3.62
3.28
3.30
3.22
3.54
3.30
已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，假设鸡蛋的销售价格服从正态分布，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年（显著水平α = 0.05）？
解法一：设鸡蛋的平均售价为μ，若设鸡蛋的销售价),(~2σμN X ，按题意需检验
25
.3:0≤μH
25
.3:0>μH
这是右边检验问题,由于方差未知，应选用t 检验，在显著水平α = 0.05下，拒绝域为：
{}{}729.1)19()1(/05.00
≥=≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=
t t t n t n s x t n αμ
由样本观测值计算得到
,40.311∑===n i i x n x 0724.0)(111
22=--=∑=n i i x x n s n
729
.1476.220
26901.025
.340.3/0>=-=-=
n s x t n μ
由于476.2=t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。

解法二：这是单个正态总体均值比较的问题，若设鸡蛋的销售价),(~2σμN X ，则需要检验的是：
00:μμ≥H 01:μμ<H
这是左边检验问题，由于方差未知，选取n
s
X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平α = 0.05
下，拒绝域为：
)}19({)}1({05.0t t n t t -≤=--≤α
查表得-1.72913)19(05.0=-t ，现由
n =20, 3.39911∑===n i i x n x , ()0.072409111
22
∑==--=n i i x x n s ， 计算得
2.47630220
0.07240925
.33.3990=-=
-=
n
s
X t μ
)19(05.0t t ->
可知，t 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝0H ，可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。

注意：本题方法二没有方法一好，想一想为什么？
2. 有若干人参加一个减肥锻炼，在一年后测量了他们的身体脂肪含量，结果如下表所示：
男生组： 13.3 19 20 8 18 22 20 31 21 12 16 12 24 女生组：
22
26
16
12
21.7
23.2
21
28
30
23
假设身体脂肪含量服从正态分布，试比较男生和女生的身体脂肪含量有无显著差异（显著水平α = 0.05）．
解：依题意，男女生的脂肪含量是分别来自正态总体),(2
11σμN 和),(2
22σμN ，
222121,,,σσμμ均未知，故首先要验证方差齐性，对两组数据做假设检验
. : , :2
221122210σσσσ≠=H H
拒绝域为：87.3)9,12(025.021
2
1=≥=F S S
F
或2907.0)9,12(025.012
2
2
1
=≤=-F S S F 由样本观测值计算得
,10,1321==n n 299
.28,390.362221==S S
29
.1299.28390.3622
2
1===S S F 87.329.12907.0<=<F
故不能拒绝0H ，可以认为两总体方差相等。

接下来进行两独立正态总体的均值比较：
若设男生脂肪含量),(~21σμN X ，女生脂肪含量),(~22σμN X ，则需要检验的是：
2
10:μμ=H 211:μμ≠H
选2
111n n S Y
X T w +
-=
为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，H 0的拒绝域为：
)}21(|{|)}2(|{|025.0212t t n n t t ≥=-+≥α
查表得07961.2)21(025.0=t ，现由n 1 = 13，n 2 = 10，
18.176911
1
1
∑===
n i i
x n x ，22.2912
1
2∑===n i i
y
n y ，
()36.390311112121
∑==--=n i i x x n s ，()28.29881121
222
2∑==--=n i i y y n s ， 5.737812
101328.2988)110(36.3903)113(2)1()1(212
22211=-+⨯-+⨯-=-+-+-=n n s n s n s w
计算得到
2.079611.7042310
11315.7378129.221769.181
12
1<=+⨯
-=
+-=
n n s y x t w
可知，t 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0，可以认为男生和女生的身体脂肪含量无显著差异。

3. 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高．劳动效率可以用平均装配时间反映．现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录下各自的装配时间（单位：分钟）如下表所示：
甲法： 31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙法：
26
24
28
29
30
29
32
26
31
29
32
28
假设装配时间服从正态分布，问两种方法的装配时间有无显著不同（显著水平α = 0.05）？ 解：这是两独立正态总体的均值比较问题，设甲法的装配时间),(~2
1σμN X ，乙法的
装配时间),(~2
2σμN X ， 由于2
22
121,,,σσμμ均未知，故首先要验证方差齐性，需要检
验假设
. : , :2
221122210σσσσ≠=H H
拒绝域为：58.3)11,11(025.021
2
1
=≥=F S S F 或2793.0)11,11(025.012
22
1=≤=-F S S F 由样本观测值计算得：,1221
==n n 061.6,205.102221==S S
68.1061.6205
.1022
2
1===S S F
58.368.12793.0<=<F
故不能拒绝0H ，可以认为这两种方法的装配时间的方差相等。

第二步，进行均值检验，需检验假设211210:,:μμμμ≠=H H
取检验统计量 ,1
12
1n n S Y X t w +
-= 其中.
2)1()1( 212
222112
-+-+-=n n S n S n S w
拒绝域为：⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+≥+
-=
0739.2)22()2(11)(||025.0212/21t n n t n n s y x t w α 现由n 1 = 12，n 2 = 12，
31.751111∑===n i i x n x ，
28.6667
1
2
1
2
∑===
n i i
y
n y
()10.204511112121
∑==--=n i i x x n s ，() 6.060611121
222
2∑==--=n i i y y n s ，
85177
.22
1212 6.06061)112(10.2045)112(2)1()1(212
22211=-+⨯-+⨯-=-+-+-=n n s n s n s w
计算得到
2.07387
2.6483912
11212.8517728.6667-31.75112
1>=+⨯
=
+-=
n n s y x t w
落入拒绝域，故在0.05的显著水平下，可以认为这两种方法的装配时间有显著不同。

4. 为了考察两种测量萘含量的液体层析方法：标准方法和高压方法的测量结果有无显
著差异，取了10份试样，每份分为两半，一半用标准方法测量，一半用高压方法测量，每个试样的两个结果（单位：mg ）如下表，假设萘含量服从正态分布，试检验这两种化验方法有无显著差异（显著水平α = 0.05）．
标准 14.7 14.0 12.9 16.2 10.2 12.4 12.0 14.8 11.8 9.7 高压
12.1
10.9
13.1
14.5
9.6
11.2
9.8
13.7
12.0
9.1
解：本题中的每一行数据虽然是同一方法测量的结果，但10个数据的差异是由10个不同试样引起的， 因此表中的每一行都不能看成是一个样本的观察值，
再者，对每一对数据而言，他们是同一试样用不同方法测得的结果，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此,我们不能用两独立样本均值的t 检验法作检验。

而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两中方法本身的差异所引起的。

所以，构
造新的随机变量,Y X Z -=有),,(~2
σμN Z 其中
,,22212
21σσσμμμ+=-=则n
i Y X Z i i i ,....,2,1,=-=为Z 的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。

如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异
n
Z Z Z ...,21属于随机误差，随机误差
可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。

故问题可以转化为检验假设
0:,0:10≠=μμH H
设n Z Z Z ...,21的样本均值为,z 样本方差为2
s ，采用单个正态分布均值的t 检验，拒绝域为：
,2622.2)9()9(/0
025.02/==≥-=t t n
s z t α
由269.1,27.1,
102===s z n
可得
2622.2565.3>=t ，所以拒绝0H ，在显著性水平α = 0.05下，可以认为两种测
试方法有显著差异。