方案一：二叉树的建立和遍历具体内容：先生成一棵二叉树,

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第6章 树和二叉树 （Tree & Binary Tree） 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 树的基本概念 二叉树 遍历二叉树和线索二叉树 树和森林 Huffman树及其应用
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先介绍二叉树的典型应用
平衡树—— 特点：所有结点左右子树深度差≤1 排序树—— 特点：所有结点“左小右大” 字典树—— 由字符串构成的二叉排序树 判定树—— 特点：分支查找树（例如12个球如何只称3次
相等= 大于> 小于<
相等= 大于> 小于<
⑧ 轻
⑥ 轻
⑦ 轻
③ 重
② 重
① 重
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什么是带权树？
即路径带有权值。例如：
7
5
2
4
a
b
c
d
9
6.5
Huffman树及其应用
一、Huffman树 二、Huffman编码
Huffman树 Huffman编码
带权路径 长度最短 的树 是通信 中最经 典的压 缩编码
具体内容：参见严题集P149 实习5.2要求，或参见自测卷
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第6章 树和二叉树 作业（共11题） 6.5 6.8 6.17 6.25 6.26 6.29 6.42 6.43 6.47 6.49 6.65
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具体操作步骤：
step1：对权值进行合并、删除与替换
——在权值集合{7,5,2,4}中，总是合并当前值最小的两个权 a. 初始 c. 合并{5} {6} d. 合并{7} {11}
b. 合并{2} {4}
来自百度文库
圆框表示内结点 （合并后的权值） 方框表示外结点（叶子，字符）
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step2：按左“0”右“1” 对Huffman树的所有分支编 号 ——将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩
例：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2,4， 怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？ 法1：等长编码（如二进制编码）
令d=00，i=01，a=10，n=11，则： WPL1＝2bit×(7＋5＋2＋4）＝36
法2：不等长编码（如Huffman编码）
频度高的信息 用短码，反之 用长码，传输 效率肯定高！
便分出轻重） 带权树—— 特点：路径带权值（例如长度）
最优树—— 是带权路径长度最短的树，又称
用途之一是通信中的压缩编码。
Huffman树，
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什么是平衡二叉树（ 又称AVL 树）？
性质： 所有结点左、右子树深度之差的绝对值 ≤ 1 若定义结点的“平衡因子” BF = 左子树深度 – 右子树深度
则：平衡二叉树中所有结点的BF ∈[ -1, 0, 1 ]
双亲 指针型指针
w
1 7 2 19 3 2
p
0 0 9
l
0 0 0
r
0 0 0
HT[3].parent=9
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如何编程实现Huffman编码？
参见教材P147
先构造Huffman树HT， 再求出N个字符的Huffman编码HC。 Void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode &HC, int *w, int n){ *w存放n个字符的权值 if (n<=1)return; m=2*n-1; //n 0个叶子的HuffmanTree共有2n0-1个结点； HT=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); //0单元未用 for(p=HT,i=1; i<=n; ++i,++p,++w)*p={*w,0,0,0}; //给前n0个单元
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(续前)再求出n个字符的Huffman编码HC
HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*)); //分配n个字符
编码的头指针向量（一维数组） cd=(char*) malloc(n*sizeof(char)); //分配求编码的工作空间(n)
cd[n-1]=―\0‖; //编码结束符（从cd[0]~cd[n-1]为合法空间） for(i=1;i<=n;++i){ //逐个字符求Huffman编码 start=n-1; //编码结束符位置 for(c=i,f=HT[i].parent; f!=0; c=f, f=HT[f].parent)//从叶子到 根逆向求编码 if(HT[f].lchild==c) cd[--start]=―0‖; else cd[--start]=―1‖; HC[i]=(char*)malloc((n-start)*sizeof(char));//为第i个字 符编码分配空间 strcpy(HC[i],&cd[start]); //从cd复制编码串到HC } free(cd); //释放工作空间 }//HuffmanCoding 21
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Huffman树和Huffman树编码的存储表示：
typedef struct{ unsigned int weight；//权值分量（可放大取整） unsigned int parent，lchild，rchild； //双亲和孩子分量 }HTNode，*HuffmanTree；//用动态数组存储Huffman树 typedef char**HuffmanCode； //动态数组存储Huffman编码表 *HuffmanTree或 HT向量
初始化
for(；i<=m; ++i,++p)*p ={0,0,0,0}; //对叶子之后的存储单元清零 for(i=n+1;i<=m; ++i){ //建Huffman树(从叶子后开始存内结点) Select(HT, i-1, s1, s2); //在HT[1…i-1]选择parent为0且weight最小的 两个结点，其序号分别为S1和s2（教材未给出此函数源码） HT[s1].parent=i; HT[s2].parent=i; HT[i].lchild=s1; HT[i].rchild=s2; HT[i].weight=HT[s1].weight+ HT[s2].weight;}
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最优二叉树 不等长编码
一、
Huffman树（最优二叉树）
d 径： 由一结点到另一结点间的分支所构成。
a b e f
c
g
若干术语： 路
路径长度：路径上的分支数目。 例如：a→e的路径长度＝ 2
树长度＝ 10 树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。
带权路径长度： 结点到根的路径长度与结点上权的乘积（WPL）
霍夫曼编码的基本思想是——
出现概率大的信息用短码，概率小的用长码,最小冗余
分析Huffman树和编码的特点：
（1）由于Huffman树的WPL最小，说明编码所 需要的比特数最少。
这种编码已广泛应 用于网络通信中。
（2） Huffman树肯定没有度为1的结点；
（3）一棵有n 0个叶子结点的Huffman树，共有2n0-1个结点； （因为n=n0+n1+n2=2n0-1)
0
d 0
1
1 0 a 1 n
i
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 WPL=1bit×7＋2bit×5+3bit(2+4)=35（小于等长码的WPL=36） 特征：每一码不会是另一码的前缀，译码时可惟一复原 Huffman编码也称为前缀码
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二、Huffman编码
令d=0;i=10,a=110,n=111，则：
WPL2=1bit×7＋2bit×5+3bit×(2+4)=35
明确：要实现Huffman编码，就要先构造Huffman树
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2. 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{ w1, w2, …, wn }构成n棵二叉树的集合F = { T1, T2, …, Tn } （即森林） ，其中每棵二叉树 Ti 中只有一个 带权为 wi 的根结点，其左右子树均空。
第二次上机内容预告：
（三个方案由易到难，可自选，参见自测题集实验二资料）
方案一：二叉树的建立和遍历
具体内容：先生成一棵二叉树，再用中序遍历方式打印每个 结点值，并统计其叶子结点的个数。
方案二：哈夫曼树的建立和编码器的实现
具体内容：先生成一棵哈夫曼树，再打印各字符对应的哈夫 曼编码。
方案三：哈夫曼编/译码器的设计与实现
例：判断下列二叉树是否AVL树？
-1 1 0 0 0 -1 1 0 0 -1 1 2 0
(a) 平衡树
(b) 不平衡树
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什么是二叉排序树？
----或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树： （1）左子树的所有结点均小于根的值； （2）右子树的所有结点均大于根的值； （3）它的左右子树也分别为二叉排序树。
7 a
7
a
5 b
2 c
4 d
4 d 7 a
5 b
5 b
2 c
4 d (c)
(a)
(b)
WPL= 36
WPL= 46
WPL= 35
Huffman树是WPL 最小的树
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1. 构造Huffman树的基本思想：
权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。
WPL最小的树
讨论：Huffman树有什么用？
最小冗余编码、信息高效传输
(2) 在F 中选取两棵根结点权值最小的树 做为左右子树构造一棵 新的二叉树，且让新二叉树根结点的权值等于其左右子树的 根结点权值之和。 (3) 在F 中删去这两棵树，同时将新得到的二叉树加入 F中。
(4) 重复(2) 和(3) , 直到 F 只含一棵树为止。这棵树便是Huffman 树。 怎样证明它就是WPL最小的最优二叉树？参考《信源编码》 Huffman树的特点：没有度为1的结点。
例：下列2种图形中，哪个不是二叉排序树 ？
5 2 1 3 4 7 9 6 4 5 10 6 3 7 8
10
1
2
8
9
（a）
（b）
想一想：对它中序遍历之后是什么效果？
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什么是判定树？ 举例： 12个球如何用天平只称3次便分出轻重？
分析： 12个球中必有一个非轻即重，即共有24种“次品”的可能性。 每次天平称重的结果有3种，连称3次应该得到的结果有33=27种。 说明仅用3次就能找出次品的可能性是存在的。 思路： 首先，将12个球分三组，每组4个，任意取两组称。会有两种情 况：平衡，或不平衡。 其次，一定要利用已经称过的那些结论；即充分利用“旧球”的 标准性作为参考。
Huffman编码举例
例1【严题集6.26③】：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a, b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为{ 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10 }，试为这8个字母设计哈夫曼编 码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？ 【类同P148例2】 解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。 放大后的权值集合 w={ 7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10 }， 按哈夫曼树构造规则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。
Weighted Path Length
树的带权路径长度： 即树中所有叶子结点的带权路径长度之和
Huffman树：
带权路径长度最小的树。
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Huffman常译为赫夫曼、霍夫曼、哈夫曼等
树的带权路径长度 如何计算？ 经典之例：
WPL =
w kl k
k=1
n
树中所有叶子结 点的带权路径长 度之和
2 c
（4） Huffman编码时是从叶子走到根；而译码时又要从根走 到叶子，因此每个结点需要增开双亲指针分量（连同结点权值 共要开5个分量）
（5）用计算机实现时，顺序和链式两种存储结构都要用到。
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如何编程实现Huffman编码？
建议1：Huffman树中结点的结构可设计成5分量形式：
char weight parent lchild rchild
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第1次:等分3组 第2次:3旧3新
①—③ 相等=
①—④
相等= 小于<
⑤—⑧
大于> ⑤ ①—③ 相等= ④ ⑨—(11) 大于> 小于<
⑨—(11) ⑤ ①—③ 大于> 小于<
④ ⑨—(11)
第3次:1旧1新
① 小于< (12) ⑨
⑨
⑩
⑩
⑥
⑦
①
②
相等= 大于> 大于> 相等= 大于> 小于< 小于< (12) (12) 重 轻 (11) ⑩ ⑨ (11) ⑨ ⑩ 重 重 重 轻 轻 轻
建议2： Huffman树的存储结构可采用顺序存储结构： 将整个Huffman树的结点存储在一个数组HT[1..n..m]中; 各叶子结点的编码存储在另一“复合”数组HC[1..n]中。 请参见教材P149图6.27的（a)和（c)
可参考： (1)教材P147～149内容； (2)严蔚敏“数据结构”演示程序； (3)习题集P149 实习5.2要求； (4)自测卷第6章上机方案二的源程序。