初中数学-垂直于弦的直径典型例题
初中数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE 是正方形．
在折叠圆的过程中，你发现圆是怎样的一个对称图形？
C
C
O
A
B
D
A
OB
D
圆的对称轴是什么？有多少条对称轴？
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴； 任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
也可以说，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
C
C
O
A
B
D
A
OB
D
问题 两种方法都折出了圆的两条直径，在两幅图中，两条直径分别有什么关系？
那么可以推出： （3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧； （5）平分弦所对的劣弧；
这些图形是否适合使用垂径定理？把图形拖到相应位置！
适合
不适 合
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C
O
EE
A
B
D
∵ CD是直径,
CD⊥AB,
∴ AE=BE,
AC=BC,
AD=BD,
C
EO
A
B
如图，已知：AB是⊙O的一条弦，直 径CD与AB交于点E，AE=BE.
7.2米
A B
37.4米
☆
问题 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与
智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧
的中点到弦的距离）为7.2米，你知道古人在建造赵州桥时设计的主桥拱的半径是多少米
初中数学：垂径定理练习题
夯实基础过关检测1.初中数学：垂径定理练习题课堂达标）一、选择题如图K-21-1, M是的直径，弦CD1AB,垂足为必则下列结论不一定成立的是（）A. Gf=DMB. CB=DBC. AACD= A ADCD. 0M= MD2.如图K-21-2,。
的半径为5,初为弦，半径OCIAB、垂足为E、若0E=,则丽的长是（）图 K-21-2A. 4 B・6 C. 8 D・ 103.绍兴是著名的桥乡，如图K-21-3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离G?为8 m,桥拱半径OC、）、） 5 D1,则水面宽丽为（）图 K-21-3A. 4 m B・ 3 m C・ 6 m D・ 8 m4.如图K-21-4, （DO的半径614=6,以A为圆心，OA长为半径的弧交00于点B, C,则应'的长为（）图 K-21-1图 K-21-49 一 _A -5A ・6羽B ・6花 C. 3羽 D. 3迈5. 如图K-21-5,正方形月磁的四个顶点均在G»0上，。
的直径为住分米，若在这个圆内随意 抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 内的概率是()2 H 1 A -V B -T C.药 D. 2H 7. 已知OO 的直径6P=10 c^AB 是OO 的眩，AB 丄CD,垂足为必且AB=8 cm,则处的长为()A. 2 cmB. 4 躬 cmC. 2 聽 cm 或 4 ^/s cm D ・ 2 书 cm 或 4 y/3 cm二、填空题8. 过00内一点M 的最长的弦长为10 cm,最短的弦长为8 cm,那么M 的长为 _________ .9. 如图K-21-7,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点尸在第一象限内，O 尸与x 轴交于点 Q 凡点A 的坐标为(6, 0),0^的半径为品，则点尸的坐标为 ________M 交于点2则肋的长为()图 K-21-66.如图K-21-6,在Rt △丽。
中，Z 血万=90° ,AC=3,BC=4,以点C 为圆心、心长为半径的圆与 21 18 5图图10.如图K-21-8所示,也AC,虑都是00的弦，0MA.AB, ONA.AQ垂足分别为M A；如果加—3,那么 BC= ________图 K-21-811.如图K-21-9,将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心Q则折痕月万的长为图 K-21-912.小敬利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K-21-10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A 5, AB=A0 cm,脸盆的最低点。
垂直于弦的直径-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为A．B．2C．2D．2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则A．B．C．D．3．如图，在半径为5的圆O中，AB，C D是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为A．3 B．4C．D．4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACB O是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为A．B．C．r D．2r二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。
问：径几何？”大意是：如图，CD是⊙O的直径，弦A B⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则CD＝________.9．如图是一个高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=8米,净高CD=8米,则此圆的半径OA为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD．第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为A．B．2C．2D．【答案】D2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则A．B．C．D．【答案】A3．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为A．3 B．4C．D．【答案】C【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM=ON=，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°，∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=3.故选：C．4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为A．B．C．r D．2r【答案】B∴AD=OA sin60°=则AB=2AD=.故选:B.【名师点睛】考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．【答案】2【解析】连接OD，如图，6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．【答案】5【解析】∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8，∴BE=4，∠OEB=90°，设OB=x，则OC=x，∵CE=2，∴OE=x-2，∵在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，∴，解得：，∴OB=5.故答案为5.7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．【答案】8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。
人教版九年级数学垂直于弦的直径
，
，
．
并非神仙才能烧陶器，有志的人总可以学得精手艺。 不要志气高大，倒要俯就卑微的人。不要自以为聪明。 顶天立地奇男子，总觉咫尺远。
虽长不满七尺，而心雄万丈。
让自己的内心藏着一条巨龙，既是一种苦刑，也是一种乐趣。
穷人的孩子早当家。 鹰爱高飞，鸦栖一枝。
解：连接OA．设OA = r，则OE = r-2， C
OE AB, AB 8, AE 1 AB 4.
2
42
A
E
B
r
r-2
O
新知应用
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
OA2 AE2 OE2 ,
即 r2 42 (r 2)2.
解得 r 5 .
因此，⊙O的半径为5cm.
C
42
A
E
B
r
r-2
A 4E
B
3
O
新知应用
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.
∵OE⊥AB，AB=8， AE 1 AB 4.
2
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
OA2 AE2 OE2， 即 OA2 42 32，
A 4E
B
3
O
解得 OA=5.
因此，⊙O的半径为5cm.
新知应用
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm,求⊙O的半径．
人之所以异于禽者，唯志而已矣! 壮志与毅力是事业的双翼。
直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还
燕雀安知鸿鹄之志哉。 志高山峰矮，路从脚下伸。 胸无大志，枉活一世。
有哪些相等的线段和相等的弧？
C
无钱之人脚杆硬，有钱之人骨头酥。
初中数学精品试题：1垂径定理
3.3.1垂径定理1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为2．已知点P是⊙O内一点，⊙O的半径为5，OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数有（）A．2B．3C．4D．5 3．（2013•乐山）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A （0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是（）A．3≤OP≤5B．4≤OP≤5C．4≤OP≤8D．8≤OP≤105．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）8．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是9．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有_________个．10．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是_________cm．11．已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB=48cm，CD=20cm，则AB、CD之间的距离为_________．12．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，则∠AED=_________．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_________．14．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是_________度．15．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF．请说明AE=BF．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=20，过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC 于点E，连接DE．（1）求线段DE的长；（2）点O到BC的距离为5，求⊙O的半径．。
【初中数学】人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(练习题)
人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153) 1.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是．2.如图,点A，B，C，D在⊙O上,AB是⊙O的直径,BE=CE．(1)请写出四个不同类型的正确结论;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB⌢.(1)用直尺和圆规作出AB⌢所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)若AB⌢的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB⌢所在圆的半径．4.某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?5.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC=BD．6.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE=OF．求证：AB=CD．7.下列说法正确的是（）A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心8.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（）A.8cmB.√91cmC.6cmD.2cm9.如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC=42∘，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A.6√2B.9−√2C.√7D.25−3√211.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm12.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．13.下列说法中，不正确的是（）A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB⌢=DB⌢C.∠ACD=∠ADCD.OM=MB15.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为（）A.5B.7C.9D.1116.如图，⊙O的直径CD⊥AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.817.如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．18.如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=10，水面宽AB=16，则水的深度CD=．19.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．参考答案1.【答案】:3cm≤OP≤5cm【解析】:作直径MN⊥弦AB，交AB于点D．由垂径定理，得AD=DB=12AB=4cm．又⊙O的直径为10cm，连接OA，则OA=5cm．由勾股定理，得OD=√OA2−AD2= 3cm．∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm2(1)【答案】不同类型的正确结论有:BE=12BC,BD=CD,BD=CD,OD⊥BC，△BOD是等腰三角形,△BDE≌△CDE,OB2=OE2+BE2等(2)【答案】∵AB是⊙O的直径,∴OA=OB．∵BE=CE,∴OD⊥BC，OE为△ABC的中位线,∴OE=12AC=12×6=3.在Rt△OBE中,由勾股定理，得OB=√OE2+BE2=√32+42=5,∴OD=OB=5,∴DE=OD−OE=5−3=23(1)【答案】如图①，连接AC,BC，作线段AC,BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．(2)【答案】如图②，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D．∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40m．设⊙O的半径为rm，则OA=rm，OD=OC−CD=(r−20)m．在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，∴r2=(r−20)2+402，解得r=50.即AB所在圆的半径是50m．4.【答案】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥【解析】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥5.【答案】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD【解析】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD6.【答案】:∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF．在Rt△OBE与Rt△ODF中，{OB=OD,OE=OF∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，∴BE=DF，∴2BE=2DF，即AB=CD【解析】:略7.【答案】:D【解析】:A选项中没有说直线过圆心，故得不到这条直线平分弦所对的两条弧；B选项中被平分的弦必须不是直径；C选项中垂直于直径的弦可能平分直径也可能不平分直径；D选项正确．故选D8.【答案】:A【解析】:如图所示，连接OA．∵⊙O的直径CD=10cm，∴⊙O的半径为5cm，即OA=OC=5cm．∵OM∶OC=3∶5，∴OM=3cm．∵AM=BM,∴AB⊥CD．在Rt△AOM中，AM=√52−32=4(cm)，∴AB=2AM=2×4=8(cm)．故选A．9.【答案】:48【解析】:∵AD=CD，∴OD⊥AC，∴∠CDO=90∘，∴∠DOC+∠ACO=90∘.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=42∘，∴∠DOC=90∘−∠ACO=48∘10.【答案】:C【解析】:如图，过点O作OG⊥AB于点G．根据垂径定理，得AG=BG．设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a．在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2.①在Rt△OBG 中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2.②又OC=3，OB=5，将其分别代入①②中，解方程得a2=2，OG2=7. 所以圆心O到弦AB的距离为√711.【答案】:D【解析】:①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=12−5=7(cm)．②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17(cm)．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm12.【答案】:4【解析】:∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC=PC，PD=BD，∴CD是△ABP的中位线．∵AB=4AB的长为8，∴CD=1213.【答案】:D14.【答案】:D【解析】:∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立．由已知得B为CD⌢的中点，即CB⌢=DB⌢，选项B成立．在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90∘，CM=DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．而OM与MB不一定相等，选项D不成立．故选 D15.【答案】:A【解析】:因为ON⊥AB，所以AN=12AB=12×24=12，∠ANO=90∘.在Rt△AON中，由勾股定理得ON=√OA2−AN2=√132−122=5.故选A16.【答案】:D【解析】:如图，连接OB.∵CE=2，DE=8，∴CD=CE＋DE=10，则OC=OB=5，∴OE=OC−CE=3.在Rt△OBE中，由勾股定理，得BE=√OB2−OE2=√52−32=4.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AB=2BE=8.故选D.17.【答案】:√13【解析】:∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90∘.在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA=√AC2+OC2=√32+22=√1318.【答案】:4【解析】:∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，AB=16，∴AC=12AB=8.∵AO=10，∴在Rt△OAC中，OC=√OA2−AC2=√102−82=6，人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153)第 11 页,共11 页 ∴CD =OD −OC =10−6=419.【答案】:2√3 【解析】:如图，作CE ⊥AB 于点E ． ∠B =180∘−∠A −∠ACB =180∘−20∘−130∘=30∘. 在Rt △BCE 中，∵∠CEB =90∘，∠B =30∘，BC =2， ∴CE =12BC =1，BE =√BC 2−CE 2=√3． ∵CE ⊥BD ，∴BD =2EB =2√3．。
垂直于弦的直径练习题
垂直于弦的直径练习题垂直于弦的直径练习题在数学中，圆是一个广泛应用的几何形状，它具有许多有趣的性质和特征。
其中一个重要的性质是，对于任何一条弦，通过圆心的直径与该弦垂直相交。
本文将介绍一些与垂直于弦的直径相关的练习题，帮助读者更好地理解这个性质，并提高解决几何问题的能力。
练习题一：给定一个圆，半径为r，弦AB的长度为2d。
求证：通过弦中点M的垂直于弦的直径等于弦长。
解答：我们首先需要明确一些基本的几何性质。
对于任何一条弦，通过圆心的直径与该弦垂直相交。
因此，我们可以连接弦AB的中点M与圆心O，得到直径OM。
根据题目给出的条件，弦AB的长度为2d，因此弦AB的中点M到圆心O的距离为r。
由于直径OM垂直于弦AB，根据垂直线段的性质，我们可以得出OM= 2d。
练习题二：给定一个圆，半径为r，弦AB的长度为2d。
如果弦AB与弦CD相交于点E，求证：通过点E的垂直于弦AB的直径也垂直于弦CD。
解答：我们需要利用一些几何性质来解决这个问题。
首先，我们知道通过圆心的直径与任何弦垂直相交。
因此，我们可以连接弦AB的中点M与圆心O，得到直径OM。
根据练习题一的结论，我们知道OM垂直于弦AB。
同样地，我们可以连接弦CD的中点N与圆心O，得到直径ON。
根据练习题一的结论，我们知道ON垂直于弦CD。
现在，我们需要证明通过点E的垂直于弦AB的直径也垂直于弦CD。
我们可以连接弦AB与弦CD的交点E与圆心O，得到线段EO。
我们知道，如果EO垂直于弦AB，那么它也必然垂直于弦CD。
我们可以利用几何性质来证明这一点。
假设EO不垂直于弦AB，那么根据几何性质，我们可以找到一个更短的线段与弦AB垂直相交。
然而，这与题目给出的条件弦AB与弦CD相交于点E相矛盾。
因此，我们可以得出结论：通过点E的垂直于弦AB的直径也垂直于弦CD。
练习题三：给定一个圆，半径为r，弦AB的长度为2d。
如果弦AB与弦CD相交于点E，并且通过点E的垂直于弦AB的直径与弦CD相交于点F，求证：EF是弦AB和弦CD的中点连线。
初中数学人教版九年级上24.1.2-垂直于弦的直径精选练习题及答案
24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B 、C,那么弦BC 的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ，∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM =4，∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×233=33.答案：B2.如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8.∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG -OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作B C ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值. （1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6.∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP≤5.。
垂径定理ppt课件
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
初三垂直于弦的直径练习题
初三垂直于弦的直径练习题一、选择题1. 若一个弦垂直于直径，那么这个弦的长度与直径的关系是：A) 垂直弦的长度是直径的两倍B) 垂直弦的长度是直径的一半C) 垂直弦的长度等于直径D) 垂直弦的长度是直径的平方根2. 在一个圆的圆心处作一个角，它的两条腿分别交于圆上两点，则这两点与圆心连线的关系是：A) 垂直B) 平行C) 重叠D) 无法确定3. 在一个圆的圆心处作一个角，它的两条腿分别与圆交于两点，则这两点的连线与直径的关系是：A) 垂直B) 平行C) 重叠D) 无法确定4. 若两个弦垂直于直径，那么这两个弦的位置关系是：A) 平行B) 垂直C) 相交D) 无法确定5. 若一个圆上两个点的连线与直径垂直相交，那么这两个点与圆心连线的关系是：A) 平行B) 垂直C) 重叠D) 无法确定二、填空题1. 在一个圆的圆心处作一个角，它的两条腿分别与圆交于A、B两点，则直径AB的度数为____。
2. 圆O的直径长度为10 cm，一条垂直弦的长度为12 cm，则圆O 的半径长为____cm。
3. 在圆O上，直径AC与一个弦BD垂直相交于点E，若直径AC 的长度为16 cm，弦BD的长度为10 cm，则直径AC与弦DB的交点E 到圆心O的距离为____cm。
三、计算题1. 在一个半径为7 cm的圆O中，弦AB垂直于直径CD，若弦AB 的长度为12 cm，则直径CD的长度为多少？2. 在圆O中，直径AC的长度为10 cm，一个弦BD与直径AC垂直，且弦BD的长度为8 cm，则弦BD与圆心O的距离为多少？四、解答题已知半径为6 cm的圆O，弦AB与直径CD垂直相交于点E。
如果弦AB的长度为8 cm，求直径CD的长度和弦AB与圆心O的距离。
解：设直径CD的长度为x cm，根据垂直弦定理，有x * 8 = 6 * 88x = 48x = 6所以直径CD的长度为6 cm。
由于直径CD垂直于弦AB，弦AB与圆心O的距离等于半径OC的长度。
九年级数学垂直于弦的直径
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
① ① ④ ② ⑤ ④ ① ③ ⑤
C E O B A
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
6、在直径为650毫米 的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图 所示。若油面宽AB＝ 600毫米，求油的最 大深度。
O A B
； / 交通违章查询
就算是咯咯壹桩事情。难不成非要拖到有咯壹男半女の时候才能给名分？别又闹得跟那家似の，非要等小格格格生出来咯才认命。唉，不过话说 回来，那各丫环の肚皮也实在是不争气，都这么长时间咯，怎么也不见有啥啊动静。”排字琦先是莫名其妙，再壹听德妃如此说来，简直就是五 雷轰顶！天啊！爷与年家那各玉盈仆役好上咯？除咯她也没有别人啊！总不可能是看上吟雪那丫头吧，那也就只剩下这各以丫环身份随行の年家 大仆役咯！震惊不已、怒火中烧の排字琦回到府里。这年家大仆役竟然敢在她の眼皮子底下与爷存咯私情，枉她那么好心好意地帮衬着她，甚至 还曾经操心过她の婚事，想过哪家の小格、公子配得上她。原来，原来，她耗成咯壹各嫁不出去の老姑娘，竟是惦记上自家爷咯！痛恨不已の排 字琦借着德妃娘娘催问她办婚事の由头，毫不掩饰地向王爷发难：“爷，妾身今天进宫里跟娘娘请安，额娘催问媳妇啥啊时候把那各年家大仆役 娶进府里来？”王爷被排字琦の这番话气得脸色铁青！此时の他，正被玉盈那各“谁也不嫁”の话伤心不已，本来就窝着壹口气，现在又听排字 琦说起这件事情，简直就是往他の伤口上撒盐。本来就邪火没处撒の他，正好遇到排字琦撞到咯枪口上，结果壹肚子の怒气全都壹股脑地发泄到 咯她の头上：“这种恶语中伤の事情你也做得出来？额娘不清楚情况，你也跟着不辨是非、人云亦云？人家是未出阁の姑娘，怎么就要凭白地被 你毁咯名节？”第壹卷 第331章 除疑被王爷劈头盖脑、不分青红皂白地壹顿训斥，排字琦简直就是委屈至极！她分明就是两面不讨好嘛。娘娘 那里指责她肚量小，不积极操持张罗爷の婚事；而在爷这里居然训斥她是毁咯年仆役名节の罪魁祸首，她排字琦还有没有活路咯？受咯夹板气の 排字琦从爷那里讨不来说法，只好派小柱子留意侧福晋以及侧福晋娘家姐姐の情况。她の想法是：既然德妃娘娘提出来咯，壹定不是捕风捉影の 事情，但是爷不但矢口否认，还倒打壹耙。那她只有凭自己の本事咯，谁让她不管是德妃娘娘还是爷都不敢得罪呢！排字琦最想知道の是，到底 是娘娘说の真，还是爷在欺骗她？或者是说，爷在塞外の时候跟那各年仆役好上咯，回到京城又后悔咯？这各应该是最有可能。爷根本就看不上 天仙妹妹，这出门在外大半年の时间，谁负责侍寝？只可惜，这年仆役是打错咯如意算盘，做错咯白日梦，赔咯身子也没换来啥啊好结果！虽然 分派咯小柱子，排字琦自己也格外地留意和观察起天仙妹妹の神色、情绪，企图寻找出来蛛丝马迹。结果不管是她自己观察の年妹妹，还是小柱 子上报来の侧福晋，都让她不得不相信咯王爷の说辞。先说水清妹妹这里。每日里她依然是早来早走，不跟其它の姐姐们有啥啊过多の来往，但 是排字琦还真是看不出她の脸上有壹丝の哀伤、怨气、不满、或是妒忌の神色。相反，不但壹如既往、克尽礼数地对待她，平淡如水地对待其它 の姐姐们，而且偶尔地，居然还会有些许の满足、些许の欣喜，洋溢在她の小脸上。水清那时候不高兴才怪呢！王爷の心思和时间先是被两各新 降生の小小格分去咯许多，继而又被二废太子之后新增の夺储大业占据咯全部，早就完全地将她忘到咯脑后。假如不是偶尔の家宴，以及压抑不 住の对玉盈の思念，他早就将她彻底地遗忘。因此这两年来，由于没有咯爷の“关注”，水清再也不会无缘无故地被爷寻咯短处，也不会无缘无 故地被爷安上“莫须有”の罪名，她开始充分地享受着无忧无虑、随性自然、幸福快乐の生活，这让她怎么能不面露喜色？再说小柱子那里。报 上来の情况壹如排字琦猜测の壹样，每日里不是读书写字儿做女红，就是晒晒太阳种花草，小日子过得有滋有味、怡然自得，不但根本看不出来 她是壹各被爷冷落至极の人，而且也根本看不出来她是壹各被自己の姐姐夺咯夫君の人。“此外，侧福晋与吟雪和月影她们聊天の时候，奴才也 注意到她们经常提到年家那各大姑奶奶，相互之间还经常送衣物、书信啥啊の。大概情况就是这些，不知道福晋还想咯解年家大仆役の啥啊事 情。”“噢，没啥啊咯，你精心当差，少不咯你好处の。”“多谢福晋。”第壹卷 第332章 入宫三月十八日当天，时隔三年，水清再壹次踏入 皇宫の大门。在永和宫，她再次见到咯两年多不见の德妃娘娘和塔娜。此次三小格弘时也随淑清壹同进宫参加皇玛法の寿宴。平时在府里弘时就 格外地不喜欢这各年姨娘。年姨娘没有进府之前，额娘只需要向福晋额娘行礼，现在额娘不但要向这各黄毛丫头行礼，而且自打她进咯府以后， 他又多出来咯两各小弟弟，他不再是王府里の独苗。以前全府所有の主子奴才对他全都是众星捧月，除咯阿玛，就是这各年姨娘，跟别人不壹样。 阿玛不用说咯，从来没有对他笑过，除咯吓人唬啦地查他功课，就是罚他抄书甚至跪地反省。年姨娘倒是壹直对他都是笑吟吟地，但是她从来不 会像其它人那样千方百计、强颜欢笑地讨好他，年姨娘永远都是端庄大方、彬彬有礼，既不会刻意地亲近他，但也绝对不会刻意地冷落他。凭啥 啊！小爷可是这王府里最年长の小格，将来皇玛法封咯小爷作世子，不管将来再有好些各弟弟，小爷也不怕！待小爷当咯世子爷，不信你年姨娘 不上赶着来巴结、讨好小爷。等到咯那各时候，小爷反倒是要好好地考虑考虑，理不理会你呢！嗯，还是理你吧。就罚你每天都要
人教版初三数学上册作业.1.2垂直于弦的直径练习与作业
垂直于弦的直径（必做）
1. 如图，O O 直径AB 和弦CD 相交于点 E , AE=2 EB=6,/ DEB=30，求弦CD 长.
2、如图，O O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）
A 、4
B 、6
C 、7
D 、8
3、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为
水面到管道顶部距离为 10cm,则修理人员应准备 ______________ cm 内径的管道（内径指内部直径）
4、如图，在O O 中，弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm.求：O O 的半径.
60cm, D
5、如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（
A、4 3cm 、2 3cm 、 3 cm 、2cm
分层作业：（选做：从下列两题中任选一题完成）
1.一条公路的转变处是一段圆弧弧CD,点0是弧CD的圆心，其中CD=600m,E为弧CD上的一点，且OE丄CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
2•赵州桥主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ,
问：你能求岀赵州桥主桥拱的半径吗？现有一艘宽16米，船舱顶部为长方形并高岀水面 5.9米的船要
经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗?。
部编数学九年级上册24.4垂直于弦的直径垂径定理(基础篇)(人教版)含答案
专题24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练习）一、单选题1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）A．8B．10C．16D．202．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）A．B．6C．D．3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（）A．2B．4C．6D．84．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．»»AC BC =D ．»»AD BD=5．如图，点A ，B ，C ，D 在圆上，弦AB 和CD 交于点E ，则下列说法正确的是（ ）A ．若CD 平分AB ，则CD AB ^B ．若CD AB ^，则CD 平分ABC ．若CD 垂直平分AB ，则圆心在CD 上D ．若圆心在CD 上，则CD 垂直平分AB 6．如图，CD 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．»»AD BD =C ．OE DE =D ．»»AC BC=7．下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE =2，则下列结论正确的是（ ）EC=A．2OE=B．2C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（ ）A．1B．2C．3D．410．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA C为»AB中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(3,1)12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD 是⊙O 的直径， 弦 AB ⊥CD 于P ，CP =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长是 （ ）寸A ．20B ．23C ．26D ．30二、填空题13．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =_______cm ．14．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．15．如图，O e 的半径为4，AB ，CD 是O e 的弦，且//AB CD ，4AB =，CD =则AB 和CD 之间的距离为______．16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为_____米．17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=，则AB=________cm．Ð的度数为18．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心O到弦AB的距离为2，则AOC______．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．24．已知O e 的半径为2，弦BC =，A 是O e 上一点，且»»AB AC =，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题25．如图，在⊙O 中，直径AB =10，弦AC =8，连接BC ．(1)尺规作图：作半径OD 交AC 于E ，使得点E 为AC 中点；(2)连接AD ，求三角形OAD 的面积．26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED =寸），锯道长1尺（AB =1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC ）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．27．已知：如图，在O e 中，AB AC 、为互相垂直的两条弦，,OD AB OE AC ^^，D 、E 为垂足．(1)若AB AC =，求证：四边形ADOE 为正方形．(2)若AB AC >，判断OD 与OE 的大小关系，并证明你的结论．28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ^于点F ，OE AC ^于点E ，若3OE =，OB=，求OF的长．5参考答案1．D【分析】连接OC ，由垂径定理可知，点E 为CD 的中点，且OE ⊥CD ，在Rt △OEC 中，根据勾股定理，即可得出OC ，从而得出直径．解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴CE=12CD=8，∵OE=6．在Rt △OEC 中，由勾股定理得：OC 2=OE 2+EC 2，即OC 2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D ．【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.2．C【分析】连接OC ，求出∠COB =45°，根据垂径定理求出CD =2CE ，根据勾股定理求出CE 即可．解：连接OC ，则OC =12AB =12×12=6， ∵OA =OC ，∠CAB =22.5°，∴∠CAB =∠ACO =22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB为直径，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE，即CD=2CE，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．3．B【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．B【分析】根据垂径定理即可判断．解：CD Q 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，AE EB \=，»»AC BC =， »»AD BD=．故选：B ．【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5．C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．解：A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B 、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C 、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D 、AB 若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．6．C【分析】根据垂径定理判断即可；解：∵直径CD 垂直于弦AB 于点E ，则由垂径定理可得，AE BE =，»»AD BD=，»»AC BC=，故选项A ，B ，D 正确；OE DE =无法得出，故C 错误．故选C ．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．7．A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．8．D【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；∵OC⊥AB于点E，∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；选项C不符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．C【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得OC的长解：OA OBQ点C是AB的中点，=Q ⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，1,42OC AB AC BC AB \^===在Rt AOC △中3OC ==故选C【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．10．C【分析】根据弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，判定出四边形OACB 是平行四边形，再由AB OC ^，即可判定四边形OACB 是菱形.解：∵弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，OC 为半径，∴12AP AB AO AB OC ==^，，∴1122OP OA OC ===，∴12PC OC =，即OP PC =，∴四边形OACB 是平行四边形，又∵AB OC ^，∴四边形OACB 是菱形.【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．11．A【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，∵点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，所以弦514AB =-=，弦404AC =-=，∴弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点(30)，，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点(0)2，，∴两条垂直平分线的交点1O即为三角形外接圆的圆心，且1O点的坐标是(3,2)．故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．12．C【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x 的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AP=BP=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CP=1，∴OP=x-1，在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴CD =26（寸）．故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．13．6【分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得2AB AC = ，然后利用勾股定理求出3AC cm =，即可求解．解：根据题意画出如下图形，半径5OA cm = ，OC AB ^ ，则4OC cm = ，∵半径5OA cm = ，OC AB ^ ，∴2AB AC = ，在Rt AOC △ 中，由勾股定理得：3A C cm === ，∴26A B A C cm == ．故答案为：6 ．【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到2AB AC =是解题的关键．14．16【分析】连接OA ，由垂径定理可得2AB AE =，在Rt AOE D 中利用勾股定理即可求得AE 的长，进而求得AB ．解：连接OA ，∵OE ⊥AB 于E ，∴2AB AE =，在Rt AOE D 中，10OA =，OE ＝6，∴8AE ==，∴216AB AE ==，故答案为：16【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．15．±【分析】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，根据平行线的性质等到OF CD ^，再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==，，再由勾股定理解得OE ，OF 的长，继而分类讨论解题即可．解：作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，如图，//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======，在Rt OAE △中，42OA AE ==Q ，\==OEV中，在Rt OCFQ，C F4OC==\==OF当圆心O在AB与CD之间时，=+=EF OF OE当圆心O不在AB与CD之间时，=-=-EF OF OE即AB和CD之间的距离为故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．16【分析】先根据勾股定理CF8=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF8=米，∵OF⊥DC，DC为弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC=16米，故答案为：16．【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键．17．【分析】根据∠D =30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH ，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB =2AH 计算出AB ．解：在Rt AHD V 中，∠D =30°∴2AD AH=∴AH =cm∵弦AB ⊥CD∴2==AB AH故答案为：【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．18．45°【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得：OC AB ^，4AB =，122AC AB \==，2OC =Q ，AC OC \=，Rt AOC \V 是等腰直角三角形，45AOC =\а，故答案为：45°．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．19．（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．故答案为：（3，1）．【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．20．(1,0)．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用A点坐标得出原点位置即可得出答案．解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示，连接AB，AC，作AB，AC的中垂线，交点是点D则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：(1,0)．故答案是：(1,0)．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．21．等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．22．48【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．23．100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=140 2BD=有222 OB OC BC=+222(20)40r r =-+化简得r =50故新管道直径为100cm ．故答案为：100．【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．24．1或3【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得OD ，进而分两种情况讨论即可．解：如图，连接OB ，»»AB AC =Q ，\由垂径定理可知，OA BC ^，BD CD ==则在Rt OBD △中，1OD ==，211AD r OD \=-=-=或213AD r OD =+=+=，故答案为：1或3．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．25．(1)见分析(2)10【分析】（1）过点O 作OD ⊥AC ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ；（2）由题意可得OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，继而可得118422AE AC ==´=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．(1)解：如图，点E 即为所求；(2)解：如图，连接AD ，∵⊙O 的直径是10，∴OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，∴118422AE AC ==´=，∴11541022OAD S OD AE =×=´´=V ．【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．26．这块圆形木材的直径（AC ）是26寸【分析】设O e 的半径为x 寸，根据题意可得AD BD =，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，勾股定理求解即可．解：设O e 的半径为x 寸，∵OE AB ^，10AB =寸，∴152AD BD AB ===寸，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，由勾股定理得()22215x x =-+，解得13x =.∴O e 的直径226AC x ==（寸）.答：这块圆形木材的直径（AC ）是26寸.【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．27．(1)见分析(2)OD ＜OE【分析】（1）先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，且∠ADO ＝∠AEO ＝90°，加上∠DAE ＝90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB ＝AC ，所以AD ＝AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形；（2）由（1）得四边形ADOE 是矩形，可得OE ＝AD ＝12AB ，OD ＝AE ＝12AC ，又AB ＞AC ，即可得出OE 和OD 的大小关系．(1)证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴四边形ADOE 为矩形，且OD 平分AB ，OE 平分AC ，∴BD ＝AD ＝12AB ，AE ＝EC ＝12AC ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，∴四边形ADOE 为正方形．(2)解：OD ＜OE ，理由如下：由（1）得四边形ADOE 是矩形，∴OE ＝AD ，OD ＝AE ，∵AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，∴OE ＝12AB ，OD ＝12AC ，又∵AB ＞AC ，∴OD ＜OE ．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．28．1.4【分析】根据垂径定理得到AE EC =，CF FD =，根据勾股定理求出AE ．设OF x =，再次根据勾股定理得到等式2222AC AF OC OF -=-，代入求值即可解答．解：连接OC ，∵AB CD ^，OE AC ^，∴AE EC =，CF FD =，∵3OE =，5OB =，∴5OB OC OA ===，∴在Rt OAE △中，4AE ===，∴4AE EC ==，∴8AC =，设OF x =，∵在Rt CAF V 中，222CF AC AF =-，在Rt OFC V 中，222CF OC OF =-，∴2222AC AF OC OF -=-，∴()2222855x x -+=-，解得： 1.4x =，即 1.4OF =．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．。
初中数学最新-九年级数学垂直于弦的直径1 精品
垂直于弦的直径重点：垂径定理的证明和其推论的正确表述1 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2 垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3 推论圆的两条平行弦所夹的弧相等难点：垂径定理的题设和结论的正确区分和应用典型例题：例1：已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD分析：作出弦心距在大圆与小圆中分别使用垂径定理可证证明：过点O作OE⊥AB 垂足为E则AE＝BE CE＝DE∴ AE－CE＝BE－OE即AC＝BD例1图例2图例2：已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离分析：作出O到AB的距离为弦AB的弦心距，如图ON即EM的长由已知的数据可以求出ME的长，解：作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N∴CE＋ED＝10∴MC＝5 EM＝2又∵AB⊥CD ∴四边形ONEM为一矩形∴ON＝ME＝2cm例3：已知：⊙O弦AB∥CD 求证：⋂=⋂BD AC例3图分析：此题实际上是定理“圆中两条平行弦所夹的弧相等”的证明。
首先由垂径定理得到弧等再用半圆分别减去两段弧，可证：证明：作OE ⊥AB 于E 并延长OE 交CD 于F ，交⊙O 于M 、N∵AB ∥CD ∴OE ⊥CD ∴⋂=⋂BM AM∴⋂=⋂DN CN 又 ⋂=⋂MBN MAN ∴ ⋂=⋂BD AC例4：已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．分析：连结AE ，则在Rt △AOE 中求AE ，就可以得到AB 的长,由已知的比例关系求出CE 、ED 的长，从而确定EO 的长，用勾股定理可求AE解：∵ CD ⊥AB AE ＝EB 连结OA ，∴ OA ＝6cm又 ∵CE ∶ED ＝1∶3 且CD ＝2r ＝12 ∴ CE ＝3 OE ＝3连结OA ，在Rt △AOE 中，3336AE 22=-=∴ AB ＝例4图 例5图例5：已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF分析：求出OE ＝OF ，可间接求证AE ＝BF ，可以作出CD 弦的弦心距利用垂径定理，再用平行线等分线段定理可证证明：作OM ⊥CD 于M ∴CM ＝MD∵ EC ⊥CD ， FD ⊥CD ∴EC ∥FD ∴EO ＝OF ∵ OA ＝OB ∴AE ＝BF 【同步达纲练习】1．已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O 于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE1题图2．已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：OE ＝OF CE ＝DF2题图3．在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB3题图4．已知如图等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求ABC 的长4题图5．已知：⊙O 与⊙O ＇相交于P 、Q ，过P 点作直线交⊙O 于A ，交⊙O ＇于B 使OO ＇与AB 平行求证：AB＝2OO＇5题图6．已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF6题图参考答案【同步达纲练习】1． ∵ AB 为⊙O 的直径∴AC ⊥BC∵ DE 是BC 的垂直平分线∴⋂=⋂BD CD 且AC ∥DE ∴⋂=⋂CD AE ∴⋂=⋂BC 21AE2．延长AF 交⊙O 于G 连结OG ∴∠EBA ＝∠A ＝∠OGA连结BG ∴∠BGA ＝90°∴BE ＝GF 又OB ＝OG ∴△OBE ≌△OGF(SAS) ∴OE ＝OF ∴ME ＝MF 作OM ⊥CD ∴MC ＝MD ∴EC ＝FD 3．作OM ⊥AB 并延长交OM 于N ∴AM ＝MB ∵AB ∥EF ∴ON ⊥EF ∴CM ＝MD ∴ AC ＝DB 4．连结OB ∴ BD ＝4cm 延长DO 交⊙O 于A ＇∵BD ＝DC ∴⋂=⋂AC AB ∴A ＇与A 重合∴ AD ＝AO ＋OD ＝5＋3＝8cm ∴AB ==5．作OC ⊥AP 于C ，O ＇D ⊥AB 于D ∵AB ∥OO ＇∴CD ＝ OO ＇又AC ＝CP PD ＝DB ∴ 1CD AB 2=即AB OO 21'= ∴2 OO ＇＝AB 6．作OM⊥EF于M ∴MC＝MD 又AO＝OB AE∥BF ∴EM＝MF ∴EC＝DF。
中考数学复习：垂直于弦的直径
垂直于弦的直径知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1. 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．（1）说明本次台风是否会影响B市；（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间例2. 银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？例3. （1）已知：如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：△ACE≌△BCD（2）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例4. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？（结果保留根号）演练方阵A档（巩固专练）1．（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）2．（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，cm cm cm或cm cm或cm3．（2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）4．（2011•呼伦贝尔）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）5．（2010•绍兴）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）6．（2010•陕西）如图，点A、B是在⊙O上的定点、P是在⊙O上的动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（）7．（2009•黔南州）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）cm8．（2008•梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）9．（2005•四川）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为（）B档（提升精练）11．（2002•河北）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B 两点到直线CD的距离之和为（）12．（2000•西城区）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，下列结论中，错误的是（）13．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=_________．14．（2012•锦州）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB 为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是_________cm．15．（2012•贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB 的最小值是_________．16．（2011•西宁）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE ⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为_________．17．（2009•新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是_________．18．（2006•汉川市）Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于E，连接AE、OD．根据以上条件，写出四个正确的结论．（半径相等及勾股定理结论除外，且不得添加辅助线）①_________②_________③_________④_________．19．（2006•福州）如图，⊙O的两条弦AF、BE的延长线交于C点，∠ACB的平分线CD 过点O，请直接写出图中一对相等的线段：_________．20．（2012•宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF ⊥AD．求∠D的度数．C档（跨越导练）21．（2008•济南）（1）已知：如图1，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：AB=DE；（2）已知：如图2，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP与E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．22．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．23．（2005•三明）如图，在半径是4的⊙O中，点Q为优弧的中点，圆心角∠MON=60°，点P在（M点除外）上运动，设点P到弦MN的距离为x，△OMN的面积是S．（1）求弦MN的长；（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S的大小关系．24．（2003•大连）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于D，交AC于E，BD=CE．求证：AB=AC．25．（2002•武汉）已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C，D两点在AB上，且AC=BD，求证：△OCD为等腰三角形．26．（2002•宁德）如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B 以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到BC的距离为4cm．（1）求弦BC的长；（2）问经过几秒后△BPC是等腰三角形？27．（2012•历下区一模）（1）已知：如图1，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB．求证：四边形ABDC是平行四边形．（2）如图2，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心作⊙A，⊙A与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E，且C点坐标为（，0）．求线段DE的长．28．（2011•武汉模拟）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM=ON，则AB=CD．（1）请帮小雅证明这个结论；（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的O D与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC 的周长．29．如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O1与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C 点，已知A（﹣1，0），O1（1，0）（1）求出C点的坐标；（2）过点C作CD∥AB交⊙O1于D，若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式；（3）如图，已知M（1，），经过A、M两点有一动圆⊙O2，过O2作O2E⊥O1M于E，若经过点A有一条直线y=kx+b（k＞0）交⊙O2于F，使AF=2O2E，求出k、b的值．30．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，又OM⊥AP于M．求OM及EF的长．成长足迹垂直于弦的直径答案典题探究例1.例2.例3.例4.演练方阵A档（巩固专练）OC==5OM===3cmAC==4cm==2AD=cmOG==3cm，×，=，×=，EM+FN=故答案为：．=3OD==OC==6==14．．OA==5cmC档（跨越导练）=，AD=OH=2S=4x=2x=2时，=3BE=，，AC===8﹣（﹣（，OA=OC=3﹣=2OE==，CN=，））和，的解析式为，．MF=cmEF=。
垂直于弦的直径
例 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.分析 要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求得未知量.解 过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO ，∵AE=6cm ，EB=2cm ， ∴AB=8cm ∴OA=21AB=4cm ，OE=AE-AO=2cm ， 在Rt △OEB 中，∵∠CEA=∠BED=30°， ∴OF=21OE=1cm. 在Rt △CFO 中，OF =1cm ，OC ＝OA ＝4cm ， ∴CF=15OF OC 22=- cm ． 又∵OF ⊥CD ．∴ CD ＝2CF ＝215cm ．答：CD 的长为215cm.说明：此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难.例 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．分析：①此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；②利用条件构造垂径定理的基本图形解题．解：分两种情况：（1）如图①，过A 作AD ⊥BC 于D ，又∵AB=AC ，∴点O 在AD 上，∴OD=3cm ．连结OB ， 在Rt △ODB 中，OB==5cm ，OD=3cm ，由勾股定理，得222OD BD OB +=，∴4352222=-=-=OD OB BD在Rt △ADB 中， AD=AO+OD=5+3=8cm ，由勾股定理，得222BD AD AB +=，∴54842222=+=+=BD AD AB （cm（2）如图②，同理可得： AB=52（cm ）．说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．例 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的AB DABCO D图①图② C D两侧，即有两解. 解：（略，8cm ，22cm ） 说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题. 例 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE=DF ；OE=OF分析：本题的关键是作OH ⊥CD ，构造垂径定理的基本图形解题，另外还用到平行线等分线段定理等. 证明：（一）过O 作OH ⊥CD 于H ，∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴AE ∥OH ∥BF∵AO = BO ∴EH = HF∵OH ⊥CD 且O 为圆心 ∴CH = HD ∴CH －EH = HD －HF 即 CE = DF∵EH = HF ，OH ⊥EF ∴ OH 是EF 的中垂线∴ OE = OF .证明（二）延长EO 交BF 于G ，用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE = OF. 说明：（1）此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法；（2）让几何动起来.引申：让弦CD 动起来，与直径AB 不相交，让学生在运动中观察、发现问题，培养学生的探究能力.例 如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. 分析：（方法一）由于A 是的中点，连结OA 可构造垂径定理的基本图形，BE=21BF ，△ADO ≌△BEO ，得AD=BE=21BF.（方法二）如图，补圆，延长AD 交⊙O 于E ，造垂径定理的基本图形，问题即可解决. 证明：（略）说明：此题是垂径定理的应用为过程，培养学生的发散思维.典型例题六例 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.证明：作AB OE ⊥，垂足为E ，连OC OA ,，则b OC a OA ==,. 在Rt AOE ∆中，222OE OA AE -=. 在Rt COE ∆中，222OE OC CE -=.，22222222 )(b a OC OA OE OA CE AE -=-=-=-∴即 ))((CE AE CE AE -+ 22b a -=. 由垂径定理，得., ,,, 22b a BD AD BD DE BE CE AE AD DE AE CE AE DE CE BE AE -=⋅∴=-=-=+=+∴==说明：本题主要运用勾股定理和垂径定理证题，垂径定理是圆中很重要的性质，垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
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.A
EC
DB
图 5－3 【拓展提升】
例 1. 如图 6－1，已知在⊙ O 中，弦 AB CD ，且 AB CD ，垂足为 H ，OE AB 于 E ，OF CD 于 F .（1）求证： OEHF 是正方形.（2）若 CH 3 ， DH 9 ，求圆心 O 到弦 AB 和 CD 的距离.
例 1. 如图 3－1，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，并且交 CD 于 E ，直径 MN 交 CD 于 F ，且 FO FD 2OE ，求 COD .
图 3－1 例 2. 如图 3－2，AB 为⊙O 的直径，且 AB⊥弦 CD 于 E，CD＝16，AE＝4，求 OE 的长.
A
C
ED
形，利用勾股定理进行运算.
例 5. 过⊙ O 内一点 M 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么⊙ O 的半径等于________ cm ，OM
的长为________ cm
类型 2. 垂径定理分类讨论 例 1. 如图 2－1，⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，
.O
B 图 3－2
例 3. 如图 3－3，在 RtABC 中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以 C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边
于 D，求 AD 的长.
C
A
B
D
图 3－3
例 4. 如图 3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于 E 点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300， 求 CD 的长.
C
A
E
B
OF
图 6－1 D 例 2. 如图 6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 上一动点，C、D 是⊙O 的两点，有∠CPB=∠DPB.
求证：PC=PD.
C
A
OP B
D
图 6－2
例 3. 已知：如图 6－3，A,B 是半圆 O 上的两点，CD 是⊙ O 的直径，∠AOD＝800，B 是
是 13cm，水面宽 AB 24 ，则水管中水深是_______cm.
图 5－1
例 2. 如图 5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米，现有一艘宽 3 米，
船仓顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？
图 5－2 例 3. 如图 5－3，在某养殖场 A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点 3 千米范围
．求证： OBN OCN ．
图 4－1 例 2．如图 4－2，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是
求证： AD 1 BF. 2
的中点，AD⊥BC 于 D.
图 4－2
例 3．已知：如图 4－3，⊙ O 的弦 AB ， CD 相交于点 P ， PO 是 APC 的平分线，点 M , N 分别是 ， 的中点， MN 分别交 AB ， CD 于点 E ， F ．求证： MN PO ．
则 OM 的长的取值范围是（ ）
O
AM
B
A. 3 OM 5 B. 4 OM 5 C. 3 OM 5 D. 4 OM 5
图 2－1
例 2. 已知：AB、CD 为⊙O 的两条弦，且 AB∥CD，⊙O 的半径为 5cm，AB=8cm，CD=6cm，求 AB、
CD 之间的距离.
例 3. 已知：△ABC 内接于⊙O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长． 类型 3. 利用垂径定理求线段长度，角度
B. 4 5cm C. 2 3cm
D. 8cm
O
C
D
A 图 1－2
图 1－3
图 1－4
例 4. 如图 1－4，⊙O 的直径 CD 与弦 AB 交于点 M，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得
到 M 是 AB 的中点.类型 2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角
C
B
.O
B
A
D
图 3－4 例 5. 如图 3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点，OE⊥CD 于 E，若 AB=2CD=4OE
求：大圆半径 R 与小圆半径 r 之比.
ACE DB O
图 3－5
类型 4. 垂径定理相关证明
例 1.如图 4－1， BF ， CE 是⊙ O 的直径，
图 4－3
例 4．如图，⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 M ， AE CD ， BF CD ，垂足分别是 E ， F ． (1)求证： CE DF ． (2)若 AB 26 ， CD 24 ，求 AE BF 的值．
图 4－4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型 5. 垂径定理的综合应用
例 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图 5－1 所示，如果水管横截面的半径
E
A
B
D
∴ CD⊥AB， = , = . 弦心距：圆心到弦的距离（垂线段 OE） 考点分析： 垂径定理及推论的应用，证明.
典型例题分析
类型 1. 垂径定理及推论概念
例 1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
垂直弦的直径
一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.
二、垂径定理
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，
O ∴ AE=BE, = , = .
推 论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且 AE=BE.
例 2. 如图 1-2，如果 AB 为⊙ O 直径，弦 CD AB ，垂足为 E ，
那么下列结论中错误的是（ ）
A． CE DE
B．
C． BAC BAD D． AC AD
例 3. 如图 1－3 在⊙O 中，弦 CD 垂直平分半径 OA，且 CD＝6cm，
则半径 OA 的长为（ ）
A. 4 3cm