初中数学-垂直于弦的直径典型例题

例 1. 如图 3－1，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，并且交 CD 于 E ，直径 MN 交 CD 于 F ，且 FO FD 2OE ，求 COD .
图 3－1 例 2. 如图 3－2，AB 为⊙O 的直径，且 AB⊥弦 CD 于 E，CD＝16，AE＝4，求 OE 的长.
A
C
ED
则 OM 的长的取值范围是（ ）
O
AM
B
A. 3 OM 5 B. 4 OM 5 C. 3 OM 5 D. 4 OM 5
图 2－1
例 2. 已知：AB、CD 为⊙O 的两条弦，且 AB∥CD，⊙O 的半径为 5cm，AB=8cm，CD=6cm，求 AB、
CD 之间的距离.
例 3. 已知：△ABC 内接于⊙O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长． 类型 3. 利用垂径定理求线段长度，角度
B. 4 5cm C. 2 3cm
D. 8cm
O
C
D
A 图 1－2
图 1－3
图 1－4
例 4. 如图 1－4，⊙O 的直径 CD 与弦 AB 交于点 M，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得Βιβλιοθήκη Baidu
到 M 是 AB 的中点.类型 2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角
C
A
E
B
OF
图 6－1 D 例 2. 如图 6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 上一动点，C、D 是⊙O 的两点，有∠CPB=∠DPB.
求证：PC=PD.
C
A
OP B
D
图 6－2
例 3. 已知：如图 6－3，A,B 是半圆 O 上的两点，CD 是⊙ O 的直径，∠AOD＝800，B 是
E
A
B
D
∴ CD⊥AB， = , = . 弦心距：圆心到弦的距离（垂线段 OE） 考点分析： 垂径定理及推论的应用，证明.
典型例题分析
类型 1. 垂径定理及推论概念
例 1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
是 13cm，水面宽 AB 24 ，则水管中水深是_______cm.
图 5－1
例 2. 如图 5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米，现有一艘宽 3 米，
船仓顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？
图 5－2 例 3. 如图 5－3，在某养殖场 A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点 3 千米范围
形，利用勾股定理进行运算.
例 5. 过⊙ O 内一点 M 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么⊙ O 的半径等于________ cm ，OM
的长为________ cm
类型 2. 垂径定理分类讨论 例 1. 如图 2－1，⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，
C
B
.O
B
A
D
图 3－4 例 5. 如图 3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点，OE⊥CD 于 E，若 AB=2CD=4OE
求：大圆半径 R 与小圆半径 r 之比.
ACE DB O
图 3－5
类型 4. 垂径定理相关证明
例 1.如图 4－1， BF ， CE 是⊙ O 的直径，
垂直弦的直径
一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.
二、垂径定理
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，
O ∴ AE=BE, = , = .
推 论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且 AE=BE.
例 2. 如图 1-2，如果 AB 为⊙ O 直径，弦 CD AB ，垂足为 E ，
那么下列结论中错误的是（ ）
A． CE DE
B．
C． BAC BAD D． AC AD
例 3. 如图 1－3 在⊙O 中，弦 CD 垂直平分半径 OA，且 CD＝6cm，
则半径 OA 的长为（ ）
A. 4 3cm
.O
B 图 3－2
例 3. 如图 3－3，在 RtABC 中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以 C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边
于 D，求 AD 的长.
C
A
B
D
图 3－3
例 4. 如图 3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于 E 点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300， 求 CD 的长.
图 4－3
例 4．如图，⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 M ， AE CD ， BF CD ，垂足分别是 E ， F ． (1)求证： CE DF ． (2)若 AB 26 ， CD 24 ，求 AE BF 的值．
图 4－4
类型 5. 垂径定理的综合应用
例 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图 5－1 所示，如果水管横截面的半径
内为捕杀区；离疫点 3 至 5 千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路 EB 通疫区，若在捕杀区内 CD＝ 4 千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？
.A
EC
DB
图 5－3 【拓展提升】
例 1. 如图 6－1，已知在⊙ O 中，弦 AB CD ，且 AB CD ，垂足为 H ，OE AB 于 E ，OF CD 于 F .（1）求证： OEHF 是正方形.（2）若 CH 3 ， DH 9 ，求圆心 O 到弦 AB 和 CD 的距离.
．求证： OBN OCN ．
图 4－1 例 2．如图 4－2，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是
求证： AD 1 BF. 2
的中点，AD⊥BC 于 D.
图 4－2
例 3．已知：如图 4－3，⊙ O 的弦 AB ， CD 相交于点 P ， PO 是 APC 的平分线，点 M , N 分别是 ， 的中点， MN 分别交 AB ， CD 于点 E ， F ．求证： MN PO ．