二叉树的性质总结

一、二叉树的性质
性质1、二叉树的第i 层上至多有2 i-1（i ≥1）个结点。

用数学归纳法证明
推广：k 叉树(或度为k 的树)的第i 层上至多有k i-1（i ≥1）个结点
性质2、度为h 的二叉树中至多含有2h-1个结点。

21-1 + 2 2-1+……+ 2 h-1 = 2 h -1
推广：深度为h 的k 叉树(或度为k 的树)中至多含有 (k h -1)/(k-1)个结点
k 1-1 + k 2-1+……+ k h-1 =( k h -1)/(k-1)
性质3、若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子结点，
有n2个度为2的结点，则：n0=n2+1
证明：设：有n0个叶子结点，有n1个度为1的结点，有n2个度为2的结点， 则二叉树中结点总数为：n=n0+n1+ n2 (1)
设分支的总数为m,则：m= n1+2 n2 (2)
因为n=m+1（3）
所以： n0+n1+ n2 = n1+2 n2 +1
整理得： n0= n2+1
推广: 度为k 的树有n 1个度为1的结点， n 2个度为2的结点，n k 个度为k 的结点则n 0为:
性质3推广的证明于性质3的证明
设：有n 0个叶子结点，有n 1个度为1的结点， n 2个度为2的结点，n k 个度为k 的结点 则结点总数为：n=n 0+n 1+ n 2 +……+n k (1)
设分支的总数为m,则：m= n 1+2 n 2+……+kn k
因为n=m+1（3）
所以：n 0+n 1+ n 2 +……+n k = n 1+2 n 2+……+kn k +1
整理得： n 0= 0n 1+1n 2+……+(k-1)n k +1
性质4、具有n 个结点的完全二叉树，其深度为⎣㏒2n ⎦+1
证明：设n 个结点的完全二叉树的深度为k ，根据性质2可知，k-1层满二叉树的结点总数为： 2k-1-1
k 层满二叉树的结点总数为： 2k -1
显然有：
2k-1 - 1 < n ≤ 2k - 1 [ 2k- 1 ≤ n < 2k
取对数有：k -1 ≤ log 2n < k
因为k 是整数，所以k -1 = ⎣log 2n ⎦ ， k= ⎣㏒2n ⎦+1
结论成立。

推广: 具有n 个结点的完全k 叉树，其深度为⎣ log k (k-1) n ⎦ +1
设n 个结点的完全k 叉树的深度为h ，根据性质2推广可知，
h-1层满k 叉树的结点总数为：(k h-1-1)/(k-1)
h 层满二叉树的结点总数为：(k h -1)/(k-1)
显然有：
(k h-1-1)/(k-1) < n ≤ (k h -1)/(k-1)
k h-1-1 <(k-1) n ≤ k h -1
k h-1 ≤ (k-1) n< k h
取对数有：h -1 ≤ log k (k-1) n <h
因为h 是整数，所以h -1 = ⎣ log k (k-1) n ⎦ ， h= ⎣ log k (k-1) n ⎦ +1
性质5、设完全二叉树共有n 个结点。

如果从根结点开始，按层序(每一层从左到右)用自然数1，2，3……,n 给结点进行编号，则对于编号为k(k=1,2,……n)的结点有以下结论：
(1)若k=1,则该结点为根结点，它没有双亲结点；若k>1,则该结点的双亲结点编号为 [k/2 ] 。

(2)若2k<=n,则编号为k 的左孩子结点编号为2k;否则该结点无左孩子结点(显然也没有右孩子结点)。

∑
k i=1 ( i- 1)n i +1
(3)若2k+1<=n,则编号为k的右孩子结点编号为2k+1;否则该结点无右孩子结点
推广:一个深度为L的满K叉树有以下性质：第L层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有K棵非空子树，如果按层次顺序从1开始对全部结点进行编号，求：1）各层的结点的数目是多少？
2）编号为n的结点的双亲结点（若存在）的编号是多少？
3）编号为n的结点的第i 个孩子结点（若存在）的编号是多少？
4）编号为n的结点有右兄弟的条件是什么？如果有，其右兄弟的编号是多少？
答:
(1)k h-1(h为层数)
（2）因为该树每层上均有K h-1个结点，从根开始编号为1，则结点i的从右向左数第２个孩子的结点编号为ki。

设n 为结点i的子女，则关系式(i-1)k+2<=n<=ik+1成立，因i是整数，故结点n的双亲i的编号为⎣n-2)/k⎦+1。

(3) 结点n(n>1)的前一结点编号为n-1（其最右边子女编号是(n-1)*k+1），故结点 n的第 i个孩子的编号是(n-1)*k+1+i。

(4) 根据以上分析，结点n有右兄弟的条件是，它不是双亲的从右数的第一子女，即(n-1)%k!=0，其右兄弟编号是n+1。

二：满二叉树：
一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树
特点：每一层上都含有最大结点数。

叶子结点在同一层次上；无度为1的结点
具有n个结点的满二叉树则
叶子结点的个数为：（n+1)/2
度为2的结点的个数为：（n-1)/2
三、无度为1的结点
1: 具有n个结点的无度为1的结点的二叉树，求叶子结点的个数
n1=0
n=n1+n2+n0=n0+n2+0
n= 2n0-1
n0=（n+1）/2 n2=（n-1）/2
2:若已知叶子结点个数n0求总的结点的个数n
N=n0+n2=2n0-1
四、完全二叉树：深度为k的有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应
特点：除最后一层外，每一层都取最大结点数，最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置。

叶子结点在最后两层上，度为1的结点的个数最多为1
1:具有n个结点的完全二叉树，求叶子结点的个数
n是偶数：
则n1=1
n=n1+n2+n0=n0+n2+1
n= 2n0
n0=n/2 n2=n/2-1
n是奇数：
则n1=0
n=n1+n2+n0=n0+n2+0
n= 2n0-1
n0=（n+1）/2 n2=（n-1）/2
2:若已知完全二叉树叶子结点个数：求总的结点的个数
n=n0+n1+n2
n1=1 或n1=0 n2=n0-1
n最大为2n0,最小为2n0-1
3:若已知完全二叉树第k层上具有n个叶子结点，求最多的结点个数及最少的结点个数
最多的结点个数：共有k+1层
前k层共有2k-1个结点
k+1层: 第k+1层结点数最多为第k层的非叶子结点数乘以2；第k层的结点数为2k-1，叶子结点数为n, 非叶子结点数为(2k-1-n) ，所以第k+1层结点数最多为2(2k-1-n)个结点,所以最多结点数为2k-1+ 2(2k-1-n)
最少的结点个数：共有k层前k-1层具有2k-1-1个结点，k层有n个共有2k-1-1+n。